§5.3 双因素方差分析I 无交互作用的双因素方差分析(1) 数学模型 现在考虑影响试验指标的因素有两个：A, B 。

因素A 有水平r 个；有水平s 个；因素A, B 的各种组合水平均只作一次试验；两因素之间无交互作用。

数据结构表假设：(1*) {:1;1}ij Y i r j s ≤≤≤≤独立；(2*) 2~(,)ij ij Y N μσ，即具有相同的方差；(3*)ij ij ij Y e μ=+，其中 2~(0,)ij e N σ，且{}ij e 独立； 数学模型： i j i j ij i jY e μαβγ=++++ ， 其中：111()r s ij i j rs μμ-===∑∑—总平均值； 11si i j j s μμ-⋅==∑;11rj iji r μμ-⋅==∑;i i αμμ⋅=-—因素A 在水平Ai 下对试验指标的效应值；j j βμμ⋅=-—因素B 在水平Bj 下对试验指标的效应值；10r i i α==∑; 10s j j β==∑;rA1212s s r r rs Y Y Y Yr Y ⋅12..s Y Y Y ⋅⋅⋅i j i j i i γμμαβ=---—因素A, B 的交互效应值；{}ij e —随机部分，假定：独立同正态分布；注： “无交互作用”等价于：0ij γ=，即ij i i μμαβ=++；(2) 方差分析(i) 假设检验问题 两种因素分别进行检验：0112:0r H ααα====即因素A 对试验指标影响不显著；0212:0s H βββ====即因素B 对试验指标影响不显著；注：当01H 和02H 成立时，,(1;1)ij i r j s μμ=≤≤≤≤.(ii) 构造F-统计量及否定域 设()111r siji j Y rs Y-===∑∑；11si ij j Y s Y -⋅==∑；11rj ij i Y r Y -⋅==∑；2211()rsT ij i j S Y Y ===-∑∑；221()rA i i S s Y Y ⋅==-∑；221()sB j j S r Y Y ⋅==-∑；2211()rsE ij i j i j S Y Y Y Y ⋅⋅===--+∑∑；注：注意，2211()rsE ij i j i j S Y Y Y Y ⋅⋅===--+∑∑211()r sij ij i i j j i j e e e e μμμμ⋅⋅⋅⋅===+----++∑∑ 211[()()]rsij i j ij i j i j e e e e μμμμ⋅⋅⋅⋅===--++--+∑∑211()rsij i j i j e e e e ⋅⋅===--+∑∑.这里利用了“无交互效应”的假设条件：0i j i j i jγμμμμ⋅⋅=--+=.由此可见，2E S 与α⋅及β⋅无关，即与假设01H 和02H 是否成立无关。

“无交互效应”的假设条件就是这里提出来的！！* 引理： 设n rs =，则(1*) 分解式：2222T A B E S S S S =++； (2*) 独立性：{2A S ，2B S ，2E S}是两两独立的，且2A S +2B S 与2E S 独立； (3*) 统计特性：当01H 和02H 同时成立时，有2221~T n S σχ-；当01H 成立时，有2221~A r S σχ-；当02H 成立时，有2221~Bs S σχ-；对任意情形，有2222(1)(1)(1)(1)(1)~E n r s r s S σχχ-------=.注：2[(1)(1)]ES r s --是2σ的一个无偏估计. 证2211[()()()]rsT ij i j i j i j S Y Y Y Y Y Y Y Y ⋅⋅⋅⋅===--++-+-∑∑221111()()rsrsij i j i i j i j Y Y Y Y Y Y ⋅⋅⋅=====--++-∑∑∑∑ 211()rsj i j Y Y ⋅==+-∑∑112()()rsi j i j Y Y Y Y ⋅⋅==+--∑∑112()()rsij i j i i j Y Y Y Y Y Y ⋅⋅⋅==+--+-∑∑112()()rsij i j j i j Y Y Y Y Y Y ⋅⋅⋅==+--+-∑∑.易见, 此式中的三个混合项均为零. 故(1*)成立. 独立性(2*)的证明如下： 注意，(,)0k ij i j Cov Y Y Y Y Y ⋅⋅⋅--+=； (,)0ij i j Cov Y Y Y Y Y ⋅⋅--+=.（**）而这两个等式的成立只要展开即知. 于是，k Y ⋅与ij i j Y Y Y Y ⋅⋅--+独立；Y与ij i j Y Y Y Y ⋅⋅--+独立；从而，j Y Y ⋅-与211()s r ij i j j i Y Y Y Y ⋅⋅==--+∑∑独立； 故2A S 与2E S独立；同理，可证：2B S 与2E S独立； 按抽样分布定理，Y 与2A S 和2B S 均独立，而i Y ⋅与j Y ⋅独立是假设条件的结果.故2A S 与2B S 独立；显然，2A S +2B S 与2E S 独立.结论(3*)是抽样分布定理和结论(2*)的推论.*构造F-统计量如下：22(1)~(1,(1)(1))[(1)(1)]A A E S r F F r r s S r s -=-----，当01H 成立时；22(1)~(1,(1)(1))[(1)(1)]B A E S s F F s r s S r s -=-----，当02H 成立时； 注：上面的分析表明：对假设01H 和02H 可以分别进行检验。

* 否定域的结构 解释:当0i α≈时，2A S 应接近零；当0j β≈时，2B S 应接近零；按此解释，01H 和02H 的否定域结构形式为：2{:}A A K Y S a =>；2{:}B B K Y S b =>；为了决定a, b , 构作方程：01(|)A A P F a H α>=；02(|)B B P F b H α>=；由此即可决定a, b .(iii) 方差分析表无交互效应的双因素方差分析表在进行判决时，首先选取(0,1)α∈，然后由下列方程确定临界值a 和b ：01(|)A P F a H α=>；02(|)B P F b H α=>.最后进行判决：若A F a >，则拒绝01H ；否则，接受01H ； 若B F b >，则拒绝02H ；否则，接受02H ； 例5.3.1(p.164)A S 2A E F S S a χ=B S 2B E F S S b χ=E S此题的数据表为因素A = {A1, A2, A3} ;因素B = {B1, B2, B3} , 即每个因素三个水平。

试问：每个水平组合各作一次试验，要求分析两个因素对产品合格率的影响是否显著？ 练习题(p.188) ：3； II 有交互作用的双因素方差分析 (1) 数据结构表有交互作用的双因素方差分析数据结构表在这个数据表中，水平的每个组合(,)i j A B 都有n 个观测值{:1}ijk Y k n ≤≤. (2) 数学模型rA 11,r Y Y(1*) 假设：{:1;1;1}ijkY i r j s k n ≤≤≤≤≤≤独立;2~(,),(1;1;1)ijk ijk Y N i r j s k n μσ≤≤≤≤≤≤；注：{:1;1;1ijkYi rj s k n≤≤≤≤≤≤都有相同的方差2σ.(2*)模型i j k i j i j k ij i ji j kY e e μμαβγ=+=++++； 其中，2~(0,)ijk e N σ，{}ijk e 独立；111()rsij i j rs μμ-===∑∑； i i αμμ⋅=-，10r i i α==∑；j j βμμ⋅=-，10sj j β==∑； ()ij ij i j γμμαβ=-++，10sij j γ==∑，10rij i γ==∑；(3*) 解释：i i αμμ⋅=-反映因素A 的水平 Ai 对试验指标的影响效应；j j βμμ⋅=-反映因素B 的水平 Bj 对试验指标的影响效应；()ij ij i j γμμαβ=-++反映组合(,)i j A B 对试验指标的交互效应.(3) 假设检验问题 这里，要求检验三个内容，因此，有三个假设：0112:0;rH ααα==== 0212:0;s H βββ====03:0,(1,1);ij H i r j s γ=≤≤≤≤(4) 检验统计量的设计 按数学模型，有 (1*) 误差22111()rsnT ijk i j k S Y Y ====-∑∑∑2111()rsni j ij ijk i j k e e αβγ====+++-∑∑∑；22211()()r rA i i i i i S sn Y Y sn e e α⋅⋅⋅⋅===-=+-∑∑；22211()()s sB j j j j j S rn Y Y rn e e β⋅⋅⋅⋅===-=+-∑∑；2211()rsA B ij i j i j S n Y Y Y Y ⨯⋅⋅⋅⋅⋅===--+∑∑211()rsij ij i j i j n e e e e γ⋅⋅⋅⋅⋅===+--+∑∑；22111()rsnE ijk ij i j k S Y Y ⋅====-∑∑∑2111()rsnijk ij i j k e e ⋅====-∑∑∑；其中，1111()r s nijki j k Y rsn Y -====∑∑∑；11nij ijk k Y n Y -⋅==∑；111()sni ijkj k Y sn Y -⋅⋅===∑∑； 111()r nj ijki k Y rn Y -⋅⋅===∑∑.(2*) 基本结论(i) 误差的分解式：22222T A B A B E S S S S S ⨯=+++；(ii) 误差之间的独立性： 在任何情况下，2222{, ,, } A B A B E S S S S ⨯是两两独立的,222+ +A B A B S S S ⨯与2 E S 独立；(iii) 误差的统计特性： 当01H ，02H ，03H 成立时，2221~T r s nS σχ-；当01H 成立时， 2221~A r S σχ-； 当02H 成立时， 2221~B s S σχ-； 当03H 成立时，2221~A B rs S σχ⨯-；在任何情况下，222(1)~E r s n S σχ-.（证明方法类似于无交互作用的情形） (3*) 设计F-检验统计量当01H 成立时， 22(1)~(1,(1))[(1)]A A E S r F F r rs n S rs n -=---；当02H 成立时，22(1)~(1,(1))[(1)]B B E S s F F s rs n S rs n -=---；当03H 成立时，22(1)~((1)(1),(1))[(1)]A B A BE S sF F r s rs n S rs n ⨯⨯-=----. (4*) 否定域的结构形式跟无交互效应情形的设计一样；(5) 方差分析表( 重复观测n 次的情形)有交互效应的双因素方差分析表在进行判决时，首先选取(0,1)α∈，然后由下列方程确定临界值a ，b ，c ：01(|)A P F a H α=>； 02(|)B P F b H α=>； 03(|)A B P F c H α⨯=>.注：A S 2A E F S S a =B S2B E F S Sb =A B S ⨯ A B E F S S ⨯1c αχ-=E S(1*) 当重复试验次数1n =时，不能考虑“有交互效应的双因素”方差分析问题.(2*) 双因素方差分析的统一数学模型应该以有交互效应的模型为准.(3*) 如果ij μ为常数，即,(1,1)ij i r j s μμ=∀≤≤≤≤，则相应的0ij γ=。