112. 一电子在 L = 2Å 的一维势箱中运动。根据玻尔频率规则 hv＝En2－En1，求： ① 当电子从能级 En+1 跃迁到能级 En 时辐射光的波长λ； ② 计算此光的波数 v (即波长的倒数 1/λ，单位：cm-1)。
113. 设将直链共轭多烯烃分子中的共轭π 键中的电子看成是运动于一维势箱
N CH CH CH N
H3C
CH3
114. 有一个电子在 Lx = 2L，Ly = L 的二维势箱中运动。①写出能级公式 Enxny， 以 h2/(32mL2)为单位，并画出能级图(包括能量最低的 6 个能级)；②写出波 函数ψnxny(x,y)的一般表达式。
115. 证明：一维势箱中的粒子，当能量分别为 Em 和 En 时，相应的状态函数ψm
–1–
111. 丁二烯有 4 个碳原子。每个碳原子以 sp2 杂化轨道形成 3 个σ 键后尚余一
个 2pz 轨道和一个 2pz 电子。假定有以下两种情况：①4 个 2pz 电子形成两
个定域π
键；②4
个
2pz
电子形成一个
π
4 4
离域π
键；请按一维势箱模型计
算两种情况下π 电子的总能量，说明离域效应产生的结果。
∫ 和ψn 满足下列关系式：
lψ
0
mψ
n
dx
=
⎧0 ⎩⎨1
m≠n m=n
116. 链型共轭分子 CH2=CH-CH=CH-CH=CH-CH=CH2 在长波方向 460nm 处出 现第一个强吸收峰，按一维势箱模型估算分子共轭链的长度以及共轭链中
C-C 平均键长。
117. 作为近似，苯分子的π 电子可以看作是在边长为 2.8Å 的二维方势箱中运 动，计算苯分子中从基态跃迁到第一激发态时(即一个π 电子从最高占有能 级跃迁至最低空能级)所吸收光的波长。
118. 一个质量为 m 的粒子，被局限在-L/2 ≤ x ≤ L/2 的直线段上运动，求其能级 和波函数(要求写出求解过程)。
–2–
119. 写出固定核近似下 Li++的 Schrödinger 方程。
120. 箱长为 L 的一维势箱中运动的粒子(质量为 m)处在某一任意能级 En 中，问： ① 粒子的坐标 x 有无确定值？若有，其值多少？若无，则求其平均值； ② 粒子的动量 Px 有无确定值？若有，其值多少？若无，则求其平均值； ③ 粒子的动量平方 Px2 有无确定值？若有，其值多少？若无，求其平均值； ④ 粒子的动能有无确定值？若有，其值是多少？若无，则求其平均值。
121. 以下两个函数所表征的状态是不是一维势箱中粒子可能的状态？若是，其 能量有无确定值？若有，其值是多少？若无，其平均值是多少？ ①ψ (x) = 2 2 / L sin(π x / L) − 3 2 / L sin(2π x / L) ②ψ (x) = 2sin(2π x / L) − 3sin(3π x / L)
第一章 量子力学基础和原子结构
101. 计算λ =1000Å 的光子的能量和动量。 102. 用波长 2790Å 和 2450Å 的光照射金属表面，当光电流被降到 0 时，电位
值分别为 0.66 伏和 1.26 伏。试计算：① Plank 常数 h；② 此金属的逸出 功；③ 临阈频率。 103. 在电子衍射实验中，若对金属薄片产生衍射，需在多大电压下加速电子？ (提示：要产生衍射，λ应在 Å 数量级，约为金属晶体点阵周期的长度)。 104. He(1s12p1) → He(1s2)跃迁发出的光的波长为 584Å，试计算此光子的能量 (以 eV 作单位)。若将这种光子照射到一个 Ar 原子上，激发出来的电子的 动能是多少 eV?(已知：Ar 原子的第一电离能为 15.759eV)。 105. 计算动能为 300eV 的电子的 de Broglie 波长。 106. 子弹的质量为 10g，运动速度为 1000m/s，电子质量为 9.10953×10-28g，运 动速度为 108cm/s，试求子弹和电子的 de Broglie 波长。 107. 子弹质量为 10g, 运动速度为 1000m/s, 假设子弹速度的不确定度Δvx=10-2 cm/s，试估计子弹位置的不确定度，由此说明子弹可以有确定的运动轨道。 108. 有人认为中子是由相距为 10-15m 的质子和电子依靠库仑力结合而成的，试 用 Heisenberg 测不准原理判断该模型是否合理。(提示：①假设电子位置的 不确定度为 10-15m，电子的平均动量至少与动量测不准量一样大；②将电 子的平均动能和电子与质子间的库仑吸引势能相比较，来说明模型是否合 理；③电子电荷为 1.60219×10-19C)。 109. 有一微观粒子在箱长为 L 的一维势箱中运动，处在ψ 2 (x) 的状态中，根据 ψ (x) 2 图计算：① 粒子在 0 ≤ x ≤ L/4 区间中出现的几率；②粒子在 0.49L ≤ x ≤ 0.50L 区间中出现的几率；③粒子在 x = L/4 处出现的几率密度；④粒子 在 x = L/4 处出现的几率。 110. 有一微观粒子在箱长为 L 的一维势箱中运动，试问：能量小于 16h2/(8mL2) 的状态共有几个？这些状态的能量分别是多少？
中的粒子，并按每个能级最多只能容纳两个,N-二甲氨基，烯丙叉，N,N-二甲胺阳离子(见
下图)，若取一维势箱长 L＝8.0Å，试计算π电子由共轭多烯烃分子的最高
填充能级跃迁到最低空能级所吸收光的波长λ(实验测定值为 3090 Å )。
+
H3C ● ● ● ● ● ● CH3
122. 若把苯分子中的 6 个π电子近似看作是在半径为 r 的园环上运动的粒子(即 园周势箱中的粒子)。① 试求π 电子的能级和波函数；② 已知苯的吸收光 谱中波长最长的吸收带的波长为 2000Å，求苯环的半径和苯分子 C-C 键的 平均键长。(提示：①将苯分子置于球坐标系中，平铺在θ＝90°的平面上， 苯环中心与球坐标系原点重合，在球坐标系中写出圆周势箱的 Schrödinger 方程；②参考 H 原子Φ 方程的求解过程，采用周期性边界条件进行求解)