把A、B的值代入（a）得：
v
MM
e'kkx
esin
(1coskx)
v
PP
crcr
M
e
边界条件：③xL；v0：0(1coskL)
P
cr
，1coskL0
Mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
'esin
④x0v0：0kkLsinkL0
P
cr
以上两式均要求：kL2n，(n0,1,3,......)
5
2
L
。故有：
k
2
2
(0.5L)
2
P
cr
EI
其最小解是：kL2，或
Pcr
2
EI
min
2
(2.l)
？为什么？并由此判断压杆长因数是否可能大于2。
2
螺旋千斤顶（图c）的底座对丝杆（起顶杆）的稳定性有无影响？校核丝杆稳定性时，
把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为l的压杆是否偏于安全？
解：临界力与压杆两端的支承情况有关。因为(a)的下支座不同于(b)的下支座，所以它们的
度系数。
（a）l155m
（b）l0.774.9m
（c）l0.594.5m
（d）l224m
（e）l188m
（f）l0.753.5m（下段）；l0.552.5m（上段）
故图e所示杆
F最小，图f所示杆Fcr最大。
cr
[习题9-3]图a,b所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a）的基础放在弹性
地基上，第二根杆（图b）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为
失稳时整体在面内弯曲，则1，2两杆组成一组合截面。
（c）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在面外失稳
故面外失稳时
P最小：
cr
34
Ed
Pcr。
2
128l
[习题9-7]图示结构ABCD由三根直径均为d的圆截面钢杆组成，在B点铰支，而在A点和
l
C点固定，D为铰接点，10
。若结构由于杆件在平面ABCD内弹性失稳而丧失承载能d
MEI
C20，
l
P
2
2.1
cr固端
则：1.1025
2
P2
cr弹簧
，
Pcr固端1.1025Pcr,。因此，校核丝杆稳定性时，把它
弹簧
看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为l的压杆不是偏于安全，而是偏于危险。
[习题9-4]试推导两端固定、弯曲刚度为EI，长度为l的等截面中心受压直杆的临界应力
P的欧拉公式。
力，试确定作用于结点D处的荷载F的临界值。
解：杆DB为两端铰支，杆DA及DC为一端铰
支一端固定，选取。此结构为超静定结构，
当杆DB失稳时结构仍能继续承载，直到杆AD及DC
也失稳时整个结构才丧失承载能力，故
7
36.024
EI
2
l
[习题9-8]图示铰接杆系ABC由两根具有相同截面和同样材料的细长杆所组成。若由于杆
第九章压杆稳定习题解
[习题9-1]在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a所示坐标系及挠度曲线
形状，导出了临界应力公式
2
EI
Pcr。试分析当分别取图b,c,d所示坐标系及挠曲线形
2
l
状时，压杆在
F作用下的挠曲线微分方程是否与图a情况下的相同，由此所得Fcr公式又
cr
是否相同。
解：挠曲线微分方程与坐标系的y轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。
试根据杆端的约束条件，分析在总压力F作用下，立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线
形状，分别写出对应的总压力F之临界值的算式（按细长杆考虑），确定最小临界力
算式。
P的
cr
解：在总压力F作用下，立柱微弯时可能有下列三种情况：
（a）每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳：
6
（b）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在自身平面内失稳
C20，
l
且无侧向位移，则：
EIw
"MxFw
()()
cr
令
Fcr
EI
k
2
，得：
"k2wk
w
2
微分方程的通解为：wAsinkxBcoskx
'
wAkcoskxBksin
kx
由边界条件：x0，w0，
MF
cr
'
xlw
w
CC
解得：
A
F
cr
Ck
Fcr
，B，sinklcoskl
Ck
C
整理后得到稳定方程：20
kltankl
cr
4
[解]：设压杆向右弯曲。压杆处于临界状态时，两端的竖向反
力为
P，水平反力为0，约束反力偶矩两端相等，用Me表示，
cr
下标e表示端部end的意思。若取下截离体为研究对象，则
M的
e
转向为逆转。
M(x)Pcrv(x)M
e
EIv
"MxMPvx
()()
ecr
"
EIvPcrv(x)M
e
"
v
P
cr()
vx
EI
因为（b）图与（a）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是
"Mx
EIw()。（c）、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程：
"Mx
EIw()，显然，这微分方程与（a）的微分方程不同。
临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的
位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即：
2
EI
Pcr。
2
l
1
[习题9-2]图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f
所示杆在中间支承处不能转动）？
解：压杆能承受的临界压力为：
2
EI
Pcr。由这公式可知，对于材料和截面相同的压杆，
2
(.l)
它们能承受的压力与原压相的相当长度l的平方成反比，其中，为与约束情况有关的长
示，并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。已知杆的材料为Q235钢，
强度许用应力[]170MPa，试求压杆的许可荷载。
解：查型钢表得：
m
8
临界力计算公式不同。(b)为一端固定，一端自由的情况，它的长度因素2，其临界
力为：
2
EI
min
Pcr。但是，(a)为一端弹簧支座，一端自由的情况，它的长度因素
2
(2.l)
2，因此，不能用
2
EI
min
Pcr来计算临界力。
2
(2.l)
3
为了考察（a）情况下的临界力，我们不妨设下支座（B）的转动刚度
MEI
EI/l
用试算法得：kl1.496
故得到压杆的临界力：
2
EIEI
2
Fcr(1.496)。
2
l(2.1l)
因此，长度因素可以大于2。这与弹性支座的转动刚度C有关，C越小，则值越大。
当C0时，。
螺旋千斤顶的底座与地面不是刚性连接，即不是固定的。它们之间是靠摩擦力来维持相
对的静止。当轴向压力不是很大，或地面较滑时，底座与地面之间有相对滑动，此时，不能
件在平面ABC内失稳而引起毁坏，试确定荷载F为最大时的角（假设
0）。
2
解：要使设计合理，必使AB杆与BC杆同时失稳，
即：
2
EI
P,F
crAB
2
l
AB
cos
2
EI
P,F
crBC
2
l
BC
sin
F
F
sin
cos
tan(
l
l
AB
BC
)
2cot
2
2
arctan(cot)
[习题9-9]下端固定、上端铰支、长l4m的压杆，由两根10号槽钢焊接而成，如图所
看作固定端；当轴向压力很大，或地面很粗糙时，底座与地面之间无相对滑动，此时，可以
看作是固定端。因此，校核丝杆稳定性时，把它看作上端自由，下端为具有一定转动刚度的弹性支座较合适。这种情况，2，算出来的临界力比“把它看作下端固定（固定于底座
上）、上端自由、长度为l的压杆”算出来的临界力要小。譬如，设转动刚度
M
e
EI
，令
k
2
P
cr
EI
2
k
，则
P
cr
1
EI
"
v
k
2
v
k
2
M
e
P
cr
上述微分方程的通解为：
M
e
vAsinkxBcoskx⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.(a)
P
cr
'
vAkcoskxBksin
kx
边界条件：①x0；v0：
M
e
0Asin0Bcos0；
P
cr
M
e
B。
P
cr
'
②x0v0：0Akcos0Bksin0；A0。
k，因此：
2
EI
Pcr。
2
(0.5L)
0
[习题9-5]长5m的10号工字钢，在温度为C
0时安装在两个固定支座之间，这时杆不受
力。已知钢的线膨胀系数
12510C7(0)1
7(0)1
l，E210GPa。试问当温度升高至多少
度时，杆将丧失稳定性？