基本函数求导公式基本初等函数求导公式(1) 0)(='C (2) 1)(-='μμμx x(3) x x cos )(sin ='(4) x x sin )(cos -='(5)x x 2sec )(tan =' (6)x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec ='(8) x x x cot csc )(csc -='(9)a a a xx ln )(=' (10) (e )e xx '=(11)a x x a ln 1)(log ='(12)x x 1)(ln ='，(13)211)(arcsin x x -=' (14)211)(arccos x x --=' (15)21(arctan )1x x '=+(16)21(arccot )1x x '=-+函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）（3） v u v u uv '+'=')(（4） 2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛反函数求导法则若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =在对应区间xI 内也可导，且)(1)(y x f ϕ'=' 或 dy dx dx dy 1=复合函数求导法则隐函数存在定理 1 设函数),(y x F 在点),(00y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(0=y x F ，,),(00≠y x F y ，则方程),(y x F =0在点),(0y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(00x f y=，并有yx F F dx dy-=(2) 公式（2）就是隐函数的求导公式这个定理我们不证。
现仅就公式(2)作如下推导。
将方程(1)所确定的函数)(x f y =代入，得恒等式))(,(≡x f x F ,其左端可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得,0=∂∂+∂∂dxdy y F x F由于yF 连续，且0),(0≠y x F y，所以存在(x 0,y 0)的一个邻域，在这个邻域内0≠yF，于是得.yx F F dx dy-=如果),(y x F 的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作x 的复合函数而再一次求导，即得dxdy F F y F F x dx y d y x y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=22.232222y x yy y x xy y xx y x y x yy y xy y xyz y xx F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F +--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=例 1 验证方程0122=-+y x在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时，1=y 的隐函数)(x f y =，并求这函数的一阶和二阶导数在x =0的值。
解设=),(y x F 122-+y x ，则y F x F y x 2,2==,02)1,0(,0)1,0(≠==y F F .因此由定理1可知，方程122=-+y x 在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时，1=y 的隐函数)(x f y =。
下面求这函数的一阶和二阶导数 yx F F dx dy-==yx-，==x dxdy ;22dx y d =,1)(332222yy x y y y xx y y y x y -=+-=---='--122-==x dx yd 。
隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函数，那末一个三元方程F (z y x ,,)=0(3)就有可能确定一个二元隐函数。
与定理1一样，我们同样可以由三元函数F(z y x ,,)的性质来断定由方程F (z y x ,,)=0所确定的二元函数z =),(y x 的存在，以及这个函数的性质。
这就是下面的定理。
隐函数存在定理 2 设函数F (z y x ,,)在点),,(000z y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),,(000=z y x F ，0),,(0≠z y x F z，则方程F (z y x ,,)=0在点),,(000z y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(y x f z =，它满足条件),(000y x f z =，并有xz ∂∂=zx F F -,yz ∂∂=zy F F -.(4)这个定理我们不证.与定理1类似，仅就公式(4)作如下推导.由于 F (y x ,,f ),(y x )≡0,将上式两端分别对x 和y 求导，应用复合函数求导法则得xF +zF xz∂∂=0,yF +z F yz ∂∂=0。
因为zF 连续，且0),,(0≠z y x F z,所以存在点),,(0z y x 的一个邻域，在这个邻域内zF ≠0，于是得xz∂∂=zx F F -,yz ∂∂=zy F F -。
例2 设04222=-++z z y x，求.22xz∂∂解 设F (z y x ,,) =zz y x4222-++，则xF =2x , zF =42-z .应用公式(4)，得xz∂∂=zx -2。
再一次x 对求偏导数，得22x z ∂∂2)2()2(z xz x z -∂∂+-=.)2()2()2(2)2(3222z x z z z x x z -+-=-⎪⎭⎫⎝⎛-+-=二、方程组的情形下面我们将隐函数存在定理作另一方面的推广。
我们不仅增加方程中变量的个数。
而且增加方程的个数，例如，考虑方程组⎩⎨⎧==.0),,,(,0),,,(z u y x G v u y x F(5)这时，在四个变量中，一般只能有两个变量独立变化，因此方程组(5)就有可能确定两个二元函数。
在这种情形下，我们可以由函数F 、G 的性质来断定由方程组(5)所确定的两个二元函数的存在，以及它们的性质。
我们有下面的定理。
隐函数存在定理3 设函数),,,(v u y x F 、),,,(v u y x G 在点),,,(0v u y x P 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又0),,,(0=v u y x F ，0),,,(0=v u y x G ,且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可比(Jacobi)式):=J ),(),(v u G F ∂∂=vG u G v F u F ∂∂∂∂∂∂∂∂在点),,,(0v u y x P 不等于零，则方程组0),,,(=v u y x F ，),,,(=v u y x G 在点),,,(0v u y x 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数),(),,(y x v v y x u u ==，它满足条件),(),,(000000u x v v y x u u==，并有x u∂∂-=),(),(1v x G F J ∂∂-=,vuv u v xv x G G F F G G F Fx v∂∂-=),(),(1x u G F J ∂∂-=,vuv u x ux u G G F F G G F F(6)y u ∂∂-=),(),(1v y G F J ∂∂-=,vvv u v yv y G G F F G G F Fy v ∂∂-=J 1),(),(y u G F ∂∂-=.u y uy u v uvF FG G F F G G这个定理我们不证.例3 设1,0=+=-xv yu yv xu ，求x u ∂∂,y u ∂∂,xv ∂∂和yv ∂∂. 解 此题可直接利用公式(6)，但也可依照推导公式(6)的方法来求解。
下面我们利用后一种方法来做。
将所给方程的两边对x 求导并移项，得⎪⎩⎪⎨⎧-=∂∂+∂∂-=∂∂-∂∂.,v x v x xu y u x v y x ux在22≠+=-=y x xyy x J 的条件下，11 .,2222y x xv yu x y y x v y ux x v y x yv xu xy y x x v yu x u +-=---=∂∂++-=----=∂∂将所给方程的两边对y 求导，用同样方法在022≠+=y x J 的条件下可得,22y x yu xv y u +-=∂∂ .22y x yv xu y v ++-=∂∂。