四川省成都市龙泉第二中学2017届高三数学一诊模拟考试试题 理本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择),考生作答时,须将答案答答题卡上,在本试卷、草稿纸上答题无效。
满分150分,考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题,共60分)注意事项:1.必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 2.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|2}M x x =<,集合{}2|0N x x x =-<,则下列关系中正确的是A.M N ⋃=RB.M C N ⋃=R RC.N C M ⋃=R RD.M N M =I 2. 复数iiZ 212+-=(i 为虚数单位)所对应复平面内的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.已知数列n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,14,2248==S S ,则=2016SA .22252-B .22253-C .221008- D.222016-4.函数)(x f 是定义在)2,2(-上的奇函数,当)2,0(∈x 时,,12)(-=x x f 则)31(log 2f 的值为 A .2- B .32-C .7D .123- 5.函数cos sin y x x x =+的图象大致为A B C D6.函数的定义域为A.(,1)B.(,+)C.(1,+)D.7.执行如图所示的程序框图,如果输入a=2,b=2,那么输出的a 值为A .14B .15C .16D .178.若不等式组表示的区域Ω,不等式(x ﹣)2+y 2表示的区域为T ,向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻,则落在区域T 中芝麻数约为 A .114 B .10C .150D .509.如图,在OMN ∆中,,A B 分别是,OM ON 的中点,若(),OP xOA yOB x y R =+∈u u u v u u u v u u u v,且点P 落在四边形ABNM 内(含边界),12y x y +++的取值范围是A.12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B .13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦10.设函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+≠><的图像关于直线23x π=对称,且它的最小正周期为π,则A.()f x 的图像经过点1(0,)2B.()f x 在区间52[,]123ππ上是减函数 C.()f x 的图像的一个对称中心是5(,0)12π D.()f x 的最大值为A11、把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在下图图案中的1,2,3,4,5,6,7所示的位置上,其中三盆兰花不能放在一条直线上,则不同的摆放方法为A .2680种B .4320种C .4920种D .5140种 12.已知命题p : x R ∀∈,3sin 2x >, 则 A.﹁p : x R ∃∈,sin 32x ≤B.﹁p : x R ∃∈,3sin 2x < C.﹁p : x R ∀∈,错误!未指定书签。
D.﹁p : x R ∀∈,3sin 2x ≤第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题(每小题4分,共20分) 13.曲线21x yxe -=在点(1,1)处的切线方程为 .14.已知三棱锥A-BCD 中,AB ⊥面BCD ,△BCD 为边长为2的正三角形,AB=2,则三棱锥的外接球体积为 。
15.数列{}n a 中,)2,(122,511≥∈-+==*-n N n a a a n n n ,若存在实数λ,使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+nn a 2λ为等差数列,则λ= .16.已知函数)(x f =x+sinx.项数为19的等差数列{}n a 满足⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππ,n a ,且公差0≠d .若0)()()()(191821=++⋯++a f a f a f a f ,则当k =______时,0)(=k a f三、解答题(共6小题,共70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) 17.(本小题满分12分)已知三角形ABC 中,()()2211,,,y x AC y x AB ==. (1)若()()3,1,1,3-==AC AB .求三角形ABC 的面积∆S ; (2)求三角形ABC 的面积∆S .18.(本小题满分12分) 已知函数.(1)当时,求的极值;(2)若在区间上单调递增,求b 的取值范围.19.设函数f (x )=x 2+bln (x+1),其中b ≠0. (Ⅰ)当时,判断函数f (x )在定义域上的单调性;(Ⅱ)当21≤b 时,求函数f (x )的极值点;20. (本小题满分12分)已知动圆过定点P (4,0),且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心C 的轨迹方程;(2)过点(2,0)的直线l 与C 相交于A ,B 两点.求证:OA OB u u u r u u u rg 是一个定值.21.(本小题满分12分)已知动圆P 与圆()221:381F x y ++=相切,且与圆()222:31F x y -+=相内切,记圆心P 的轨迹为曲线C ;设Q 为曲线C 上的一个不在x 轴上的动点,O 为坐标原点,过点2F 作OQ 的平行线交曲线C 于,M N 两个不同的点.(1)求曲线C 的方程;(2)试探究MN 和2OQ 的比值能否为一个常数?若能,求出这个常数,若不能,请说明理由; (3)记2QF M ∆的面积为1S ,2OF N ∆的面积为2S ,令12S S S =+,求S 的最大值.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。
作答时请写清题号,本小题满分10分。
22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =3+12t ,y =32t (t 为参数).以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C 的极坐标方程为ρ=23sin θ. (1)写出⊙C 的直角坐标方程;(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标.23.(本题满分10分)选修4-5:不等式选讲 若a >0,b >0,且1a +1b =ab . (1)求a 3+b 3的最小值;(2)是否存在a ,b ,使得2a +3b =6?并说明理由.成都龙泉第二中学高2017届高三上期期末考试模拟试题数学(理工类)参考答案1—5 BCBAD 6—10 ACACC 11—12 BA 13. e ex y 23-= 14.282127π 15.1- 16.10 17.(本小题满分12分)解:已知,sin 2A AC AB S ⋅=∆,cos 2121A AC AB y y x x AC AB ⋅⋅=+=⋅ ……6分得:,4sin 2222∆=⋅S A AC AB ①,)(cos 22121222y y x x A AC AB +=⋅ ②由①+②,得: ,)(422121222y y x x S AC AB ++=⋅∆ 又.,2222221212y x AC y x AB +=+=代入化简,得: 122121y x y x S -=∆. ......12分 18.(1)当b =2时,()()=x+2-x f x 212的定义域为1-2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭,()()()()2'5222122221212x x f x x x x x x-+=+-++-=-- 令()'0fx =,解得12x 2,0x =-=当1x 2x<2<-和0<时,()'0f x <,所以()f x 在()1,2,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭,0上单调递减; 当12x<2-<时,()'0f x >,所以()f x 在12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增;所以,当x 2=-时,()f x 取得极小值(2)0f -=;当1x 2=时,()f x 取得极大值(0)4f =。
(2)()f x 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增⇔()'0,f x ≥且不恒等于0对x 10,3⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立……………………7分()(()2'2212221212fx x b x x bx b x x=+-++-=--25320x bx x ∴--+≥……………………………………8分 min253x b -⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭……………………………………10分1252513339x-⨯->=Q……………………………………11分 19b ∴≤……………………………………12分19.解:(Ⅰ)函数f (x )=x 2+bln (x+1)的定义域在(-1,+∞)令g (x )=2x 2+2x+b ,则g (x )在上递增,在上递减,g (x )=2x 2+2x+b >0在(-1,+∞)上恒成立, 所以f'(x )>0即当,函数f (x )在定义域(-1,+∞)上单调递增. 5分(Ⅱ)(1)当时,,∴,∴时,函数f (x )在(-1,+∞)上无极值点 7分(2)当时,解f'(x )=0得两个不同解2211,221121bx b x -+-=---=当b <0时,2211,221121bx b x -+-=---=, ∴x 1∈(-∞,-1),x 2∈(-1,+∞),f (x )在(-1,+∞)上有唯一的极小值点22112bx -+-=当时,x 1,x 2∈(-1,+∞)f'(x )在(-1,x 1),(x 2,+∞)都大于0,f'(x )在(x 1,x 2)上小于0,f (x )有一个极大值点22111bx ---=和一个极小值点22112bx -+-=综上可知,b <0,时,f (x )在(-1,+∞)上有唯一的极小值点22112bx -+-=时,f (x )有一个极大值点22111b x ---=和一个极小值点22112bx -+-=21=b 时,函数f (x )在(-1,+∞)上无极值点. 12分20.解:(1)设圆心为C (x ,y ),线段MN 的中点为T ,则1分 |MT |=|MN |2=4.依题意,得|CP |2=|CM |2=|MT |2+|TC |2,∴()222244y x x +-=+,∴28y x =为动圆圆心C 的轨迹方程.4分(2)证明:设直线l 的方程为x =ky +2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2) 5分由⎩⎨⎧=+=xy ky x 822,得y 2-8ky -16=0. ∴264640k ∆=+>。