高一年级（下）期末考试一.选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知数列}{n a 为等比数列，且8,141==a a ，则公比=q（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8（2）已知ABC ∆中， 60,3,2===B b a ，那么角=A（A ） 135 （B ） 90 （C ） 45 （D ） 30（3）已知⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥200y x y x ，则y x z 2-=的最小值为（A ）2 （B ）0 （C ）2- （D ）4-（4）若0<<b a ，那么下列不等式中正确的是（A ）b a 11> （B ）ba 11< （C ）2b ab < （D ）2a ab > （5）袋内装有6个球，每个球上都记有从1到6的一个号码，设号码为n 的球重1262+-n n 克，这些球等可能地从袋里取出（不受重量、号码的影响）.若任意取出1球，则其重量大于号码数的概率为（A ）61 （B ）31 （C ）21 （D ）32（6）实数b a ,均为正数，且2=+b a ，则ba 21+的最小值为 （A ）3 （B ）223+ （C ）4 （D ）223+ （7）为了解某校身高在m m 78.1~60.1的高一学生的情况，随机地抽查了该校100名高一学生，得到如图1所示频率直方图.由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为m ，身高在m m 74.1~66.1的学生数为n ，则n m ,的值分别为（A ）78,27.0 （B ）83,27.0 （C ）78,81.0 （D ）83,09.0（8）若执行如图2所示的程序框图，当输入5,1==m n ，则输出p 的值为（A ）4- （B ）1 （C ）2 （D ）59）锐角三角形ABC 中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若2B A =，则ba的取值范围是（A ） （B ） （C ） （D ）（10）已知数列}{n a 满足)1(431≥=++n a a n n ，且91=a ，其前n 项之和为n S ，则满足不等式12516<--n S n 的最小整数是 （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.（11）已知等差数列}{n a ，若1359a a a ++=，则24a a +=__________.0.01频率组距（12）某校有教师400人，男学生3000人，女学生3200人.现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从男生中抽取的人数为100人，则=n __________.（13）现有红、黄、蓝、绿四种不同颜色的灯泡各一个，从中选取三个分别安装在ABC ∆的三个顶点处，则A 处不安装红灯的概率为__________.14.已知数列{}n a 满足23123222241n n n a a a a ++++=-则{}n a 的通项公式 （15）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若60C =，且2325ab c =-，则ABC ∆的面积最大值为__________.三.解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分．）设}{n a 是公差大于0的等差数列，21=a ，10223-=a a .（Ⅰ）求}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设}{n b 是首项为1，公比为2的等比数列，求数列}{n n b a +的前n 项和n S . 17.（本题满分13分）在△ABC 中，sin B +sin C =sin(A -C ).（1）求A 的大小；（2）若BC =3，求△ABC 的周长l 的最大值.18. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题： （Ⅰ）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； (Ⅱ)估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；(Ⅲ) 从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.19．已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，（1）求a ，b ；（2）解不等式ax 2－（ac ＋b ）x ＋bc <0.20.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.(I)求B(II)若1sin sin 4A C =,求C . 21. 设等比数列{n a }的前n 项和n S ，首项11a =，公比()(1,0)1q f λλλλ==≠-+.(Ⅰ)证明：(1)n n S a λλ=+-； (Ⅱ)若数列{n b }满足112b =，*1()(,2)n n b f b n N n -=∈≥，求数列{n b }的通项公式； (Ⅲ)若1λ=，记1(1)n n nc a b =-，数列{n c }的前项和为n T ，求证：当2n ≥时，24n T ≤<. 数学试题参考答案一、 选择题9．由题意得22264222B A A A A B A ππππππ⎧⎧+>+>⎪⎪⎪⎪⇒⇒<<⎨⎨⎪⎪<<⎪⎪⎩⎩，又sin sin 22sin cos 2cos sin sin sin b B A A A A a A A A ====，所以2cos 2cos 2cos 46A ππ<<2cos bA a<=<10．因为111341(1)3n n n n a a a a +++=⇒-=--，所以118()13n n a -=-+，所以用分组求和可得166()3n n S n =+-⋅-，所以163750125n n S n --<⇒>显然最小整数为7．二、 填空题11． 6 12．220 13．34 14．541515．由余弦定理可得222c a b ab =+-，所以22325ab a b ab =--+，化简可得2225222a b ab ab ab =++≥+即254ab ≥当且仅当a b =时等号成立，所以三角形ABC的面积1125sin 224S ab C =≤⨯=．三、解答题16． 解：（Ⅰ）由题意2112()10a d a d +=+-由12a =得222(2)10d d +=+-…………………………3分 化简得2280d d +-=解得2d =或4d =-（舍）所以2(1)22n a n n =+-⨯=………………6分 （Ⅱ）由题意12n n b -=………………8分 所以1122()()()n n n S a b a b a b =++++++2(22)1221212n n n n n n +-=+=++--………13分21． 解：（Ⅰ）因为n n n a a S +=22……① ，所以21112a a a =+得110a =或（舍）且21112n n n S a a ---=+……②，①-②得22112n n n n n a a a a a --=-+-化简得11(1)()0n n n n a a a a ----+=因为数列}{n a 各项均为正数，所以110n n a a ---=即11n n a a -=+所以}{n a 为等差数列，n a n =经检验，11a =也符合该式 ………………………………5分（Ⅱ）当3n ≥时，得证…………12分18. 解：（1）将sin B +sin C =sin(A -C )变形得sin C (2cos A +1)=0, （2分）而sin C ≠0，则cos A =21-，又A ∈（0，π），于是A =32π； （6分）0.030.01频率组距（2）记B =θ，则C =3π-θ（0＜θ＜3π），由正弦定理得⎪⎩⎪⎨⎧-π==)3sin(32sin 32θAB θAC ， （8分）则△ABC 的周长l =23[sin θ+sin(3π-θ)]+3=23sin(θ+3π)+3≤23+3， （11分）当且仅当θ=6π时，周长l 取最大值23+3. （13分）19. 解：（Ⅰ）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：直方图如右所示 （3分）（Ⅱ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为 (0.0150.030.0250.005)100.75+++*=所以，抽样学生成绩的合格率是75%利用组中值估算抽样学生的平均分＝450.1550.15650.15750.3850.25950.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝71估计这次考试的平均分是71分。

（7分）（Ⅲ）[70,80)，[80,90) ，[90,100]”的人数是18,15,3。

所以从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，他们在同一分数段的概率为702935362314151718=⨯⨯+⨯+⨯=p （12分）20．解：（1）因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得⎩⎨⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a .解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.（5分）（2）所以不等式ax 2－（ac ＋b ）x ＋bc <0， （6分）即x 2－（2＋c ）x ＋2c <0，即（x －2）（x －c ）<0. （7分）①当c >2时，不等式（x －2）（x －c ）<0的解集为{x |2<x <c }； （9分）②当c <2时，不等式（x －2）（x －c ）<0的解集为{x |c <x <2}； （11分）③当c ＝2时，不等式（x －2）（x －c ）<0的解集为?. （12分）综上所述：当c >2时，不等式ax 2－（ac ＋b ）x ＋bc <0的解集为{x |2<x <c }；当c <2时，不等式ax 2－（ac ＋b ）x ＋bc <0的解集为{x |c <x <2}；当c ＝2时，不等式ax 2－（ac ＋b ）x ＋bc <0的解集为?.21.解：(Ⅰ)111[1()](1)1(1)[1()](1)()11111n nn n n a a q S q λλλλλλλλλλλ---+===+-=+--++-+而111()()11n n n a a λλλλ--==++ 所以(1)n n S a λλ=+- ………………………………3分(Ⅱ)()1f λλλ=+,11111,11n n n n n b b b b b ---∴=∴=++, ……………………5分1{}nb ∴是首项为112b =,公差为1的等差数列,12(1)1n n n b =+-=+,即11n b n =+. ………………7分 (Ⅲ) 1λ=时, 11()2n n a -=, 111(1)()2n n n n c a n b -∴=-= ………………8分相减得211111111()()()()2[1]()222222n n n n n T n n -∴=++++-=--1（）2 21114()()422n n n T n --∴=--<, ………………10分又因为11()02n n c n -=>,n T ∴单调递增,22,n T T ∴≥=故当2n ≥时, 24n T ≤<. ………12分。