(六）初等函数－－由基本初等函数（１）经 过有限次的和,差,积,商运算，（２）有限次 的复合运算，（３）且可用一个公式表示的 函数.
非初等函数举例:
（1）y x x2 x3 xn ...
(2) y x x x
(3)
y
a
sin(x 1) x 1
,
x
1
ex 1, x 1
二.极限
lim f (x0 ) xx0
f (x) f (x0 ) x x0
3.左右导数
Th.... f (x)在x0可导 f(x0 ) f(x0 )存在
4.可导与连续的关系
Th.... f (x)在x0可导 f (x)在x0连续
（10）f (x) x 在x 0处是( ),
A.可导但不连续;B.不连续且不可导; C.连续且可导;D.连续但不可导
1.定义
2.分解标准-----分解到每一步都是基本初等函 数的和,差,积,商为止.
3.复合函数定义域求法 ① f (x)的定义域为[0,1),求f (1 1 )的定义域
ln x
② f (x)的定义域为[0,2], 求f ( 1 )的定义域
1 x2
注意：并非任何两个函数都可以复合
y u
ln u x2
(2)lim f (x0 )存在 x x0
(3)lim f (x) f (x0 ) x x0
3.左右连续
左连续lim f (x) f (x0 ) x x0
右连续lim f (x) f (x0 ) x x0
(二)间断点分类
第一类（ f (x0 0)，f (x0 0) 都存在的间断点）
(1)可去间断点 f (x0 0) f (x0 0)；f (x0 )不存在
4 y
ln( x 2
4)无意义
（03） f (x 1) x2 ,则f (x) [ 1 ]
x x4 1
x2 2
（07）f (x) 1 x ,则f 1( 1 ) [ x ]
1 x
1 x 2 x
（08）f (1) x ,则f 1(x) [1 x]
x 1 x
x
(五)基本初等函数
常用的有六类14个
周期函数 y sin x cos x ,求周期T 32
y Asin(x ) B
（08） f (x) 2x2 ex2 , 1 x 2 是（ D ）
（A） 偶函数 （B） 奇函数 （C）单调增函数 （D）非单调函数 （07） f (x), g(x),(x) 均为奇函数，
则下列为偶函数的是 （ ） （A） f (x)g(x)(x) （B）f (x) g(x) (x)
③(03)当n
,
sin
n
1
2
是(B)
( A)与 3 等价的无穷小；(B)与 3 同阶但非等价的无穷小;
2n 5
2n 5
(C)比 3 高ห้องสมุดไป่ตู้的无穷小;(D)无穷大 2n 5
（07）当 x 0 时，下列函数中能成为
x2
的等价无穷小的是（ D ）
1 cos x
（A） cos x 1 （B） 2
（C） 1 x2 1 （D） (ex 1) sin x
（08）下列函数中，定义域为 [1,1)
的函数是（ ）
（A） y 1 1 x2 （B） y 1 x2
x
（C） y 1 lg 1 x
2 1 x
（D）
y 1 x 1 x
（模C） f [(x)] 1 cos x,(x) sin x
2 则f (x) (.....)
(二)函数特性 1.单调性 2.奇偶性 f (x) f (x) f (x)为偶函数
（07） f (x)
1
x
,求f (x)的间断点并判别其类型。
1 e1x2
（模A）
f (x)
x2 x
,求f (x)的间断点并判别其类型。
x (x2 1)
eg
f
(x)
x tan
x
,
x
[
4
,5
4
],
求f (x)的间断点并判别其类型。
(三)闭区间上连续函数的性质
定理1 f (x) C[a,b] 存在f (x)max , f (x)min 定理2 f (x) C[a,b] f (x)在[a,b]有界
xx0
xx0
xx0
x x0
结论 当x 0,有sin x ~ x, tan x ~ x,
arcsin x ~ x, arctanx ~ x,
e x 1 ~ x, ln(1 x) ~ x,
1 cosx ~ 1 x2 , n 1 x 1 ~ 1 x
2
n
例题(等价无穷小代换)
lim ex ex 2x
① 当x x0 (x ), (x) 0, (x) 0,
则 (x) (x) 0
② 当x x0 (x ), (x) 0, (x) 0,
则 (x) (x) 0
③
f (x) M ,当x x0 (x ), (x) 0
则 (x) f (x) 0
④ lim f (x) A f (x) A x x0 (当x x0, 0)
①
x0
sin 3 x
lim ln(1 4x2 )
②
x0 sin x 2
lim tan x sin x 1
③
x
sin 3 x
2
四.连续与间断
(一)连续 Def 1...lim y 0
1.
x0
Def 2...lim f (x) f (x0 )
x x0
2.连续三要素 (1) f (x0 )存在
(2)可去间断点 f (x0 0) f (x0 0) f (x0 ) (3)跳跃间断点 f (x0 0) f (x0 0)
第二类（ f (x0 0)，f (x0 0) 至少一个不存在的间断点）
(4)无穷间断点 lim f (x)
(5)振荡间断点
x x0
lim f (x)不定
x x0
)
,
求y
.
(10) f (2x) ln x，求 df (x)
dx
⑤（04）
y x2 a2 a arccos a , (x a 0)]....求dy x
(10)计算题
f (x) ex，g(x)=cosx, y=f( dg ),求 dy
dx dx
5.隐函数求导 显函数----- y f (x) 隐函数----- F(x, y) 0
（模C）
设f (x) 0,在[a,b]连续,
令F(x)
x
f (t)dt
x
1 dt
a
b f (t)
求证：1.F(x) 2
2.方程F (x) 0在(a,b)内
有且仅有一个实根。
第二章导数与微分
一.导数的概念 1.定义
lim f (x0 )
x0
f (x0 x) f (x0 ) x
2.几何意义
(1) 2
lim ①
x2
sin(x 2) x2 4
(1) 4
lim ② (06)
(1
1 )x4
1
(e 4 )
x
4x
lim ③ (03)
(t b)t e.则b (1)
t t b
2
k
④ (09) lim(1 5x) x e10.则k (2) x0
2.其他
① lim 举例 x
an x n an1x n1 a1x a0 bm x m bm1x m1 b1x b0
, 称当x c 0, 称当x
x0，是较低阶的无穷小 x0，与是同阶无穷小
特别，c 1, 称当x x0 , ~ （等价）
例题(阶比较)
① (05（)当Ax）的x0,高阶 , 都无是穷无小（;穷B小）,则的当同x 阶无x0,穷 小是（A）
（C）的等价无穷小（; D）不是无穷小
② 当x 0, 1 ax2 1 ~ sin2 x,求a
0,,nnmm
an
,n
m
bm
②
lim
sin
x
1
x0 x e x
lim2x 1
③ x 2x 1
lim ④
[(1 1 )(1 1 )(1 1 )]
n
22
32
n2
3.罗必塔法则
" 0"," ", 0
"0 • "," ", "1 " , " 0 " , "00 "
三.无穷小.无穷大
1.定义 2.性质
① xe y ye x y 4 , 求y
② y tan(x y)....求.y..y
③
(06)...xy ln x ln y 1...求 dy dx
④ (07)... ln( x y) xy 2 sin x....求... dy
（C）f (x) g(x)(x) （D）f (x)[g(x) (x)]
（07） f (x)在[1,1]连续，
则
1
[ f (x)
f (x)]dx （.....)
1
eg
f
(x)
1 x
在(0,+)............(有界，无界）
在(0,1]............(有界，无界）
在[1,+)............(有界，无界）
★ 函数定义，极限，连续， 可导，可微的关系
二.求导数归纳
1.基本导数公式
lim f (x0 )
x0
f (x0 x) f (x0 ) x
lim f (x0 ) xx0