二、三角函数有理式的积分
三角函数有理式的定义：
由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函
数，一般记为R(sin x,cos x).
因为
sin x
cos x
2sin cos2
x cos x 22 x sin2 2
其中Ai , Bi 都是常数 ( i ＝ 1 , 2 , ……)
定理1 有理函数的原函数都是初等函数.
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例1
x2
x3 5x 6
(
x
x 2)(
3 x
3)
A x2
B x3
x 3 A( x 3) B( x 2)
(A B)x (3A 2B)
A (3
B A
A Bx C
1 2x
1
x2
1 A(1 x2 ) (Bx C)(1 2x)
( A 2B)x2 (B 2C)x (C A)
得 A 4, B 2,C 1,
5
5
5
(1
1 2 x )(1
x2)
4 2x1
5 1 2x
55 1 x2
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因此
(1
1 2 x )(1
dx ( x2 px q)k
Ak
2
d(x2 px q) (x2 px q)k
(Bk
Ak 2
p
)
d(x p) 2
((x p)2 (q p2 ))k
2
4
A1 2
1 1 k
(x2
1 px q)k1
用递推公式降次
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例2
1 x( x1)2
A x
B C x 1 (x 1)2
高等数学 (上)
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第四章 不定积分
高等数学（上）
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第四节 几种特殊函数的不定积分
一、有理函数的积分
有理函数：两个多项式的商表示的函数 .
P(x) Q( x)
a0 xn a1 xn1 b0 xm b1 xm1
an1 x an bm1 x bm
1
把有理函数的积分化成一个多项式和一个
真分式积分之和.
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关键：将真分式化为部分分式之和.
由代数学里的部分分式定理知：
1）分母中若有因式( x a)k，则分解后为
A1 A2 Ak
x a (x a)2
(x a)k
其中 A1 , A2 , , Ak 都是常数.
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C.
A1 x B1 x2 px
q
dx
D.
( Ak x Bk )dx (x2 px q)k
A1
2
(2x p)dx x2 px q
( B1
A1 p ) 2
dx x2 px q
A1
2
(
x2 px q)dx x2 px q
( 都是非负整数；a0 , a1 , , an 及 b0 , b1 , , bm 都是实数，并且a0 0 ，b0 0 .
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n m 称为真分式；
n m 称为假分式；
利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和.
例
x3 x2
x 1
1
x
1 x2
1 1 x3
dx 1 x3 1
(1 x)(1
x
x2)
(1
1 x)(1
x
x2
)
1
A x
Bx C 1 x x2
可求得 A 1 , B 1 ,C 2
3
3
3
I 1 ln 1 x 1 ln( x2 x 1) 1 arctan 1 (2x 1) C
3
6
3
3
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注意 一般的方法不一定是最佳的方法, 故有理式
1 2B)
3
A B
5 6
x3 x2 5x 6
5 6 （待定系数法） x2 x3
x3 x2 5 x 6 dx 5ln x 2 6ln x 3 C
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1）分母中若有因式( x a)k，则分解后为
A1 xa
A2 ( x a)2
Ak ( x a)k
2）分母中若有因式 ( x2 px q)k ,则分解为：
)
d(x p) 2
(x p)2 (q p2 )
A1
ln( x2
px q)
B1
A1 p 2
arctan
2
x
p
2
4
c
2
p2
p2
q
q
4
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D.
( Ak x Bk )dx (x2 px q)k
Ak
2
(2x (x2
p)dx px q)k
( Bk
Ak p ) 2
A1 x B1 x2 px q
A2 x B2 (x2 px q)2
Ak x Bk (x2 px q)k
因此,只要求出四类积分.
A.
dx xa
ln(x
a)
c
dx
1
C .
A1 x B1 x2 px
dx q
1
D.
( Ak x Bk )dx (x2 px q)k
B. ( x a)k 1 k ( x a)k1 c
例如
x
2
x3 5x
6
(x
x3
2)( x 3)
A x2
B x
3
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2）分母中若有因式( x2 px q)k,其中
p2 4q 0 ,则分解后为：
A1x B1 A2 x B2 Ak x Bk
x2 px q (x2 px q)2
(x2 px q)k
x
2
dx )
1
4
5 2
x
2x 5 1 x2
1 5
dx
4 5
1
1 2
x
dx
1 5
2x 1 1 x2 dx
4 5
1
1 2x
dx
1 5
2x 1 x2
1
1 x2
dx
2 ln 1 2x 1 ln 1 x2 1 arctanx C
5
5
5
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例4 求 I
由 1 A(x 1)2 Bx(x 1) Cx
( A B)x2 (C 2A B)x A
得 A 1 ，B 1 ，C 1.
1 所以 x( x 1)2
11
1
x ( x 1)2 x 1
x(
1 x
1)2dx
ln
x
x
1
1
ln(
x
1)
C
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1 例3 (1 2x)(1 x2 )
的积分应先考虑其它方法, 不得已时才用一般方法
计算.
例5
1
x(
x16
dx 2)
x15dx x16( x16 2)
1
16
dx16
1 y x16
x16( x16 2)
16
dy y( y 2)
1 32
(
1 y
y
1
)dy 2
1 ln x 1 ln(x16 2) C 2 32
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