第 1 页 共 16 页 第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。 一、二阶矩阵 1.矩阵的概念

①OP→  (2, 3)，将OP→的坐标排成一列，并简记为2 3

2 3

②某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下： 初赛 复赛

甲 80 90 乙 86 88 ③

概念一：

象2 3 80908688 23324m的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写的拉丁字母A、B、C…表示， 横排叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列. 名称介绍： ①上述三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵，注意行的个数在前。 ②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A＝B。 ③行矩阵：[a11,a12]（仅有一行）

④列矩阵：a11 a21 （仅有一列）

⑤向量a＝（x,y），平面上的点P（x,y）都可以看成行矩阵[,]xy或列矩阵xy，在本书中规定所有的平面向量均写成列向量xy的形式。 练习1： 1.已知243xA,21zyB，若A=B，试求zyx,,

2.设23xAy，2mnxyBxymn，若A=B，求x,y,m,n的值。 概念二： 由4个数a,b,c,d排成的正方形数表abcd称为二阶矩阵。a,b,c,d称为矩阵的元素。

①零矩阵：所有元素均为0，即0000，记为0。 ②二阶单位矩阵：1001，记为E2.

2 3 m 3 －2 4

y x 2

3 O P (2, 3)

—

2 — 3

—

80 90 86 88

231,3242xymzxyz



简记为23324m 第 2 页 共 16 页

二、二阶矩阵与平面向量的乘法 定义：规定二阶矩阵A=abcd，与向量xy的乘积为axbyAcxdy，即A＝abcdxy＝axbycxdy 练习2： 1.（1）131021＝

（2） 311021＝ 2.2101yx=11，求yx 三、二阶矩阵与线性变换 1.旋转变换

问题1:P（x,y）绕原点逆时针旋转180o得到P’(x’,y’),称P’为P在此旋转变换作用下的象。其结果为''xxyy，

也可以表示为''00xxyyxy，即''xy＝1001yx＝xy怎么算出来的？ 问题2. P（x,y）绕原点逆时针旋转30o得到P’(x’,y’),试完成以下任务①写出象P’； ②写出这个旋转变换的方程组形式；③写出矩阵形式.

问题3.把问题2中的旋转30o改为旋转角，其结果又如何？ 2.反射变换 定义：把平面上任意一点P对应到它关于直线l的对称点P’的线性变换叫做关于直线l的反射。 研究：P（x,y）关于x轴的反射变换下的象P’(x’,y’)的坐标公式与二阶矩阵。

3.伸缩变换 定义：将每个点的横坐标变为原来的1k倍，纵坐标变为原来的2k倍，（1k、2k均不为0），这样的几何变换为伸缩变换。 试分别研究以下问题： ①.将平面内每一点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.

②. 将每个点的横坐标变为原来的1k倍，纵坐标变为原来的2k倍的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵. 4.投影变换 定义：将平面上每个点P对应到它在直线l上的投影P’（即垂足），这个变换称为关于直线l的投影变换。 研究：P（x,y）在x轴上的（正）投影变换的的坐标公式与二阶矩阵。

5.切变变换 定义：将每一点P（x,y）沿着与x轴平行的方向平移ky个单位，称为平行于x轴的切变变换。将每一点P（x,y）沿着与y轴平行的方向平移kx个单位，称为平行于y轴的切变变换。 研究：这两个变换的坐标公式和二阶矩阵。 练习：P10 1.2.3.4

四、简单应用

 30o 第 3 页 共 16 页

1.设矩阵A=1001，求点P(2,2)在A所对应的线性变换下的象。 练习：P13 1.2.3.4.5 【第一讲.作业】 1.关于x轴的反射变换对应的二阶矩阵是 2.在直角坐标系下，将每个点绕原点逆时针旋转120o的旋转变换对应的二阶矩阵是

3.如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换是 4.平面内的一种线性变换使抛物线2yx的焦点变为直线y=x上的点，则该线性变换对应的二阶矩阵可以是

5.平面上一点A先作关于x轴的反射变换，得到点A1,在把A1绕原点逆时针旋转180o，得到点A2，若存在一种反射变换同样可以使A变为A2，则该反射变换对应的二阶矩阵是

6.P（1，2）经过平行于y轴的切变变换后变为点P1(1,-5)，则该切变变换对应的坐标公式为 7. 设121xAxy，2242zxBx，且A=B.则x＝ 8.在平面直角坐标系中，关于直线y=-x的正投影变换对应的矩阵为

9.在矩阵1221A对应的线性变换作用下，点P(2,1)的像的坐标为 10.已知点A（2，－1），B（－2，3），则向量AB在矩阵11202对应的线性变换下得到的向量坐标为 11.向量a在矩阵1201A的作用下变为与向量11平行的单位向量，则a＝ 12.已知15234A，a＝12，b＝34，设ab，ab，①求A，A；

13.已知1012A，a＝11，b＝1x，若Aa与Ab的夹角为135o，求x.

14.一种线性变换对应的矩阵为1010。①若点A在该线性变换作用下的像为（5，－5）,求电A的坐标；②解释该线性变换的几何意义。

15.在平面直角坐标系中，一种线性变换对应的二阶矩阵为01102。求①点A（1/5,3）在该变换作用下的像；②圆221xy上任意一点00(,)Pxy在该变换作用下的像。 第 4 页 共 16 页

答案：1.1001 2. 13223122 3. 360oR4.00aa 5.10016.''2xxyxy 7.－1 8. 11221122

9.（0，5） 10.（2，8） 11.2222，2222 12.718、194

13.ｘ＝2/3 14.(5,y) 15. 1532,2ooxy 第二讲 线性变换的性质·复合变换与二阶矩阵的乘法 一、数乘平面向量与平面向量的加法运算

1.数乘平面向量：设xy，是任意一个实数，则xy

2.平面向量的加法：设11xy，22xy，则1212xxyy 性质1：设A是一个二阶矩阵，,



是平面上的任意两个向量，是任意一个实数，则①数乘结合律：

()AA；②分配律：()AAA 【探究1】对以上的性质进行证明，并且说明其几何意义。

二、直线在线性变换下的图形 研究ykxb分别在以下变换下的像所形成的图形。

①伸缩变换：1002

②旋转变换：13221322 ③切变变换：1201 ④特别地：直线x=a关于x轴的投影变换？ 性质2：二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成 .

（证明见课本P19）

三、平面图形在线性变换下的像所形成的图形 分别研究单位正方形区域在线性变换下的像所形成的图形。

① 恒等变换：1001

②旋转变换：cossinsincos 第 5 页 共 16 页

③切变变换：101k ④反射变换：1001 ⑤投影变换：1000 【练习：P27】 【应用】

试研究函数1yx在旋转变换22222222作用下得到的新曲线的方程。

四、复合变换与二阶矩阵的乘法 1.研究任意向量xy先在旋转变换30oR：13221322作用，再经过切变变换：1201作用的向量''xy

2.二阶矩阵的乘积 定义：设矩阵A＝1111abcd，B＝2222abcd，则A与B的乘积

AB＝1111abcd2222abcd＝ 【应用】 1.计算21 11-21 10＝

2.A＝cossin -sincos，B＝cossin -sincos，求AB

3.求13在经过切变变换：A=1021，及切变变换：B=1201两次变换后的像。

4.设压缩变换：A＝10210，旋转变换90oR：B＝0110，将两个变换进行复合90oR，①求向量23





在复合变换下的像；②求xy在复合变换下的像；③在复合变换下单位正方形变成什么图形？