杭州二中2016学年第一学期高一年级期中考数学试卷 命题： 黄宗巧 傅海婷 审核、校对： 徐存旭 谢丽丽一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合M 满足：,M ≠∅若,a M ∈则a M -∈,则称集合M 是一个“对称集合”.已知全集{|1},{|1}A x x B x x =<-=≤，那么下列集合中为“对称集合”的是( )A ．AB B. A B C. ()R C A B D.()R A C B2.已知22log 5,log 3a b ==，则225log 3=( )A ．2a b - B ．2a b - C ．2a b D ．2a b3.已知函数()()()3,0()2,0x x f x f x x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则()=-2f ( ) A.3 B.1 C.2- D.04. 设324log 0.2,log 1.4,log 5a b c ===，则,,a b c 的大小关系为( ) A. a c b << B. a b c << C.c b a <<D. b c a <<5.若函数,1()(0,1)(8)2,1x a x f x a a a x x ⎧>=>≠⎨-+≤⎩且是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( )A. (1,8)B. (1,5]C.[5,8)D.[4,8) 6.函数22lg xy x x=+的图象可能是( )A B C D 7.已知函数()225f x ax x =-+在()1,2上是减函数，则a 的取值范围是( ) A. 102a ≤< B. 210≤<a C.0a <，或102a <≤ D. 12a ≤8.已知函数2()log (41)x f x x =+-，)(x h ＝22(0)(0)x x x x x x ⎧-+>⎪⎨+≤⎪⎩，则)(x f ，)(x h 的奇偶性依次为( )A.偶函数，偶函数B.奇函数，偶函数C.偶函数，奇函数D.奇函数，奇函数 9.已知函数()51213xxxf x =+-，若{|2}M x x =>，{|()0}N x f x =<， 则M,N 的关系为( ) A. M N = B.M N ⊂≠C.M N ⊃≠D.M,N 无包含关系10.已知函数1,()0,Rx Qf x x C Q ∈⎧=⎨∈⎩被称为狄利克雷函数，其中R 为实数集,Q 为有理数集.给出下列三个判断：①(())1f f x =；②任取一个不为零的有理数T ,)()(x f T x f =+对任意的R x ∈恒成立；③存在三个点()()()112233,(),,(),,()A x f x B x f x C x f x ，使得ABC ∆为等边三角形. 其中错误判断的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.已知幂函数()y f x =的图象过点(2,2，则1()4f = _______. 12．已知23a b m ==，若212a b+=，则m 的值为______. 13. 已知2221()1x x f x x ++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M+m= .14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()=3f x x x -.则函数()()+3g x f x x =-的零点的个数为 . 15.若函数2()log (0,1)aax a f x a a x+-=>≠且满足：当1212x x ≤<≤时，都有12()()0f x f x -<，则实数a 的取值范围为 ________.16.已知0()x f x x ≥=<⎪⎩，若对任意的]2,[+∈a a x ，不等式(22)()f x a x +≥恒成立,则a 的取值范围是为________.杭州二中2016学年第一学期高一年级期中考数学答卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的.二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. 12. 13.14. 15. 16.三、解答题：本大题共5小题.共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本题满分8分）已知集合{|211}A x a x a =-<<+，2{30}B x R x x =∈-<． （Ⅰ）若2a =，求B A ⋂，()R AC B ；（Ⅱ）若A B A =⋂，求实数a 的取值范围.18. （本题满分8分）已知 910390,xx-⋅+≤求函数1211log [()4()2]42x xy -=-⋅+的值域.19. （本题满分10分）已知定义域为R 的函数10(2)10()1010x xx xa a f x --⋅+-=+是奇函数.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）判断并用定义证明()f x 的单调性； （III ）求不等式9[()]11f f x >的解集.20.（本题满分10分） 已知函数2()1f x x ax =++.（Ⅰ）当]2,2[-∈x 时，()0f x a -≥ 恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当[1,2]x ∈时，不等式|()|21f x x ≤+ 恒成立，求实数a 的取值范围．21. （本题满分10分）设函数2()|1|f x x x a =+-+,R a ∈.（Ⅰ）若方程x x f 3)(=在区间)2,1(上有解,求a 的取值范围. （Ⅱ）设2()log (14)x ag x +=-，若对任意的)2,0(,21∈x x ，都有1221()()4g x f x a <++，求a 的取值范围.杭州二中2016学年第一学期高一年级期中考数学(参考答案)命题：黄宗巧傅海婷审核、校对：徐存旭谢丽丽一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的.二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. 2 12. 13. 2 14. 3 15. (1,2) 16. 2a ≥ 三、解答题：本大题共5小题.共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本题满分8分）已知集合{|211}A x a x a =-<<+，2{30}B x R x x =∈-<． （Ⅰ）若2a =，求B A ⋂，()R A C B ；（Ⅱ）若A B A =⋂，求实数a 的取值范围.【解析】（Ⅰ）2,a =∴,A =∅∅=⋂B A ,(0,3),B =∴ (){|0,3}R AC B x x x =≤≥或 ----------------4分（Ⅱ） A B A A B ⋂=⇔⊆, 若A =∅，则211a a -≥+,则2a ≥ 若A ≠∅，则 02113a a ≤-<+≤，此时122a ≤<； 综上所述，1.2a ≥----------------4分 18.（本题满分8分）已知：910390,xx-⋅+≤求函数1211log [()4()2]42x xy -=-⋅+的值域. 【解析】2(3)10390,13902x x x x -⋅+≤∴≤≤⇒≤≤ ----------------2分令1()2xt =，1[,1],4t ∴∈则121111()4()24()4()24222x x x x u -=-⋅+=⋅-⋅+， ----------------2分2214424()1[1,2]2t t t =-+=-+∈ ----------------2分2log [0,1].y u y =∴∈是增函数， ---------------共8分19.（本题满分10分）已知定义域为R 的函数10(2)10()1010x x x xa a f x --⋅+-=+是奇函数. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）判断并用定义证明()f x 的单调性； （III ）求不等式9[()]11f f x >的解集. 【解析】（Ⅰ）()(),,(0)01f x f x x R f a -=∈∴=⇒=，----------------2分（Ⅱ）1010()1010x x x x f x ---=+22210121101101x x x -==-++，是增函数；证明：任取12x x >， 则122210100x x>>12212122122222222(1010)()()0101101(101)(101)x x x x x x f x f x --=-=>++++ ∴函数)(x f 为增函数. ----------------4分 （III ）911[()]()()1122f f x f f x >=∴>， 2lg3110310,{lg3}.2x x x ⇒>=∴>----------------4分20.（本题满分10分）已知函数2()1f x x ax =++.（Ⅰ）当]2,2[-∈x 时，()0f x a -≥ 恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当[1,2]x ∈时，不等式|()|21f x x ≤+ 恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】（I ） 当]2,2[-∈x 时， 2()()(1)0g x f x a x ax a =-=++-≥恒成立， 等价于min ()0g x ≥，讨论如下：当[2,2]2a -∈-时，2min ()()1024a a g x g a =-=--+≥解得4 2.a -≤≤ ------------------2分 当22a->时，min ()(2)50g x g a ==+≥，解得5 4.a -≤<- ---------2分 当22a-<-时，min ()(2)530g x g a =-=-≥，此时无解.综上所述，5 2.a -≤≤ -----------------共-6分【另解】当]2,2[-∈x 时，()0f x a -≥即)1()1(2+-≥-x x a 恒成立 当1=x 时，20-≥成立，此时R a ∈ ----------------1分当21≤<x 时，令1(01]t x =-∈，，112-+-≥∴x x a 2(1)12(2)()t t g t t t++=-=-++=-恒成立， 其中2()2g t t t=++在]1,0(∈t 上递减， min ()(1)5g t g == max [()](1)5a g t g ∴≥-=-=- ---------------3分当21x -≤<时，令1(0,3]t x =-∈，211x a x +∴≤--2(1)12()2()t t h t t t-+==+-= 恒成立 ，min ()2a h t h ∴≤==.综上所述，5 2.a -≤≤. --------------------共6分(II) 当[1,2]x ∈时，2|1|21x ax x ++≤+，即221121x x ax x --≤++≤+即22222x x ax x x ---≤≤-，即22()2x a x x--+≤≤- 恒成立，∴max min 2[2()](2)x a x x --+≤≤-，故20.a --≤≤------------4分21.（本题满分10分）设函数2()|1|f x x x a =+-+,R a ∈.（Ⅰ）若方程x x f 3)(=在区间)2,1(上有解,求a 的取值范围.（Ⅱ）设2()log (14)x a g x +=-，若对任意的)2,0(,21∈x x ， 都有1221()()4g x f x a <++，求a 的取值范围. 【解析】 （Ⅰ） ()3f x x =在区间)2,1(上有解,等价于当(1,2)x ∈时，求值域：221(2,1)a x x -=--∈--，故(1,2)a ∈.----------3分（Ⅱ） 首先，对数真数140x a +->在)2,0(上恒成立，即2140a +-≥，故2-≤a ； ----------1分其次，对任意的)2,0(,21∈x x ，都有1221()()4g x f x a <++等价于max min 21()(),[0,2]4g x f x a x ≤++∈ --------1分 对于[0,2]x ∈，max 2()log (14)a g x =-222()|1|11,1231,014f x x x ax x a a x x x a a x =+-+⎧+-+≥+≤≤⎪=⎨-++≥+≤≤⎪⎩，min 3()4f x a ∴=+, ----------3分 于是2log (14)26a a -≤+，266114224,465a a a a +∴-≤=⨯≥ 综上所述，265log 4-≤≤-a .----------共7分杭州二中2016学年第一学期高一年级期中考数学试卷命题： 黄宗巧 傅海婷 审核、校对： 徐存旭 谢丽丽一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2.若集合M 满足：,M ≠∅若,a M ∈则a M -∈,则称集合M 是一个“对称集合”.已知全集{|1},{|1}A x x B x x =<-=≤，那么下列集合中为“对称集合”的是（ C ）A ．AB B. A B C. ()RC A B D.()R A C B2.已知22log 5,log 3a b ==，则225log 3=（ B ） A ．2a b - B ．2a b - C ．2a b D ．2a b【解析】222225log log 5log 323a b =-=- 3. 已知函数()()()3,0()2,0x x f x f x x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则()=-2f ( A ) .3A 1.B 2.-C .0D4. 设324log 0.2,log 1.4,log 5a b c ===，则,,a b c 的大小关系为( B )A. a c b <<B. a b c <<C.c b a <<D. b c a <<【解析】44223log 5log 41log 2log 1.40log 0.2c b a =>==>=>>=5. 若函数,1()(0,1)(8)2,1x a x f x a a a x x ⎧>=>≠⎨-+≤⎩且是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是（ C ）A. (1,8)B. (1,5]C.[5,8)D[4,8)【解析】由题意得到18058(8)2aa aa a>⎧⎪->∴≤<⎨⎪-+≤⎩，选C.6.函数22lgxy xx=+的图象可能是( B )A B C D7. 已知函数()225f x ax x=-+在()1,2上是减函数，则a的取值范围是（D）A.12a≤< B.210≤<a C.0a<,或12a<≤ D.12a≤【解析】因为()225f x ax x=-+在()1,2上是减函数，讨论如下：当a>0时，对称轴在定义域的右侧，故满足12≥a，当a=0时, ()23=-+f x x整个定义域为减函数，当a<0时，()223f x ax x=-+开口向下，对称轴x=1a<,故在()1,2上是减函数，综上，则a的取值范围是12a≤，故选D.8.已知函数2()log(41)xf x x=+-，)(xh＝22(0)(0)x x xx x x⎧-+>⎪⎨+≤⎪⎩，则)(xf，)(xh的奇偶性依次为（C）A.偶函数，偶函数B.奇函数，偶函数C.偶函数，奇函数D.奇函数，奇函数【解析】222241()log(41)log2log log(22)2xx x x xxf x-+=+-==+，()()f x f x∴-=，)(xf为偶函数;又当x＞0时，－x＜0，h（－x）＝x2－x＝－h（x ）当x ＜0时，－x ＞0，h （－x ）＝－x 2－x ＝－h （x ），且h （0）＝0，故h （x ）是奇函数.选C.9.已知函数()51213x x x f x =+-，若{|2}M x x =>，{|()0}N x f x =<， 则M,N 的关系为( A )A. M N =B.M N ⊂≠C.M N ⊃≠D.M,N 无包含关系 【解析】构造函数512()()()1313x x g x =+，则()g x 在R 上递减， 512()512130()()()1(2) 2.1313x x x x x f x g x g x ∴=+-<⇔=+<=⇔> 10.已知函数1,()0,Rx Q f x x C Q ∈⎧=⎨∈⎩被称为狄利克雷函数，其中R 为实数集,Q 为有理数集.给出下列三个判断：①(())1f f x =；②任取一个不为零的有理数T ,)()(x f T x f =+对任意的R x ∈恒成立；③存在三个点()()()112233,(),,(),,()A x f x B x f x C x f x ，使得ABC ∆为等边三角形. 其中错误判断的个数是（ D ）A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】由题意知，()f x Q ∈，故(())1f f x =成立；任取一个一个不为零的有理数T ,都有()()1f x T f x +==成立；取(0,1)A，(B，C ，则ABC ∆是等边三角形；故错误判断的个数为0. 三、 填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.已知幂函数()y f x =的图象过点(2,2，则1()4f = ___2； 12．已知23a b m ==，若212a b+=，则m 的值为______ 【解析】 由 23a b m == 得 23log , log a m b m ==212log 2log 3log 12m m m a b∴+=+==2 212 m ∴=又0 m m >∴=13. 已知2221()1x x f x x ++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M+m= 2 【解析】 22()11()1x f x g x x =+=++， ()g x 是奇函数，其图象关于原点对称， 最大值与最小值之和为0，2M m ∴+=.14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()=3f x x x -.则函数()()+3g x f x x =-的零点的个数为 3【解析】()0()=3g x f x x =⇒- ，数形结合，可得零点的个数为3.当0x ≥时，2()=3f x x x -,1,3x ⇒=；当0x <时，22()=()=3()=3f x f x x x f x x x --+⇒--2x ⇒=-；综上所述，零点的个数为3.15.若函数2()log (0,1)a ax a f x a a x+-=>≠且满足：当1212x x ≤<≤时，都有12()()0f x f x -<，则实数a 的取值范围为 (1,2)___【解析】(同增异减) 由题意知， 2()log aax a f x x +-=在[1,2]上是增函数， 首先2()0ax a t g x x+-==>在[1,2]恒成立，则(1)2(1)0,1g a a =->∴>，则 2log ,0,a a y t t a x-=↑∴=+>且在[1,2]上是增函数， 所以min20,(1,2).(1)2(1)0a a t g a -<⎧∴∈⎨==->⎩ 16.已知0()0x f x x ≥=<⎪⎩，若对任意的]2,[+∈a a x ，不等式(22)()f x a x +≥恒成立,则a 的取值范围是为2a ≥.【解析】由题意可知， )(x f (3)()f x x =, 所以，对任意的]2,[+∈a a x ，(22)(3)223,f x a f x x a x +≥⇔+≥恒成立，则 max 11(2), 2.22a x a a ≥=+∴≥。