k0f(X1 0,X2 0, Xn 0)i n1( X fi)0Xi0
Z[k1,k2, kn]X n,1k0KX k0
DZZKX DX KT
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side5
算例：
4 0 0
设有观测向量
L
[L1,
L2,
L3]T
,已知其协方差阵为
DLL
0 0
2 0
0 3
,试分别求出下列函数的方差：
(1)、F1 L1 2L2 3L3
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side6
协方差传播应用步骤:
根据实际情况确定观测值与函数,写出具体表达式 对函数式进行线性化，求全微分 将微分关系写成矩阵形式 运用协方差传播律，写出观测量的协方差阵
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side7
2、 权与定权的常用方法
1)、权的定义
设Li(i1,2,...,n),它们的方差为i2,
如选定任一常数0，则定义:pi i022
2
p 1:p 2: p n0 2:
0 2 2: : 0 2 21 2:1 2: :1 2
1 2
n 12
n
2) 定权的常用方法
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side8
3、 协因数与协因数传播律
设
Li ,
L
它
j
们
的
方
差
为
2 i
,
2 j
,协
方
差
为
ij
令:
Q ii
1 pi
2 i
2 0
Q jj
1 pj
2 j
side2
二、协方差传播律及权
系统误差的传播规律 协方差传播律及协因数传播律的定义 权及协因数的定义和相互关系 协方差传播律及协因数传播律的应用方法 权阵与协因数阵的关系的应用 定权的常用方法 真误差、双观测值计算中误差的方法
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side3
1、协方差传播律 1）、观测值线性函数的方差
已知： X n ,1 [X 1 ,X 2 ,.X n .]T .,D X,X 1 Z ,1 1 K ,nX n ,1 K 0
2、当P不是对角阵时，P中对角线元素不等于权Pｉ
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side10
例1： L(L1,L2)T,Q LL= 21 31求 P 1,P 2
解：P1
1 2
1
P2
3
3 2 1 例 2： L(L1,L2,L3)T,PLL2 4 2,求 P1,P2
1 2 3
2 1 0
解：QLL PLL1 1401
(2)、F2 L1 3L2L3
解答：1)、 F1 (1, 2, 3)L, DF1 (1,2,3)DLL (1,2,3)T 39 2）、将 F2 全微分后得dF2 dL1 3L3dL2 3L2dL3
令dL (dL1, dL2, dL3)T ,则dF2 (1,3L3,3L2 )dL
故 DF 2 (1,3L3,3L2)DLL (1,3L3,3L2)T 4 18L23 27L22
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side16
C、 附有参数的条件平差法
设在平差问题中，观测值个数为n，t为必要观测数， 则可列出r=n-t个条件方程，现有增设了u个独立量作为 参数，而0<u<t，每增设一个参数应增加一个条件方程。 以含有参数的条件方程作为平差的函数模型，称为附有 参数的条件平差法。
那么： DZZKX DX KT
2)、多个观测值线性函数的协方差阵
Z
t,1
Kt,n nX,1Kt,10
Y
r,1
F
r,n
X
n,1
F0
r,1
D Z YK D X XF T(D Y Z)T
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side4
3)、非线性函数的情况
K (k 1,k 2, k n ) （ [ X f1 ） 0 （ , X f2 ） 0 （ X fn)0 ]
即为条件平差的函数模型。 条件平差的自由度即为多 余观测数r，即条件方程个数。
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side15
B、间接平差法
选择几何模型中t个独立变量为平差参数，每一个观测 量表达成所选参数的函数，即列出n个这种函数关系式， 以此为平差的函数模型，成为间接平差法。
~
L F(X)
n ,1
t ,1
B xl
上式就是间接平差的函数模型。尽管间接平差法 是选了t个独立参数，但多余观测数不随平差不同 而异，其自由度仍是r=n-t。
2 1
1 2
P1P2 P3 2
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side11
5、协因数传播律
已知：X n,1[X1,X2,...Xn]T, Q XX
Z KXK t,1
t,n n,1
0 t,1
Y
r,1
F
r,n
X
n,1
F0
r,1
QZZ KQXXKT
Q Z YK Q X XF T(Q Y Z)T
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side12
算例3：
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side1
一、误差产生的原因与分类
1）、观测误差产生的原因： 观测条件 测量仪器 观测者 外界条件
2）、误差分类及处理方法 偶然误差（accident error)： 平差计算 系统误差（systematic error)：改正计算 改进观测方法 粗差（gross error）
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3
1)QLL
0
3
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side13
三、平差数学模型与最小二乘原理
1）、确定几何模型的必要元素 2）、必要元素的选取
3）、自由度、多余观测值的个数 4）、四种平差模型
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side14
A、条件平差法
以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平 差法。
~
F F(L)
r ,1
n ,1
AW0
已
知
观
测
值
向
量
L 21
L1 L2
的
权
阵
为
PLL
2 3 1 3
1
3 ，现有函数
2 3
X L1 L2,Y 3L1,求观测值的权 PL1，PL2 ，观测值的协因数阵QXY
解答：QLL
P1
2 1
1
2
,所以，

PL1
1/ 2， PL2
1/ 2，
由于 X (1
1)L, X (3
0)L，QXY (1
2 0
Qii为Li的协因数。
Q
jj为L
的协因数。
j
Q ij
ji
2 0
Qij为Li关于Lj的协因数 测量平差复或习 相关权倒数。side9
4、权阵
P LL Q L 1L P LQ LLL E
a、当L相互独立时； b、当L不相互独立时
注：权、权阵、协因数阵的概念
权阵P与权Pｉ是两个不同的概念：
1、当P为对角阵时，P中对角线元素恰为权Pｉ；
总复习
本课程讲授的主要内容：
误差理论 theory of errors 最小二乘法 least squares method 条件平差法 condition adjustment 间接平差法 parameter adjustment 附有条件的间接平差 parameter adjustment with constraint 附有参数的条件平差 condition adjustment with parameters 误差椭圆