第七讲 多元函数积分学（一）知识点分析：一、二重积分1、二重积分的概念：设二元函数(,)f x y 定义在有界闭区域D 上，则二重积分1(,)lim (,)niiii Df x y d f λσξησ→==∆∑⎰⎰精确定义求极限问题：11(,)lim (,)n nn i j Db a dc b ad cf x y d f a i c j n n n n σ→∞==----=++⋅∑∑⎰⎰ 先提出11n n ⋅，在凑出,i j n n，可以看出n i 是0到1上的x ，jn 是0到1上的y ，n 1是0到1上的,dx dy注：①二重积分的存在性，也称二元函数的可积性，设平面有界闭区域D 由一条或几条逐段光滑闭曲线围成，当(,)f x y 在D 上连续时，或者(,)f x y 在D 上有界，且在D 除了有限个点和有限条光滑曲线外都是连续的，则(,)f x y 在D 上可积。

②极限存在与D 的分割方式无关。

d dx dy σ=⋅③几何意义曲顶柱体的体积(,)DV f x y d σ=⎰⎰；物理意义D 的质量(,)Dm x y d μσ=⎰⎰。

2、二重积分的性质 （1）区域面积Dd A σ=⎰⎰，其中A 为区域D 的面积。

（2）可积函数必有界：当(,)f x y 在闭区域D 上可积时，则(,)f x y 在D 上必有界 （3）线性性质：[]1212(,)(,)d (,)d (,)d DDDkf x y kg x y k f x y k g x y σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰12,k k 为常数。

（4）可加性：1212,D D D D D ==∅ ，12(,)d (,)d (,)d DD D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰。

（5）保号性：若在D 上(,)(,)f x y g x y ≤，则(,)(,)DDf x y dg x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰；特殊的有|(,)d |(,)d DDf x y f x y σσ≤⎰⎰⎰⎰。

（6）估值定理：设max (,),min (,)DDM f x y m f x y ==，D 的面积为σ,则有(,)Dm f x y d M σσσ≤≤⎰⎰（7）二重积分中值定理：设函数(,)f x y 在闭区域D 上连续，D 的面积为σ，则至少存在一点(,)D ξη∈使得(,)(,)Df x y d f σξησ=⋅⎰⎰。

3、二重积分的计算 （1）直角坐标系计算法①X 型：{}12(,)()(),D x y x y x a x b φφ=≤≤≤≤，12(),()x x φφ在[],a b 上连续，则21()()(,)(,)bx ax Df x y d dx f x y dy φφσ=⎰⎰⎰⎰②Y 型：{}12(,)()(),D x y y x y c y d ψψ=≤≤≤≤，12(),()y y ψψ在[],c d 上连续，则21()()(,)(,)dy cy Df x y d dy f x y d x ψψσ=⎰⎰⎰⎰（2）极坐标系计算法{}12(,)()(),D r r θϕθϕθαθβ=≤≤≤≤其中12(),()ϕθϕθ在[],αβ上连续，则21()()(,)(cos ,sin )d (cos ,sin )DDf x y d f r r rdrd f r r rdr βϕθαϕθσθθθθθθ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰注意：X 型，Y 型和极坐标的相互转化有时可方便解题cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩4、二重积分的对称性(,)Df x y d σ⎰⎰，记1D 为其对称区域的一半（1）若D 关于x 轴对称，有10,(,)=(,)(,)2(,)(,)=(,)D D f x y f x y f x y d f x y d f x y f x y σσ--⎧⎪=⎨-⎪⎩⎰⎰⎰⎰， （2）若D 关于y 轴对称，有10,(,)=(,)(,)2(,)(,)=(,)D D f x y f x y f x y d f x y d f x y f x y σσ--⎧⎪=⎨-⎪⎩⎰⎰⎰⎰，（3）若D 关于原点对称，有10,(,)=(,)(,)2(,)(,)=(,)D D f x y f x y f x y d f x y d f x y f x y σσ---⎧⎪=⎨--⎪⎩⎰⎰⎰⎰，（4）（轮换对称性）若D 关于y x =对称，有(,)(,)DDf x y d f y x d σσ=⎰⎰⎰⎰若yx =将D 分成12,D D 两部分，有12(,)(,)D D f x y d f y x d σσ=⎰⎰⎰⎰二、三重积分1、三重积分的概念设三元函数(,,)f x y z 定义在三维有界空间区域Ω上，则三重积分1(,,)d lim (,,)nkkki i f x y z v f v λξηζ→=Ω=∆∑⎰⎰⎰111(,,)lim (,,)n n nn i j k b a d c f e b a d c f ef x y z dv f a i c j e k n n n n n n →+∞===Ω------=+++⋅⋅∑∑∑⎰⎰⎰ 方法：先提出111n n n ⋅⋅，在凑出,,i j k n n n ，可以看出n i 是0到1上的x ，jn是0到1上的y ，kn是0到1上的z ，n 1是0到1上的,,dx dy dz 。

2、三重积分的性质 （1）区域面积dv V Ω=⎰⎰⎰，其中V 为区域Ω的面积。

（2）可积函数必有界：当(,,)f x y z 在闭区域Ω上可积时，则(,,)f x y z 在Ω上必有界 （3）线性性质：[]1212(,,)(,,)(,,)(,,)kf x y z kg x y z dv k f x y z dv k g x y z dv ΩΩΩ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，12,k k 为常数。

（4）可加性：1212,Ω=ΩΩΩΩ=∅ ，12(,,)(,,)(,,)f x y z dv f x y z dv f x y z dv ΩΩΩ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰。

（5）保号性：若在Ω上(,,)(,,)f x y z g x y z ≤，则(,,)(,,)f x y z dv g x y z dv ΩΩ≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰；特殊的有|(,,)|(,,)f x y z dv f x y z dv ΩΩ≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰。

（6）估值定理：设max (,,),min (,,)M f x y z m f x y z ΩΩ==，Ω的体积为V ,则有(,,)mV f x y z dv MV Ω≤≤⎰⎰⎰（7）三重积分中值定理：设函数(,)f x y 在闭区域Ω上连续，Ω的体积为V ，则至少存在一点(,,)ξηζ∈Ω使得(,,)(,,)f x y z dv f V ξηζΩ=⋅⎰⎰⎰。

3、三重积分的计算（1）坐标平面投影法（二套一）{}12(,,)(,)(,),(,)xy x y z z x y z z x y x y D Ω=≤≤∈()2211(,)(,)(,)(,)(,,)d (,,)d d d d d (,,)d z x y z x y z x y z x y DDf x y z v f x y z z x y x y f x y z z Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（2）坐标轴投影法（一套二）{}(,,)(,),z x y z x y D a z b Ω=∈≤≤(,,)d (,,)d d (,,)d d zzbbaaD D f x y z v f x y z x ydz dz f x y z x y Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（3）柱面坐标法“直角坐标系+极坐标系”cos x ρθ=，sin y ρθ=，z z =，其中0,02,z ρθπ≤<+∞≤≤-∞<<+∞(,,)d (cos ,sin ,)d d d f x y z v f z z ρθρθρρθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（4）球坐标计算法sin cos x r ϕθ=sin sin y r ϕθ=cos z r ϕ=其中0,02,0r θπϕπ≤<+∞≤≤≤≤2(,,)d (sin cos ,sin sin ,cos )sin d d d f x y z v f r r r rr ϕθϕθϕϕϕθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰4、三重积分的对称性（1）若Ω关于xoy 平面对称，则1,(,,)(,,)(,,)d ,2(,,)d ,(,,)(,,)f x y z f x y z f x y z v f x y z v f x y z f x y z ΩΩ-=-⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰1Ω为对称区域的一半。

同理与Ω关于yoz 平面对称和xoz 平面对称（2）轮换对称性：若Ω关于,,x y z 具有轮换对称性（即若(),,x y z ∈Ω，将,,x y z 意互换后的点也属于Ω），则被积函数中的自变量可以任意轮换而不改变积分值(,,)(,,)(,,)f x y z dv f y x z dv f y z x dv ΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰当：()()()f x dv f y dv f z dv ΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，有[()()()]3()f x f y f z d v f xd v ΩΩ++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰三、重积分的应用1、曲面的面积设曲面由方程(,)z f x y =组成，则曲面的面积DA = 若光滑曲面方程为(,,)0F x y z =，且0z F ≠，则,,(,)y x x y z zF F zz x y D x F y F ∂∂=-=-∈∂∂DA ∴=2、质心（1）薄片的质心：(,)DM x y d μσ=⎰⎰，1(,)D x x x y d Mμσ=⎰⎰，1(,)D y y x y d M μσ=⎰⎰ 若薄片是均匀的，密度为常数，则质心即形心1D x xd A σ=⎰⎰，1Dy yd A σ=⎰⎰（2）空间立体质心：(,,)M x y z dv ρΩ=⎰⎰⎰，则：1(,,)x x x y z dv MρΩ=⎰⎰⎰，1(,,)y y x y z dv MρΩ=⎰⎰⎰，1(,,)z z x y z dv MρΩ=⎰⎰⎰3、转动惯量（1）平面薄片D 的转动惯量，若面密度为(,),(,)x y x y D μ∈2(,)d d x DI y x y x y μ=⎰⎰，2(,)d d y DI x x y x y μ=⎰⎰（2）空间立体的Ω转动惯量, 若密度为(,,)x y z ρ,(,,)x y z ∈Ω22()(,,)d x I y z x y z v ρΩ=+⎰⎰⎰,22()(,,)d y I x z x y z v ρΩ=+⎰⎰⎰,22()(,,)d z I x z x y z v ρΩ=+⎰⎰⎰4、引力（1）对xOy 面上的平面薄片D 对原点处的单位质量质点的引力分量为3(,)d x D x y x F G μσρ=⎰⎰；3(,)d y D x y y F G μσρ=⎰⎰，(ρ= （2）空间立体的Ω对空间任意一点处的单位质量质点的引力分量为03(,,)()x x y z x x F G dv r ρΩ-=⎰⎰⎰03(,,)()y x y z y y F G dv r ρΩ-=⎰⎰⎰03(,,)()z x y z z z F G dv r ρΩ-=⎰⎰⎰ 注：①匀质球对球外的一质点的引力如同球的质量集中于球心时两质点的引力； ②匀质球对球内的某一质点的引力等于球心到该质点为半径的球对该点的引力。