3．已知函数 y y( x) 由方程 e y 6 xy x2 10 确定，
则 y(0) 2 。
4.
设
f
( x)
x2 x2 1
，
则 f (n)( x)
1(1)n 2
n![
(
1 x 1)n1
(
x
1 1)n1
]
。
(1)n1 n!
5．设 f ( x) x2ln(1 x) ，则 f (n)(0) n2 。
解： f (n)( x)[ln(1 x)](n) x2 n[ln(1 x)](n1)2 x
n(n1)[ln(1 x)](n2)2 ， 2
[ln(1 x)](k) (1)k1(k1)n)
(
x)
(1)n1(n1)! (1 x)n
x
2
2nx(1(1)nx2)(nn12)!
f (n)(0)(1)nn3(nn(n1)(1)1((1)nnx33)()nn!2(3)!1，)n1 n!. n2
导数的阶数 n 为（ C ）
（A）0； （B）1； （C）2； （D）3。
相关变化率
设x x(t ) , y y(t )都 是 可 导 函 数 ， 变 量
x和y之 间 存 在 某 种 对 应 关 系F ( x, y) 0,
•
•
因 而 它 们 对t的 变 化 率x(t ), y(t )也 存 在
三、求下列函数的导数 dy
dx
1．已知 yln 1ex xsinx ，求 y( ) . 2
2． ye x y xsinx
3.已知三叶玫瑰线 a sin3 (a 0) ,
求 时 ，曲线上相应点处的切线方程。
4
a
o
x
四、求高阶导数
1．设
y s in[
f
( x2 )]
，其中
f
具有二阶导数，求
相 互 依 赖 关 系 ， 研 究 这两 个 变 化 率 之 间
的 关 系 问 题 称 为相 关 变 化 率问 题 。
二、求相关变化率
1．落在平静水面上的石头产生同心圆形波纹。若最
外一圈半径的增大率总是6m/ s ，问 2 秒末受到扰
动的水面面积的增大率为多少？
解：设圆的半径为 R，圆的面积为 S，则 S R2 ，
d2 y dx2
。
2．设 f ( x) xn( x1)ncos x2 ，求 f (n)(1) 。 4
3．已知 ysin23xcos5x ，求 y(n) 。
4．已知
f
(
x
)
xk
sin1 x
,
x
0
（k
为正常数），
0 , x0
判断 f (x)在x 0 处何时可导，何时导函数连续，
何时二阶可导。
习题课六
一、选择题 1．设函数 f (u) 可导， y f ( x2 ) 当自变量 x 在 x 1 处 取得增量 x 0.1 时，相应的函数增量y 的线性主部 为 0.1 ，则 f (1) （ D ）
（A） 1 ； （B）0.1 ； （C）1 ； （D）0.5 。 2．设 f ( x)3 x3 x2 x ，则使 f (n)(0) 存在的最高阶
dS 2RdR ，
dt
dt
当 t 2 时， R6212 ， dR 6 ， dt
故
dS dt
t2 2126144(m2 /s)
.
二、填空题
2 t 2
1．设
xtcost
y
tsint
，则
d2y dx2
(cost tsint)3
。
2．设 y f (cos 2 x)tan x2 ，其中 f 可微 ，
则 dy [sin2xf (cos2 x)2xsec2 x2]dx .