2019学年长宁区学科教学质量调研高三数学（2020.05）一.填空题（本大题满分54分）本大愿共有12题，考生应在各题纸相应编号的空格内直接写结果，1-6题每个空填对得4分，7-12题每个空格填对得5分 1.已知集合(2,1],(0,)A B =-=+∞，则A B = .【答案】(]0,1 【解析】：(]0,1 2.行列式5182的值等于 .【答案】2 【解析】：51258282=⨯-=3．5(1)x +的二项展开式的第三项的系数是 . 【答案】10【解析】：223510T C x x ==，所以系数为104.若复数z 满足23z =-，则||z = . 【答案】3【解析】：2233z i =-=，所以系数为3z i =±5.若实数x 、y 满足0022x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的最小值为 .【答案】1-【解析】：作出可行域易得6.直线2:12x tl y t=+⎧⎨=-+⎩（t 是参数）的斜率为 .【答案】2【解析】：由直线的参数方程定义可知7.如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的侧棱长为2，底面边长为1，则直线1D B 和底面ABCD 所成的角的大小为 .【答案】4π【解析】：由题意可得， 1DBD ∠即为所求角，易得其为4π8.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若371,14a S ==，则5a = .【答案】3【解析】：由题意可得，()()()71735557771143222S a a a a a a =+=+=+=⇒=9.已知111{2,1,,,,1,2,3}232α∈---，若函数()f x x α=在(0,)+∞上递减且为偶函数，则α= .【答案】2-【解析】：由题意可得α为负偶数10.在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，则每个项目都有老师参加的概率为 .（结果用数值表示） 【答案】49【解析】：由题意可得概率23434439C P P ==11．已知函数,M N 是以AB 为直径的圆上，若5,3,2AB AM BN ===,则AB MN =__【答案】12【解析】 由图形对称性，不妨设,M N 如梭所示位置， 则()=ABMN AB AN AM -可考察投影()22222=12AB MN AB AF AB AE AN AM AB BN AM -=-=--=12.已知函数1()1f x x =-，若关于x 的方程()f x x b -=有三个不同的实数解，则实数b的取值范围________ 【答案】()(),13+b ∈-∞-∞，【解析】11x b x =+-， 观察函数图像显然可知：1=0131x b b x =+⇒∆→=---或者则()(),13+b ∈-∞-∞，二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答来，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。

13.已知向量(1,,1),(,1,1),a x b x x R =-=∈，则“1x =-”是“a b ∥”的（ ）()A 充分非必要条件 ()B 必要非充分条件 ()C 充要条件 ()D 既非充分又非必要条件【答案】C【解析】：由题意可得为充要条件14.某单位现有职员52人，将所有职工编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则另一个在样本中的职工编号为（ ）()A 18 ()B 19 ()C 20 ()D 21【答案】B【解析】：由题意可得间隔数为13，所以另一个在样本中的职工编号为61319+= 15.在直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴的正半轴，顶点为坐标原点O .已知角α的终边l 与单位圆交于点(0.6,)A m ，将l 绕原点逆时针旋转2π与单位圆交于点(,)B x y ，若4tan 3α=-，则x =（ ）()A 0.6 ()B 0.8 ()C 0.6- ()D 0.8-【答案】B【解析】：由题意可得4sin 5α=-，所以4cos sin 25x παα⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭16.在数列的极限一节，课本中绘出了计算由抛物线2y x x =、轴以及直线1x =所围成的曲边区域面积S 的一种方法：把区间[]0,1平均分成n 份，在每一个小区间上作一个小矩形，使得每个矩形的左上端点都在抛物线2y x =上（如图），则当n →∞时，这些小矩形的面积之和的极限就是S 。

已知22221123...(1)(2).6n n n n ++++=++利用此方法计算出的由曲线y x =轴以及直线1x =所围成的曲边区域的面积为（ ）A.63 B. 32 C.34 D.23【答案】D 【解析】因为2y x =，y x =互为反函数，则他们面积之和刚好是单位1的正方行面积2y x x =、轴以及直线1x =所围成的曲边区域面积S ：222222222(1)(21)1123(1)116(...)3n n n n n n n n n n n ---++++==，所以选择D三、解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分） 17. （本题满分14分，第一题满分6分，第二题满分8分）如图，已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2，母线长为22. (1) 求该圆锥的体积；(2) 已知AB 为圆锥底面的直径，C 为底面圆周上的一点，且90,BOC ∠=M 为线段AC 的中点，求异面直线OM 与PB 所成角的大小.【解析】（1）如图，由题意得 22=PB ，2=OB ．在POB Rt ∆中，222PO PB OB =-=，即该圆锥的高2=h ． 由圆锥的体积公式得 38312ππ==h r V ．即该圆锥的体积为 38π （2）解法1：联结BC PC ,，如图所示， 由M 为线段AC 的中点，得OM ∥BC ，所以异面直线OM 与PB 所成的角就是直线BC 与PM 所成的角．因为︒=∠︒=∠90,90BOC POC ， 所以 22=PC ，22=BC ． 在PBC ∆中，22===PC BC PB ， 所以PBC ∆为等边三角形，即 3π=∠PBC ．因此异面直线OM 与PB 所成的角的大小为3π． 解法2：以O 为坐标原点，以OC 、OB 、OP 为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，可得)0,2,0(-A ，)0,0,2(C ，)0,2,0(B ，)2,0,0(P ， 因为M 为线段AC 的中点， 得)0,1,1(-M ， 所以)2,2,0(-=PB ，)0,1,1(-=OM ．设直线OM 与PB 所成的角为θ，向量PB 与OM 的夹角为ϕ， 则212222cos -=⨯-=⋅=OMPB OM PB ϕ，又 21cos cos ==ϕθ，所以3πθ=．即异面直线OM 与PB 所成的角的大小为3π．18.已知函数()sin ,f x x x x R =∈.（1）设ABC ∆的内角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，若()0f A =，且2b =，3c =，求a 的值；（2）求函数()cos y f x x =的最大值. 【解析】（1）()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，所以()2sin 033f A A A ππ⎛⎫=-=⇒= ⎪⎝⎭，由余弦定理可得22212cos 4922372a b c bc A a =+-=+-⨯⨯⨯=⇒= （2）由题意可得())21cos sin cos sin 21cos 2sin 22232y f x x x x x x x x π⎛⎫===-+=--⎪⎝⎭所以最大值为12-19. 培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质N ，已知向水中每投入1个单位的物质N ，x （单位：天）时刻后水中含有物质N 的量增加/ymol L ，y 与x 的函数关系可近似的表示为168,06212,612x y x x x ⎧-≤≤⎪=+⎨⎪-≤⎩＜，根据经验，当水中含有物质N 的量不低于4/mol L 时，物质N 才能有效发挥作用．（1）若在水中首次投放1个单位的物质N ，计算物质N 能持续有效发挥作用几天？ （2）若在水中首次投放1个单位的物质N ，第8天再次投放1个单位的物质N ，试判断第8天至第12天，水中所含物质N 的量是否始终不超过6/mol L ，并说明理由．【解析】（1）解方程4y ≥，可得28x ≤≤，所以能持续发挥作用6天； （2）设第8天至第12天，水中所含物质N 的量为()f x ， 则 ()()16128,81282f x x x x =-+-≤≤-+，解方程()()1616128206826f x x x x R x x =-+-=--≤⇒∈-+-，所以第8天至第12天，水中所含物质N 的量始终不超过6/mol L .20. 已知椭圆Γ：22221x y a b+=(0)a b >>的右焦点的坐标为(2,0)，且长轴长为短轴长的倍，椭圆Γ的上、下顶点分别为A 、B ，经过点(0,4)P 的直线l 与椭圆Γ相交于M 、N 两点（不同于A 、B 两点）.（1）求椭圆Γ的方程； （2）若直线BM l ⊥，求点M 的坐标； （3）设直线AN 、BM 相交于点(,)Q m n ，求证：n 是定值. 【解析】（1）由题意得 b a 2=，422=-b a ， 解得 22=a ，2=b ，所以所求椭圆Γ的方程为 14822=+y x . （2）由题意点B 的坐标为 )20(-，，设点),y x M （.因为BM MP ⊥， 所以0)4()22=-⋅++y y x （， 又 14822=+y x ，解得 ⎩⎨⎧=-=022y x 或 ⎩⎨⎧==022y x 或 02x y =⎧⎨=-⎩ （舍去） 所以所求点M 的坐标为 ）0,22(- 或）0,22(. （3）设 ),(11y x M ，),(22y x N ，直线l 的方程为4+=kx y .由方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=148422y x kx y ，得 02416)21(22=+++kx x k .所以2212116k k x x +-=+，2212124kx x += 直线AN 的方程为 x x y y ⋅-=-2222，得2)2(22+⋅-=kx x n m 直线BM 的方程为 x x y y ⋅+=+1122，得6)2(11+⋅+=kx x n m 所以121213422x x x x kx n -++=因为121223)kx x x x =-+（，得11234)(3212121=-=-++-+=x x x x x n ， 所以n 为定值 1.21.若数列{}n c 满足“对任意正整数,,i j i j ≠”，都存在正整数k ，使得k i j c c c =”，则称数列{}n c 具有“性质P ”，已知数列{}n a 为无穷数列.（1）若{}n a 为等比数列，且，判断数列{}n a 是否具有“性质P ”，并说明理由 （2）若{}n a 为等差数列，且公差11a =，求证：数列{}n a 具有“性质P ”（3）若等差数列{}n a 具有“性质P ”，且32a =，求数列{}n a 的通项公式n a【解析】（1）解：数列{}n a 具有“性质P ” ．设数列{}n a 的公比为q ，则1-=n n q a ，*N ∈n .对任意正整数j i j i ≠,,，2-+=j i j i q a a ， 因为 21≥-+j i ，所以j i j i a a a =-+1.所以数列{}n a 具有“性质P ”. （2）证明：由已知 11)1(a d n a a n ≤-+= ∥若01≤a ，则023<<a a ，1320a a a ≥>， 所以不存在正整数k ，使得32a a a k =； ∥若01>a ，则当111++->da a n 时，11a a a n n -<<+， 11a a a n n >+，所以不存在正整数k ，使得32a a a k =；综上，当0<d 时，数列{}n a 不具有“性质P ” （3）解：设数列{}n a 的公差为d ，则 d n a n ）3(2-+= .由已知，对任意*N ∈n ，都存在正整数k ，使得n k a a a 3=，即 []d n d k )3(22)3(2-+=-+， 所以0≠d ，且Z ∈+-=322n k d∥ 对任意n a ，设)(11d a a a a a n n n n k +==+，)2(22d a a a a a n n n n k +==+，*21,,N ∈k k n ,所以 d a a a d k k n k k =-=-12)(12，得 Z ∈-=12k k a n ，因此 Z ∈-=+n n a a d 1 ∥ 由（2）知，又由∥、∥可得或. 当2=d 时，21-=a ，n a a a a ≤<-=1314，不满足要求， 所以1=d ，1-=n a n .可以验证1-=n a n 满足要求.0d ≥1d =2d =。