x x
dx
解:原式
d (x sin x) x sin x
ln | x sin x | C
例4
1 1
sin x dx c os x
解:原式
1
1 cos
dx x
sin x dx 1 cosx
1 2
c s c2
x 2
dx
d (1 cosx) 1 cosx
1 cot x ln |1 cosx | C 22
dx,
原式
dx
1
4
t 3dt
3
x (
1)4
(x
C1
112121(212x(xx221C)12x2x)21C212C, C,C,,
x 1 x 1
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二、几种特殊类型的积分
1. 一般积分方法
有理函数
分解
指数代换 万能代换 根式代换
多项式及 部分分式之和
主讲人： 苏本堂
指数函数有理式 三角函数有理式
三角代换
简单无理函数
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主讲人： 苏本堂
例5. 求
解:
原式
[ln(x
1
x2
1
) 5]2
d
[ ln(x
1 x2 ) 5]
2 ln(x
1
x2
)
5
3 2
C
3
分析:
(1 2x ) dx
d [ ln(x 1 x2 ) 5]
2 1 x2
x 1 x2
dx 1 x2
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主讲人： 苏本堂
2. 需要注意的问题
(1) 一般方法不一定是最简便的方法 , 要注意综合 使用各种基本积分法, 简便计算 .
(2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 , 因此不一 定都能积出.
例如 ,
1 k 2 sin2 x dx (0 k 1),
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例13. 求
dx
一、 求不定积分的基本方法
1. 直接积分法
通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 .
2. 换元积分法
第一类换元法
第二类换元法 (代换: x (t))
(注意常见的换元积分类型)
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3. 分部积分法
u vdx u v uv dx
使用原则:
例6. 求
解:
原式
x
2 2
sin x 2
cos 2
cos x
x 2
dx
x
d
tan
x 2
tan
x 2
dx
x tan x C 2
2
例7. 求
解 : 原式
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例8. 求
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解: 原式 arctan exdex
ex arctan ex
ex
1
ex e2x
dx
ex arctan ex
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第四章习题课
一、求不定积分的基本方法 二、几种特殊类型的函数的积分
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主要内容
主讲人： 苏本堂
原函数
不定积分
选
择 u
分部 积分法
积分法
直接 积分法
基 本
有
积
效 方 法
第一换元法 第二换元法
几种特殊类型 函数的积分
分 表
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例11. 设
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证明递推公式:
In
1 secn2 n 1
x
tan
x
n2 n 1
In2
(n 2)
证: In secn2x sec2 x dx
secn2 x
(n 2) secn3x sec x tan x
secn2 x tan x (n 2) secn2x (sec2 x 1) dx
1 ln x 1 ln( x10 2) C .
2
20
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例16 求
dx
.
3 ( x 1)2 ( x 1)4
解 3 ( x 1)2 ( x 1)4 3 ( x 1)4 ( x 1)2 . x1
令 t x 1, x1
则有
dt
(
x
2 1)2
(1 e2x ) 1 e2x
e2x
dx
ex
arctan ex
x
1 2
ln
(1
e2
x
)
C
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例9. 求 解: (一) 令 x=tant 原式
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x2 1 x t 1
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例9. 求 解: (二)
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而 即 所以
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解: 原式
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1 (2u)(u2 1)
A 2u
B C
u 1 u 1
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例15 求
dx
x(2
x
10
. )
解
原式
x9dx 1 x10 (2 x10 ) 10
d ( x10 ) x10 (2 x10 )
1 [ln x10 ln( x10 2)] C 20
a
x
ln
a
dx
1 ln
2 3
d (32) x 1 (32)2 x
ln3
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例2
计算
x2 a 6 x 6 dx
解:原式 1
3
(x3)2
1
(a
3
)
2
dx3
1 6a3
ln
x3 a3 x3 a3
C
例3
计算
1 cos x sin
1) 由 v 易求出 v ;
2) uv dx 比
好求 .
一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺
序,
排前者取为 u , 排后者取为 v .
计算格式: 列表计算
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例1. 求
解: 原式
2x3x 32 x 22
x
dx
1
(
32)
(
2 3
x
)
da x 2 x dx
secn2 x tan x (n 2) In (n 2) In2
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例12. 求
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解: 设 F(x) x 1 x 1, x 1
1 x , x 1
则
1 2
x
2
x
C1
,
x 1
x
1 2
x2
C2
,
x 1
因 连续 , 利用
得
1 2
C1
1 2
C2
记作
C
得
1 2
1
x
x
x.
1 e2 e3 e6
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解:
令
t
x
e6
,
则
x 6lnt ,
dx
6 t
dt
原式 6
(1
t3
d
t t
2
t)t
6
dt (t 1)(t 2 1)t
dt
6ln t 3ln t 1 3 ln(t2 1) 3arctan t C 2
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例14. 求不定积分
例10 求 x 1 dx.
x2 x2 1
解 令x 1 , (倒代换)
t
1
原式
1 t2
1 t (1)2
( 1
1 t2
)dt
t
1 t dt
1 t2
1 dt d(1 t 2 ) arcsin t
1 t2
2 1 t2
1 t2 C
x2 1
1
arcsin C.
x
x
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