u 0 1
l01 t 01
u
u01 u01
l01 t01
l01 l t01 t
ut 1（相似指标） ut ut idem K（相似准数）
l
l p l m
❖ 两体系运动相似，要求相似指标等于1，或相似准数等于某 一常数。物理量比尺之间相互制约，不能全部任意指定。
4.1 相似现象及相似概念
量之间保持一定的比例，其相似指标为1或它们的各种相似准
数的数值相等。
❖ 例：牛顿相似律：
v F
Mav
M
duv
r
原型：Fp
r
Mp
r du p dt p
dt
r
模型：Fm
r
Mm
r dum dtm
F
Fr p Fm
,
m
Mp Mm
,
u
u r
p
um
,
t
tp tm
相似变换
F t （1 相似指标） mu
Ft Mu
P
第四章 水工与河工模型试验理论基础
4.1 相似现象及相似概念
一、相似的定义及含意
❖ 定义：两个物理体系的形态和某种变化过程相似，即不仅 静态相似，动态也相似；形式相似，内容也相似。
❖ 相似的含意 ➢ 相似：在几何相似的系统中，各相应点上发生着物理本 质相同的过程，并可用相同的物理方程来描述。 ➢ 模拟：两个体系的物理性质不同，但遵循同一数学规律， 通过对一种物理现象的研究去了解另一物理现象的方法。
uzm ym
uzm
uzm zm
g
g zm
p l
1
m
pm zm
u l2
m2uzm
2 u
l
uzm2 zm
uzmuxm xm
uzmuym ym
4.3 水动力现象相似准数的确定方法
原型:guztmmzgumtgul2zumt1mzummxuzmzmm2pzpmumull2xzmm1uumxzmmxmumpzuxmmumyxm2zmmuzmuyuulz2mzmyumymumymmuyuuzzmmz2zmmum2zmuuzzmzmmuuzzmxzmmum xm
以 u2 除各项，并与模型的方程比较，可得 l
l
gl
p
2 u
1
ut
u2
u2
ul
2 u
由此可以导出有关的五个比尺和相似准则：
l u t
1 St
tv l
idem
S
h
：斯特鲁哈数，表示原型与模型由位变加速度引起的 惯性力之比，等于由时变加速度引起的惯性力之比；
决定了非恒定流中时间、流速、几何三比尺的关系。
ul
idem
Re
：表示原型与模型的惯性力之比等于粘滞力之比；表达 了层流状态下流体内粘滞阻力相似的条件。
4.3 水动力现象相似准数的确定方法
u2 2
u
1
u2 u2
idem
➢ 原型与模型由时均流速产生的惯性力之比，等于由 脉动流速产生的惯性力之比——紊动相似律。
➢ 由于脉动惯性力就是紊动剪力，它消耗水流的能量， 对水流产生阻力作用。对于紊动水流，粘滞力可以 忽略不计，这个比尺关系式就可视为惯性力之比等 于阻力之比。
4.3 水动力现象相似准数的确定方法
一、方程分析法
微分方程式 相似变换 定解条件
相似准数
例1：牛顿相似准数推导
v F
Mav
M
duv
dt
F t 1 mu
m V l3
Ft Mu
P
Ft Mu
m
idem
K
F 1 l2u2
F
l 2u 2
P
F
l 2u 2
m
idem
Ne
4.3 水动力现象相似准数的确定方法
4.1 相似现象及相似概念
3 动力相似 ❖ 定义：两个几何相似体系中，对应点上的所有作
用力的方向相互平行，大小成同一比例。
rr
F F F
FI Fg F FD F Fe
惯
重
性
力
力
粘
摩 力表
弹
滞
阻
面
性
力
力
张
力
4.2 模型试验相似理论
1 相似第一定理（相似正定理,1686,牛顿）
❖ 定理描述：彼此相似的物理体系应由同一方程式描述，各变
4.1 相似现象及相似概念
二、力学系统相似的基本条件
1 几何相似
❖ 含意：两个体系（原型与模型）彼此所占据空间的对应尺
寸之比为同一比例常数。
❖ 正态相似： x y z l
❖ 变态相似： x y z
❖ 变率：
x z
2 运动相似
❖ 定义：指两体系中对应的两个质点沿着几何相似的轨迹运 动，在互成一定比例的时间内通过一段几何相似的路程， 即两个体系动态相似。
uzmuym ym
以 u2 除各项得： l
l t u
uzm tm
uxm
uzm xm
uym
uzm ym
uzm
uzm zm
g l u2
g zm
p u2
1
m
pm zm
l u
m2uzm
2 u
u2
uzm2 zm
uzmuxm xm
uzmuym ym
4.3 水动力现象相似准数的确定方法
4.3 水动力现象相似准数的确定方法
u2 g l
1 Fr
u2 gl
idem
Fr ：弗汝德数，表示原型与模型的惯性力之比等于重力之比，
表达了重力相似的条件。
p u2
1
Eu
p
u2
idem
Eu
：欧拉数，表示原型与模型的压力之比等于惯性力之比； 当研究水流对边壁和建筑物的荷载时要考虑。
u l
1 Re
FI Fg F FD F Fe
4.4 常用的相似准则
一、相似准则概念
❖ 牛顿相似准数的推导
牛顿第二定律：
r F
r Ma
M
r du
r
原型：Fp
r
M
p
r du p dt p
dt
模型：Frm
Mm
r dum dtm
m
,
V
up um
,
t
tp tm
代入上式，整理有： F t 1 mu
uzmuxm xm
uzmuym ym
4.3 水动力现象相似准数的确定方法
原型:
uzP tP
uxP
uzP xP
uyP
uzP yP
uzP
uzP zP
g zP
1
P
pP zP
P2uzP
uzP2 zP
uzPuxP xP
uzPuyP yP
u t
uzm tm
u2 l
uxm
uzm xm
uym
❖特例：①如果原型和模型都处于重力场中，则
g 1
u2 l
速度比尺： u l
时间比尺： t
l u
l
②如果原型和模型采用相同的流体，则有
1
F mg m l3 l3
4.4 常用的相似准则
2 阻力相似准则
❖当研究压力隧洞、有压管道及流体绕流等问题时， 水流主要受阻力作用，所以原型与模型的动力相似 按阻力相似准则考虑。
FI l2u2
动力相似
FI
Fg
u2 g l
1
u2 idem gl
u2 gl
p
u2 gl
m
Fr
Fr :重力相似准数，或弗汝德（Froude）数
4.4 常用的相似准则
❖重力相似准则：在原型与模型之间，欲满足重力作用下动 力相似，它们的弗汝德数应相等；反之，若原型与模型的弗 汝德数相等，则原型与模型必满足重力作用下动力相似。
原型:
uzP tP
uxP
uzP xP
uyP
uzP yP
uzP
uzP zP
g zP
1
P
pP zP
P2uzP
uzP2 zP
uzPuxP xP
uzPuyP yP
模型:
uzm tm
uxm
uzm xm
uym
uzm ym
uzm
uzm zm
g zm
1
m
pm zm
m2uzm
uzm2 zm
例2：三维紊动水流的相似准数
连续性方程: ux uy uz 0
x y z
运动方程(雷诺方程):
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
gx
1
p x
2ux
ux2 x
uxuy y
uxuz z
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
gy
1
p y
2uy
uy2 y
uyuz z
❖ 以微分形式出现的物理量，其比例常数之间关系 与一般量之间的关系相同。
l1 l1
l2 l2
l
l1 l2 l1 l2
l l
l l1 l2
l1 l2
l
dl dl
lim l1 l2 l0 l1 l2
l ,
dt dt
t
dl dl l dt dt t
du l du t
da l da t2
F
l
2u2
P
F
l
2u
2
M
idem
Ne