历年高考数学真题精选（按考点分类）专题22 线性规划（学生版）一．选择题（共14小题）1．（2019•浙江）若实数x ，y 满足约束条件340,340,0,x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+⎩则32z x y =+的最大值是( )A ．1-B ．1C ．10D ．122．（2019•北京）若x ，y 满足||1x y -，且1y -，则3x y +的最大值为( ) A ．7-B ．1C ．5D ．73．（2018•北京）设集合{(,)|1A x y x y =-，4ax y +>，2}x ay -，则( ) A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈ B ．对任意实数a ，(2,1)A ∉ C ．当且仅当0a <时，(2,1)A ∉D ．当且仅当32a时，(2,1)A ∉ 4．（2016•浙江）在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影，由区域200340x x y x y -⎧⎪+⎨⎪-+⎩中的点在直线20x y +-=上的投影构成的线段记为AB ，则||(AB =) A．B ．4C．D ．65．（2016•浙江）若平面区域30230230x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( ) ABC．2D6．（2016•山东）若变量x ，y 满足22390x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩，则22x y +的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．127．（2016•北京）已知(2,5)A ，(4,1)B ．若点(,)P x y 在线段AB 上，则2x y -的最大值为() A ．1-B ．3C ．7D ．88．（2015•福建）变量x ，y 满足约束条件02200x y x y mx y +⎧⎪-+⎨⎪-⎩，若2z x y =-的最大值为2，则实数m 等于( ) A ．2-B ．1-C ．1D ．29．（2014•安徽）x ，y 满足约束条件20220220x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( ) A ．12或1- B ．2或12C ．2或1-D ．2或110．（2014•福建）已知圆22:()()1C x a y b -+-=，设平面区域70300x y x y y +-⎧⎪Ω=-+⎨⎪⎩，若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为( ) A ．49B ．37C ．29D ．511．（2013•北京）设关于x ，y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点0(P x ，0)y ，满足0022x y -=，求得m 的取值范围是( )A ．4(,)3-∞ B ．1(,)3-∞ C ．2(,)3-∞-D ．5(,)3-∞-12．（2012•新课标）已知正三角形ABC 的顶点(1,1)A ，(1,3)B ，顶点C 在第一象限，若点(,)x y 在ABC ∆内部，则z x y =-+的取值范围是( ) A．(1，2)B ．(0,2)C．1-，2)D．(0,1+13．（2011•福建）已知O 是坐标原点，点(1,1)A -，若点(,)M x y 为平面区域212x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩，上的一个动点，则OA OM 的取值范围是( ) A ．[1-，0]B ．[0，1]C ．[0，2]D ．[1-，2]14．（2010•全国新课标）已知ABCD 的三个顶点为(1,2)A -，(3,4)B ，(4,2)C -，点(,)x y 在ABCD 的内部，则25z x y =-的取值范围是( )A ．(14,16)-B ．(14,20)-C ．(12,18)-D ．(12,20)-二．填空题（共6小题）15．（2019•新课标Ⅱ）若变量x ，y 满足约束条件2360,30,20,x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩则3z x y =-的最大值是 ．16．（2014•浙江）当实数x ，y 满足240101x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪⎩时，14ax y +恒成立，则实数a 的取值范围是 ．17．（2015•新课标Ⅰ）若x ，y 满足约束条件10040x x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩．则y x 的最大值为 ．18．（2017•北京）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： ()i 男学生人数多于女学生人数； ()ii 女学生人数多于教师人数； ()iii 教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为 ． ②该小组人数的最小值为 ．19．（2015•北京）如图，ABC ∆及其内部的点组成的集合记为D ，(,)P x y 为D 中任意一点，则23z x y =+的最大值为 ．20．（2016•新课标Ⅰ）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．历年高考数学真题精选（按考点分类）专题22 线性规划（教师版）一．选择题（共14小题）1．（2019•浙江）若实数x，y满足约束条件340,340,0,x yx yx y-+⎧⎪--⎨⎪+⎩则32z x y=+的最大值是()A．1-B．1C．10D．12【答案】C【解析】由实数x，y满足约束条件340340x yx yx y-+⎧⎪--⎨⎪+⎩作出可行域如图，联立340340x yx y-+=⎧⎨--=⎩，解得(2,2)A，化目标函数32z x y=+为31 22y x z=-+，由图可知，当直线3122y x z=-+过(2,2)A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值：10．故选：C．2．（2019•北京）若x，y满足||1x y-，且1y-，则3x y+的最大值为() A．7-B．1C．5D．7【答案】C【解析】由||11x yy-⎧⎨-⎩作出可行域如图，联立110y x y =-⎧⎨+-=⎩，解得(2,1)A -，令3z x y =+，化为3y x z =-+，由图可知，当直线3y x z =-+过点A 时，z 有最大值为3215⨯-=． 故选：C ．3．（2018•北京）设集合{(,)|1A x y x y =-，4ax y +>，2}x ay -，则( ) A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈ B ．对任意实数a ，(2,1)A ∉ C ．当且仅当0a <时，(2,1)A ∉ D ．当且仅当32a时，(2,1)A ∉ 【答案】D【解析】当1a =-时，集合{(,)|1A x y x y =-，4ax y +>，2}{(,)|1x ay x y x y -=-，4x y -+>，2}x y +，显然(2,1)不满足，4x y -+>，2x y +，所以A 不正确；当4a =，集合{(,)|1A x y x y =-，4ax y +>，2}{(,)|1x ay x y x y -=-，44x y +>，42}x y -，显然(2,1)在可行域内，满足不等式，所以B 不正确；当1a =，集合{(,)|1A x y x y =-，4ax y +>，2}{(,)|1x ay x y x y -=-，4x y +>，2}x y -，显然(2,1)A ∉，所以当且仅当0a <错误，所以C 不正确；故选：D ．4．（2016•浙江）在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影，由区域200340x x y x y -⎧⎪+⎨⎪-+⎩中的点在直线20x y +-=上的投影构成的线段记为AB ，则||(AB =) A．B ．4 C．D ．6【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），区域内的点在直线20x y +-=上的投影构成线段R Q ''，即SAB ，而R Q RQ ''=， 由3400x y x y -+=⎧⎨+=⎩得11x y =-⎧⎨=⎩，即(1,1)Q - 由20x x y =⎧⎨+=⎩得22x y =⎧⎨=-⎩，即(2,2)R -，则22 ||||(12)(12)9932AB QR==--++=+=，故选：C．5．（2016•浙江）若平面区域30230230x yx yx y+-⎧⎪--⎨⎪-+⎩，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是()A．35B．2C．322D．5【答案】B【解析】作出平面区域如图所示：∴当直线y x b=+分别经过A，B时，平行线间的距离相等．联立方程组30230x yx y+-=⎧⎨--=⎩，解得(2,1)A，联立方程组30230x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得(1,2)B ．两条平行线分别为1y x =-，1y x =+，即10x y --=，10x y -+=．∴平行线间的距离为22d ==，故选：B ．6．（2016•山东）若变量x ，y 满足22390x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩，则22x y +的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12【答案】C【解析】由约束条件22390x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩作出可行域如图，(0,3)A -，(0,2)C ，||||OA OC ∴>，联立2239x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得(3,1)B -． 2222||(3(1))10OB =+-=，22x y ∴+的最大值是10．故选：C ．7．（2016•北京）已知(2,5)A ，(4,1)B ．若点(,)P x y 在线段AB 上，则2x y -的最大值为() A ．1- B ．3 C ．7 D ．8【答案】C【解析】如图(2,5)A ，(4,1)B ．若点(,)P x y 在线段AB 上，令2z x y =-，则平行2y x z =-当直线经过B 时截距最小，Z 取得最大值， 可得2x y -的最大值为：2417⨯-=． 故选：C ．8．（2015•福建）变量x ，y 满足约束条件02200x y x y mx y +⎧⎪-+⎨⎪-⎩，若2z x y =-的最大值为2，则实数m 等于( ) A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】C【解析】由约束条件02200x y x y mx y +⎧⎪-+⎨⎪-⎩作出可行域如图，联立2200x y mx y -+=⎧⎨-=⎩，解得22(,)2121m A m m --，化目标函数2z x y =-为2y x z =-，由图可知，当直线过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为42422212121m mm m m --==---， 解得：1m =． 故选：C ．9．（2014•安徽）x ，y 满足约束条件20220220x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( ) A ．12或1- B ．2或12C ．2或1-D ．2或1【答案】C【解析】由题意作出约束条件20220220x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩，平面区域，将z y ax =-化为y ax z =+，z 相当于直线y ax z =+的纵截距， 由题意可得，y ax z =+与22y x =+或与2y x =-平行， 故2a =或1-； 故选：C ．10．（2014•福建）已知圆22:()()1C x a y b -+-=，设平面区域70300x y x y y +-⎧⎪Ω=-+⎨⎪⎩，若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为( ) A ．49 B ．37 C ．29 D ．5【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图： 圆心为(,)a b ，半径为1圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切， 1b ∴=，则2221a b a +=+，∴要使22a b +的取得最大值，则只需a 最大即可，由图象可知当圆心C 位于B 点时，a 取值最大， 由170y x y =⎧⎨+-=⎩，解得61x y =⎧⎨=⎩，即(6,1)B ，∴当6a =，1b =时，2236137a b +=+=，即最大值为37，故选：B ．11．（2013•北京）设关于x ，y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点0(P x ，0)y ，满足0022x y -=，求得m 的取值范围是( )A．4(,)3-∞B．1(,)3-∞C．2(,)3-∞-D．5(,)3-∞-【答案】C【解析】先根据约束条件210,0,x yx my m-+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩画出可行域，要使可行域存在，必有21m m<-+，要求可行域包含直线112y x=-上的点，只要边界点(,12)m m--在直线112y x=-的上方，且(,)m m-在直线112y x=-的下方，故得不等式组2111212112m mm mm m⎧⎪<-+⎪⎪->--⎨⎪⎪<--⎪⎩，解之得：23m<-．故选：C．12．（2012•新课标）已知正三角形ABC的顶点(1,1)A，(1,3)B，顶点C在第一象限，若点(,)x y 在ABC∆内部，则z x y=-+的取值范围是()A．(13，2)B．(0,2)C．(31-，2)D．(0,13)+【答案】A【解析】设(,)C a b，(0,0)a b>>由(1,1)A，(1,3)B，及ABC∆为正三角形可得，2AB AC BC===即2222(1)(1)(1)(3)4a b a b -+-=-+-= 2b ∴=，13a =+即(13C +，2)则此时直线AB 的方程1x =，AC 的方程为31(1)y x -=-， 直线BC 的方程为33(1)y x -=-- 当直线0x y z -+=经过点(1,1)A 时，0z =，经过点(1,3)2B z =，经过点(13C +，2)时，13z =-∴2,13max min z z ==-故选：A ．13．（2011•福建）已知O 是坐标原点，点(1,1)A -，若点(,)M x y 为平面区域212x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩，上的一个动点，则OA OM 的取值范围是( ) A ．[1-，0] B ．[0，1] C ．[0，2] D ．[1-，2]【答案】C【解析】满足约束条件212x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式 当1x =，1y =时，11110OA OM =-⨯+⨯= 当1x =，2y =时，11121OA OM =-⨯+⨯= 当0x =，2y =时，10122OA OM =-⨯+⨯= 故OA OM 和取值范围为[0，2]14．（2010•全国新课标）已知ABCD 的三个顶点为(1,2)A -，(3,4)B ，(4,2)C -，点(,)x y 在ABCD 的内部，则25z x y =-的取值范围是( )A ．(14,16)-B ．(14,20)-C ．(12,18)-D ．(12,20)-【答案】B【解析】由已知条件得(0,4)AB DC D =⇒-， 由25z x y =-得255z y x =-，平移直线当直线经过点(3,4)B 时，5z-最大， 即z 取最小为14-；当直线经过点(0,4)D -时，5z-最小，即z 取最大为20，又由于点(,)x y 在四边形的内部，故(14,20)z ∈-． 如图：故选B ．二．填空题（共6小题）15．（2019•新课标Ⅱ）若变量x，y满足约束条件2360,30,20,x yx yy+-⎧⎪+-⎨⎪-⎩则3z x y=-的最大值是．【答案】9【解析】由约束条件2360,30,20,x yx yy+-⎧⎪+-⎨⎪-⎩作出可行域如图：化目标函数3z x y=-为3y x z=-，由图可知，当直线3y x z=-过(3,0)A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为9．16．（2014•浙江）当实数x，y满足240101x yx yx+-⎧⎪--⎨⎪⎩时，14ax y+恒成立，则实数a的取值范围是．【答案】3[1,]2【解析】由约束条件作可行域如图，联立1240xx y=⎧⎨+-=⎩，解得3(1,)2C．联立10240x yx y--=⎧⎨+-=⎩，解得(2,1)B．在10x y--=中取0y=得(1,0)A．要使14ax y+恒成立，则103102402140aaaa-⎧⎪⎪+-⎪⎨⎪-⎪+-⎪⎩，解得：312a．∴实数a的取值范围是3 [1,]2．17．（2015•新课标Ⅰ）若x，y满足约束条件1040xx yx y-⎧⎪-⎨⎪+-⎩．则yx的最大值为．【答案】3【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分)ABC．设ykx=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由140xx y=⎧⎨+-=⎩，解得13xy=⎧⎨=⎩，即(1,3)A，331OAk==，即yx的最大值为3．故答案为：3．18．（2017•北京）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： ()i 男学生人数多于女学生人数； ()ii 女学生人数多于教师人数； ()iii 教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为 6 ． ②该小组人数的最小值为 ． 【答案】6，12【解析】①设男学生女学生分别为x ，y 人， 若教师人数为4，则424x y y x >⎧⎪>⎨⎪⨯>⎩，即48y x <<<， 即x 的最大值为7，y 的最大值为6， 即女学生人数的最大值为6．②设男学生女学生分别为x ，y 人，教师人数为z ， 则2x y y z z x >⎧⎪>⎨⎪>⎩，即2z y x z <<< 即z 最小为3才能满足条件， 此时x 最小为5，y 最小为4， 即该小组人数的最小值为12， 故答案为：6，1219．（2015•北京）如图，ABC ∆及其内部的点组成的集合记为D ，(,)P x y 为D 中任意一点，则23z x y=+的最大值为7．【答案】7【解析】由23z x y=+，得233zy x=-+，平移直线233zy x=-+，由图象可知当直线233zy x=-+经过点A时，直线233zy x=-+的截距最大，此时z最大．即(2,1)A．此时z的最大值为22317z=⨯+⨯=，故答案为：7．20．（2016•新课标Ⅰ）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．【答案】216000【解析】（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得,1.50.51500.39053600x N y Nx yx yx y∈∈⎧⎪+⎪⎨+⎪⎪+⎩，2100900z x y=+．不等式组表示的可行域如图：由题意可得0.39053600x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：60100xy=⎧⎨=⎩，(60,100)A，目标函数2100900z x y=+．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：210060900100216000⨯+⨯=元．。