导数应用：含参函数的单调性讨论(一)一、思想方法：f '( x) 0 x A B ... f ( x) 增区间为 和A, B ...f '( x) 0 x C D ... f ( x) 增区间为 和C, D ... x D 时f '( x) 0 f (x)在区间 D 上为增函数 x D 时f '( x)0 f (x)在区间 D 上为减函数 x D 时f '( x)f (x)在区间 D 上为常函数讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。

二、典例讲解例 1 讨论 f (x)xa的单调性，求其单调区间x步骤小结： 1、先求函数的定义域，2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负），3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况，4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界） ，5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。

变式练习 1 : 讨论 f ( x) x a ln x 的单调性，求其单调区间例 2．讨论 f ( x) ax ln x 的单调性小结：导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界，但要注意其定义域和连续性。

即先求出 f ' ( x) 的零点，再其分区间然后定 f ' ( x) 在相应区间的符号。

一般先讨论 f ' ( x) 0 无解情况，再讨论解f ' (x) 0 过程产生增根的情况（即解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量x 围扩大而出现有根，但根实际上不在定义域的），即根据 f ' (x) 零点个数从少到多，相应原函数单调区间个数从少到多讨论，最后区间（最好结合导函数的图象）确定相应单调性。

变式练习 2. 讨论 f (x) 1 ax2 ln x 的单调性2小结：一般最后要综合讨论情况，合并同类的，如i),ii) 可合并为一类结果。

对于二次型函数（如g( x) ax 21）讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论。

例3．求f ( x) a 2 x3ax 2x 1 的单调区间小结：求函数单调区间可化为导函数的正负讨论（即分讨论其相应不等式的解区间），常见的是化为二次型不等式讨论，当二次函数开口定且有两根时，一般要注意讨论两根大小（分大、小、等三种情况）。

含参二次不等式解时要先看能否因式分解，若能则是计算简单的问题，需看开口及两根大小，注意结合图象确定相应区间正负。

变式练习 3．求 f ( x) 1 x3 1 ax2 x 1 的单调区间3 2小结：三次函数的导函数是常见二次函数，当二次函数开口定时对其正负进行讨论的，要根据判别式讨论：无根的或两根相等的导函数只有一种符号，相应原函数是单调的较简单应先讨论；然后再讨论有两不等根的，结合导函数图象列变化表，注意用根的符号x1 , x2代替复杂的式，最后结论才写回。

0 时，相应区间原函数为常数，一般中个别点处导数为 0 不影响单调性。

只有在某区间导数恒为学所见函数除分段函数和常函数外不会出现此种情况。

例4．已知函数 f (x) ax3 3x2 3x 1,a R ,讨论函数 f ( x) 的单调性.分析：讨论单调性就是确定函数在何区间上单调递增，在何区间单调递减。

而确定函数的增区间就是确定 f ' (x) 0 的解区间；确定函数的减区间就是确定 f ' ( x) 0 的解区间；讨论单调性与讨论不等式的解区间相应。

小结：导函数为二次型的一股先根据二次项系数分三种情况讨论（先讨论其为0 情形），然后讨论判别式（先讨论判别式为负或为0 的情形，对应导函数只有一种符号，原函数在定义域上为单调的），判别式为正的情况下还要确定两根的大小（若不能确定的要进行一步讨论），最后根据导函数正负确定原函数相应单调性，记得写出综述结论。

例 5．已知函数f (x) ln x ax 1 a1 (a R) .讨论 f ( x) 的单调性；x小结：此法是把单调区间讨论化归为导函数符号讨论，而确定导函数符号的分子是常见二次型的，一般要先讨论二次项系数，确定类型及开口；然后由于定义域限制讨论其根是否在定义域，再讨论两根大小注，结合 g(x) 的图象确定其在相应区间的符号，得出导函数符号。

讨论要点与解含参不等式的讨论相应。

三、巩固作业：1. 已知函数f (x) ln x a. ，求 f ( x) 的单调区间. x2. 已知函数f(x)= 1x 2－ ax+( a－ 1) ln x，讨论函数f ( x) 的单调性,求出其单调区间。

23.已知函数 f (x)=ln(1+x)-x+ x2(k≥0)，求 f (x)的单调区间.4 、设a0 ，讨论函数 f ( x) ln x a(1 a)x22(1a) x 的单调性．注意：必须问什么答什么，分类讨论最后必须有综述.a 的定义域为 ( ,0) (0, )1、解： f ( x) xxax 2 a2a 同号 )f ' (x) 1x 2 (x 0) (它与 g( x) xx 2I ）当 a 0 时， f ' ( x)0( x 0) 恒成立，此时 f ( x) 在 (,0) 和 (0,) 都是单调增函数，即 f ( x) 的增区间是 ( ,0) 和 (0, ) ;II) 当 a0 时 f ' (x)0( x0)xa 或 x af ' (x) 0( x 0)ax 0或 0 xa 此时 f ( x) 在 (, a ) 和 ( a,) 都是单调增函数，f ( x) 在 ( a ,0) 和 (0, a) 都是单调减函数，即 f (x) 的增区间为 ( , a ) 和 ( a ,) ;f (x) 的减区间为 ( a,0) 和 (0, a ) .变式 1解： f ( x) xa ln x 的定义域为 (0,)f ' (x) 1I ）当 a 0 时， 此时 f ( x)ax a0) (它与 g( x)x a 同号 )x(xxf ' ( x) 0( x 0) 恒成立，在 (0, ) 为单调增函数，即 f ( x) 的增区间为 (0, ) ，不存在减区间 ; II) 当 a0 时f ' ( x) 0( x 0)x a ;f ' (x) 0(x0)0 xa此时 f ( x) 在 (a, ) 为单调增函数，f ( x) 在 (0, a) 是单调减函数，即 f (x) 的增区间为 ( a,) ; f (x) 的减区间为 ( 0, a) . 2 解： f (x)ax ln x 的定义域为 ( 0,)1 ax 1(它与 g(x)ax 1 同号 )f ' ( x) a( x 0)xxI ）当 a0 时， f ' (x)0(x 0) 恒成立 （此时 f ' ( x) 0x1 没有意义）a此时 f (x) 在 (0, ) 为单调增函数，即 f (x) 的增区间为 (0,)II ）当 a0 时， f ' (x)0(x 0) 恒成立， （此时 f '( x)x1 不在定义域，没有意义）a此时 f ( x) 在 (0, ) 为单调增函数，即 f ( x) 的增区间为 (0,)III)当 a0时 , 令 f ' (x) 0x1 a于是，当 x 变化时， f ' ( x), f ( x) 的变化情况如下表：(结合 g(x) 图象定号 )x1 1 1)(0, )(,aaaf ' (x)f ( x)增↗减↘所以，此时 f ( x) 在 (0,1) 为单调增函数，f ( x) 在 ( 1 , ) 是单调减函数，aa即 f (x) 的增区间为 (0, 1 ) ; f (x) 的减区间为 ( 1, ) .aa变式 2 解： f (x)1 ax2 ln x 的定义域为 (0, )2f ' (x) ax1 ax 21( x 0) , 它与 g(x)ax 2 1同号 .x x令 f ' (x) 0ax 2 1 0( x 0) ，当 a 0 时，无解；当 a 0 时, x1 aa(另一根不在定义域舍去 )ai) 当 a0 时， f ' ( x)0(x0) 恒成立 （此时 f '( x) 0x 21 没有意义）a此时 f (x) 在 (0, ) 为单调增函数，即f (x) 的增区间为 (0,)ii) 当 a0 时， f '( x)0( x 0) 恒成立，(此时 方程 ax 21 0 判别式0 ,方程无解 )此时 f ( x) 在 (0, ) 为单调增函数，即 f ( x) 的增区间为 (0,)iii)当 a 0时 ,当 x 变化时， f ' (x), f (x) 的变化情况如下表：(结合 g(x) 图象定号 )x(0,1 ) 1 (1 , )aaaf ' (x)f ( x)增↗减↘所以， 此时 f (x) 在 (0,1 ) 为单调增函数， f ( x) 在 (1, ) 是单调减函数，aa即 f (x) 的增区间为 ( 0,1) ; f ( x) 的减区间为 (1 , ) .aa3 解： f (x)a 2 x 3 ax 2 x 1的定义域为 R ，f ' ( x)3a 2 x 2 2ax 1 (3ax 1)(ax 1)I) 当 a 0时， f ' ( x) 1 0 f (x) 在 R 上单调递减， f (x) 减区间为 R ，无增区间。

II) 当 a0 时 3a 2 0 ， f '( x) 是开口向上的二次函数，令 f ' ( x)0得 x 11, x 21 0) ,f ' ( x) 的图象）3a (a 因此可知（结合ai)当 a 0 时， x 1 x 2f ' (x) 0x1或 x1; f ' ( x) 01 x 1a3aa 3a所以此时， f (x) 的增区间为 (1 和 1) ； f (x) 的减区间为( 1 1 ),)( ,a ,a 3a3aii)当 a0时， x 1 x 2f ' (x)x 1或 x1 ;3aa f ' (x) 01 13axa所以此时，f (x) 的增区间为 (,1)和( 1 ,3aa 变式 3 解： f ( x) 的定义域为 R ， f ' ( x) x 2ax 1f ' ( x) 是开口向上的二次函数，a 24I)当02 a 2 时， f ' (x) 0 恒成立所以此时 f (x) 在 R 上单调递增，f ( x) 增区间为11) ； f ( x) 的减区间为 (,)R ，无减区间。

II)当a2或a2 时令 f ' ( x)0得 x 1aa 24, x 2aa24, x 1 x 2 22 因此可知（结合 f ' ( x) 的图象） f (x) 与 f ' (x) 随 x 变化情况如下表x( , x 1 )x 1( x 1 , x 2 )x 2( x 2 , )f ' (x)f (x)增↗减↘增↗所以此时， f ( x) 的增区间为 (, aa 24)和( aa 2 4, )；22f (x) 的减区间为 (aa 2 4 , aa 2 4 ) 22练习 1 解： 函数的定义域为（0，+ ）， f x 1ax ax2x 2,x令 f ' x 0得：xa若a 即 a ，则f x0, f x 在 (0, ) 上单调递增； 0 0若a即 a ，则由 f x 得 x>-a , 由 f x 0 得 x<-a0 0 0fx 在 ( a , )上单调递增 , 在 0,-a 上单调递减 .总之，当 a 0时，f x 在 (0,)上单调递增；当 a 0时，f x 在 ( a , ) 上单调递增 , 在 0,-a上单调递减 .练习 2解：f ( x) 的定义域为 (0,) .f '(x) x aa 1 x 2ax a 1 ( x 1)(x 1 a)x1 x a1=xx xx令f 'x0得: x 11, x 2 a 1(1) 若 a 1 0即a1时， f ' (x)0 x 1; f ' (x) 0 0 x 1此时 f ( x)在(1, )单调递增 ,在 (0,1)单调递减(2) 若 a 1 0即 a 1时，①若a 1 1 即a 2 时， f ' ( x) ( x 1)2 >0, 故 f (x) 在(0, ) 单调递增.x②若 0< a 1 1 ,即 1 a 2 时，由 f ' ( x)0 得， a 1x 1 ；由 f ' ( x) 0得， 0 x a 1或x 1故 f ( x) 在 (a 1,1) 单调递减，在 (0, a 1),(1, ) 单调递增 .③若 a 1 1,即 a 2 时，由 f ' ( x)0 得， 1 x a 1 ；由 f ' ( x) 0得， 0 x 1或x a 1故 f ( x) 在 (1,a 1) 单调递减，在 (0,1),( a 1, ) 单调递增 .综上所述 ，当 a1 ， f ( x) 单调增区为 (1, ) ,减区间是 (0,1) ;当 1 a 2 时， f (x) 的减区间是 ( a 1,1) ，增区间是 (0, a 1),(1,) ；当a2时， f ( x) 在定义域上递增，单调增区为 (0, ) （不存在减区间） ;当 a 2时， f ( x) 的减区间是 (1,a 1) ，在增区间是 (0,1),( a 1, ) .、解： x (1, ) ， x( kx k 1) .'1 kf '(x)令 f x0得 : x 1 0, x 2, k31 xk（ 1） 当 k0 时， f '( x)x .1x所以，在区间 ( 1,0) 上， f '(x) 0 ；在区间 (0, ) 上， f '( x) 0 .故 f (x) 的单调递增区间是( 1,0) ，单调递减区间是 (0,) .（ 2）当 x1即1k1时，考虑到 k>0得，无解 .2k（ 3）当 x 2x 1 即 k 1 时， f '(x)x 2故 f ( x) 的单调递增区间是 ( 1, ) .1 x（ 4）当 x 2 x 1 即0 k （0 ）时，1 Q k由 f '( x)0 得， 0 x 1k；由 f ' ( x) 0 得， 1 x0或 x1 kkk故 f (x) 的单调递增区间是( 1,0) 和 (1 k, ) ，单调递减区间是(0,1 k) .kk（5）当 21 即k 1 （Q k 0 ）时，x x由 f ' ( x)0 得，1 kx 0 ；由 f ' ( x) 0 得， 1 x1 k或 x 0kk故 f (x) 的单调递增区间是( 1,1 k) 和 (0, ) ，单调递减区间是 (1 k k,0) .k综上知 : 当 k0 时， f ( x) 得单调递增区间是 ( 1,0) ，单调递减区间是 (0, ) ；当 k 1 时， f ( x) 的单调递增区间是 ( 1,) ；当 0k1时， f (x) 的单调递增区间是 (1,0) 和 1 k ,1 k () ，单调递减区间是 (0,)kk4、解： 函数 f (x) 的定义域为 (0,)f ( x)12a(1 a) x2(1 a)2a(1 a) x22(1 a) x 1 (x>0)xx令 g ( x) 2a(1 a) x 2 2(1 a) x 1,则 f ' ( x) 与 g( x) 同号（1）当 a1 0, f (x)ln x 在定义域 (0,) 上为增函数1时， g (x) 1, f '( x)x(2) 当 a1时 ,4(1 a) 2 8a(1 a) 12 a 2 16a4 4(3a 1)(a 1)当1 a 1 时， g(x)开口向上，图象在 x 轴上方，所以 g (x)3所以 f ( x) 0 ，则 f (x) 在 (0, ) 上单调递增a 1,此时令 f (x) 0 ，解得 x 11 a , x 21 a 当或 a 12a(1 2a(1 a)3a)由于 2a(1 a) 0a 1 g( x)开口向上且 0x 1x 2 ，因此可进一步分类讨论如下：i) 当 a 1 时， 2a(1 a)0 g (x)开口向下 ，x 20 x 1 ∵ x 0 ， f (x) 00 x x 1 ;f (x) 0x x 1则 f (x) 在 (0,1 a (3a 1)(a 1)) 上单调递增，2a(1 a)在 (1 a (3a 1)(a 1) , ) 上单调递减 2a(1 a)ii)当 0 a1 0 x x 1 或 x x2 ; f (x) 0x 1 x x 2时， f ( x) 03则 f ( x) 在 (0, 1 a(3a 1)(a 1) ) ， ( 1 a(3a 1)(a 1) , ) 上单调递增，2a(1 a) 2a(1 a)在 ( 1a(3a 1)(a 1) , 1 a(3a 1)(a 1) ) 上单调递减2a(1 a)2a(1 a)综上所述， f(x)的单调区间根据参数 a 讨论情况如下表：11 a 1a1a33(0, x 1 )( x 1, x 2 )( x 2 , )(0,)(0, x 1)( x 1, )增 Z减 ]增 Z增 Z增 Z增 ]（其中 x 11(a 1)(3a 1), x 2 1(a 1)(3a 1) )2a 2a(1 a)2a2a(1 a)当 k1 时， f (x) 的单调递增区间是 ( 1,1 k) 和 (0, ) ，单调递减区间是 (1 k,0) .kk。