下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。
例1 因果信号f1(t)= et (t) ，求其拉普拉斯变换。
解
F 1 b ( s ) 0 e te sd tt e ( s ( s ) t)0 ( s 1) [ 1 l t ie ( m ) te j t]
1
不s 定
Fb(+j)= ℱ[ f(t) e-t]=
f(t)e te jtd t f(t)e ( j )td t
相应的傅里叶逆变换 为
f(t) e-t= 21 Fb(j)ejtd
f(t)2 1 F b( j )e(j)td
令s = + j,d =ds/j，有
Fb(s) f(t)estdt
二、重点
拉普拉斯变换及其性质，LTI连续系统的 s域分析方法。
三、难点
拉普拉斯变换与傅里叶变换的区别与联系。
第五章 连续系统的s域分析
频域分析：以虚指数信号ejωt为基本信号，所采用 的数学工具为傅里叶变换。不足：有些重要信号不存在 傅里叶变换，如e2tε(t)，对于给定初始状态的线性系 统难于利用频域分析。
无界 , Re[s]
不定
，
jω
1
(s )
，
可见，对于反因果信号，仅当 Re[s]=<时，其拉氏变换存 在。 收敛域如图所示。
0
βσ
例3 双边信号求其拉普拉斯变换。
f3(t)f1(t)f2(t) ee tt,,
t0 t0
求其拉普拉斯变换。
解 其双边拉普拉斯变换 Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)
次幻方，这两种幻方性质特殊，变化复杂，至今尚为学者称道；在热学中，他改 良了取暖的炉子，可以节省四分之三燃料，被称为“富兰克林炉”；在光学方面， 他发明了老年人用的双焦距眼镜，戴上这种眼镜既可以看清近处的东西，也可看 清远处的东西。他和剑桥大学的哈特莱共同利用醚的蒸发得到负二十五度（摄氏） 的低温，创造了蒸发致冷的理论。此外，他对气象、地质、声学及海洋航行等方 面都有研究，并取得了不少成就。
富兰克不仅是一位优秀的科学家，而且还是一位杰出的社会活动家。他一生 用了不少时间去从事社会活动，并参加了第二届大陆会议和《独立宣言》的起草 工作。富兰克林特别重视教育，他兴办图书馆、组织和创立多个协会都是为了提 高各阶层人的文化素质。
第五章 连续系统的s域分析
一、基本内容
5.1 拉普拉斯变换 5.2 拉普拉斯变换的性质 5.3 拉普拉斯逆变换 5.4 复频域分析 5.5 双边拉普拉斯变换
• 拉斯变换的优点表现在：
• 求解的步骤得到简化，同时可以给出微分方程的特解和 补解，而且初始条件自动的包含在变换式里。
• 拉斯变换分别将“微分”与“积分”运算转换为“乘法” 和“除法”运算。
• 指数函数、超越函数以及具有不连续点的函数，经拉氏 变换可转换为简单的初等函数。
• 拉斯变换把时域中两函数的卷积转换为变换域中两函数 的乘法运算，在此基础上建立了系统函数的概念，这一 重要的概念为研究信号经线性系统传输提供了许多方便。
读书是易事， 思索是难事， 但两者缺一， 便全无用处。
---- 富兰克林（美国）
富兰克林 (1706-1790)
本杰明.富兰克林——资本主义精神最完美的代表，十八 世纪美国最伟大的科学家，著名的政治家和文学家。他一生 最真实的写照是他自己所说过的一句话“诚实和勤勉，应该 成为你永久的伴侣。”
富兰克林通过著名的风筝的实验证明了雷电的本质，并 发明了避雷针。富兰克林对科学的贡献不仅在静电学方面， 他的研究范围极其广泛。在数学方面，他创造了八次和十六
双边拉普拉斯变换对
f(t)21j jj Fb(s)estds
Fb(s)称为ห้องสมุดไป่ตู้(t)的双边拉氏变换（或象函数）， f(t)称为Fb(s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。
二、收敛域
只有选择适当的值才能使积分收敛，信号f(t)的双 边拉普拉斯变换存在。
使 f(t)拉氏变换存在的的取值范围称为Fb(s)的 收敛域，记为ROC。
仅当>时，其收敛域
jω
为 <Re[s]<的一个带
状区域，如图所示。
α0
βσ
例4 求下列信号的双边拉氏变换。
f1(t)= e-3t (t) + e-2t (t)
f2(t)= – e -3t (–t) – e-2t (–t)
s域分析：本章引入复频率 s = σ+jω,以复指数 函数est为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复 指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是复频率 s ，故称为s域分析。所采用的数学工具为拉普拉斯变 换。
• 19世纪末，英国工程师赫维赛德发明了“运算法”（算 子法）解决电工程运算的一些基本问题。他所进行的工 作成为拉普拉斯变换的先驱。赫维赛德的方法很快地 被许多人采用，但由于缺乏严密的数学论证，曾受到某 些数学家的谴责。而赫维赛德以及另一些追随他的学者 坚信这一些方法的正确性，继续坚持不断的深入研究。 后来，人们终于在法国数学家拉普拉斯的著作中为赫维 赛德运算法找到了可靠的数学依据，重新给与严密的数 学论证，为之取名拉普拉斯变换方法。从此，拉氏变换 方法在电学、力学。。。等众多的工程与科学领域得到 广泛应用。尤其在电路理论的研究中，在相当长的时期 内，人们几乎无法把电路理论和拉普拉斯变换分开来讨 论。
• 利用系统的零点、极点分布可以简明直观的表达系统性 能的许多规律。
5.1 拉普拉斯变换
一、从傅里叶到拉普拉斯变换
有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。 为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t) ， 适当选取的值，使乘积信号f(t) e-t当t∞时信号幅 度趋近于0 ，从而使f(t) e-t的傅里叶变换存在。
, Re[s] ，
无界 ，
可见，对于因果信号，仅当 Re[s]=>时，其拉氏变换存 在。 收敛域如图所示。
jω 0α
收敛边界
σ 收敛域
例2 反因果信号f2(t)= et(-t) ，求其拉普拉斯变换。
解F 2 b ( s ) 0 e te sd t t e ( s ( s ) t)0 ( s 1 ) [ 1 t l ie m ( ) te j t]