江苏省清江中学 高一上学期期末考试数学试题
时间：120分钟 满分：160分
一.填空题(本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.)
1.集合{}a A ,2,0=，{}2
,1a B =，若{}0,1,2,3,9A
B =，则a 的值为 ．
2.函数()⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
=3sin 2πωx x f (0>ω)的最小正周期为π,则=ω__________. 3. 已知α是第二象限角且4
sin 5
α=，则tan α= ．
4.若函数12
()log (21)f x x =-的定义域是 ．
5. 已知向量a ＝(2，1)，b ＝(0，－1)．若(a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝ ．
6.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝3x
，则f (sin 6
π
)的值为 7. 已知定义域为R 的函数121
()2x x f x a
+-+=+是奇函数，则a = .
8.
44sin 22.5cos 22.5︒-︒= 9.已知(0,)2πα∈，若1
sin()33
πα-=，sin α的值为 .
10.设向量)3,(k OA =，)2,0(k OB -=，OA ，OB 的夹角为︒120，
则实数=k ．
11.设函数2sin (0)y x x π=≤≤的图象为曲线C ，动点(,)A x y 在曲线C 上，过A 且平行于x 轴的直线交曲线C 于点(B A B 、可以重合），设线段AB 的长为()f x ，则函数()f x 单调递增区间 ．
12.如图, 在等腰三角形ABC 中, 底边2=BC ,
DC AD =,12AE EB =
, 若1
2
BD AC ⋅=-, 则AB CE ⋅= 13. 已知)2sin ,2(),sin ,1(2x b x a ==，其中()0,x π∈，若
a b a b ⋅=⋅，则tan x =
14.已知直线x=a(0<a<π
2)与函数f(x)=sinx 和函数g (x )=cos x 的图象分别交于M ,N 两点,若
MN= 1
5 ,则线段MN 的中点纵坐标为_______.
O
2
π
π x
y A
B
二. 解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.
15.(1)设α为第四象限角,其终边上一个点为()
5,-x ,且x 4
2
cos =
α,求αsin ;
(2)若cos 2sin αα+=求αtan 的值.
16. 函数()sin()4
f x A x π
ω=+
（其中0,0A ω>>）的振幅为2，周期为π．
（1）求()f x 的解析式并写出()f x 的单调增区间；
（2）将()f x 的图像先左移4
π
个单位，再将每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到()g x 的图像，求()g x 解析式和对称中心（m ，0），[0,]m π∈。

17．已知：(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=
（1）求3a b c +-;（2）求满足条件a mb nc =+的实数,m n 。

（3）若向量d 满足()//()d c a b -+，且1d c -=求d .
18. 已知函数33cos sin 4)(+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+
=πx x x f . （1）)(x f 在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-6,4ππ上的最大值和最小值及取得最值时x 的值.
（2）若方程()t 0f x -=在[,]42
x ππ
∈-上有唯一解,求实数t 的取值范围.
19.已知函数2
()2cos 1f x x x θ=++
，1[]22
x ∈- （1）当3
π
θ=
时，求()f x 的最大值和最小值. （2）若()f x
在1
[,]22
x ∈-
上是单调函数，且[0,2)θπ∈，求θ的取值范围. （3）若sin ,cos αα是方程1()cos 4
f x θ=+的两个实根,求2tan 1
tan αα+的值.
20. 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f (x )与时刻x (时)的关系为f(x)＝2
|()|23
g x a a -++
，x ∈[0,24]，其中1sin()[0,2]24
()1(2,24]
x x g x x x
π⎧∈⎪⎪=⎨
⎪∈⎪⎩,a 是与气象有关的参数，且a ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，12，若用每天f(x)的
最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M (a )．
(1)令t ＝()g x ，求t 的取值范围；
(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？
江苏省清江中学第一学期期末考试
高一数学答题纸
一.填空题
1. 2. 3. 4. 5.
6. 7. 8. 9. 10.
11. 12. 13. 14.
二. 解答题：本大题共6小题，计90分.写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
江苏省清江中学 第一学期期末考试 高一数学参考答案
15. (1)10
sin 4
α=-; ………7分(2)tan 2α=. ……………14分 16．解：⑴由题可知：2A =且244
T T π
πω=∴=∴=
()2sin(2)4
f x x π
∴=+；………………………5分 令32222
4
2
88
k x k k x k π
π
π
ππ
ππππ-
+≤+
≤
+∴-
+≤≤+ (k Z ∈) ()f x ∴的单调增区间为3[,]88
k k ππ
ππ-
++ (k Z ∈)；………… 10分 （2） 3()2sin()4
g x x π
∴=+ 对称中心（,04π） ……………14分
17．解：（1）33(3,2)(1,2)(4,1)a b c +-=+--(4,7)=………………3分
2234765a b c ∴+-=
+=…………………………5分
（2）由a mb nc =+得(3,2)(1,2)(4,1)(4,2)m n m n m n =-+=-++…6分
4322m n m n -+=⎧∴⎨+=⎩……………8分59
8
9m n ⎧
=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩
………………10分
（3）(2,4),()//()a b d c a b +=-+
)(2,4d c a b λλλ∴-=+=（）()R λ∈………………11分
22(2)(4)1d c λλ∴-=+=
5
λ∴=…………………………14分 552(2,44151055d c λλ∴==+=++）（）， 552(2,44155
d c λλ==+=）（）。

…………15分 18.解:(1)()2
4sin cos cos sin sin 32sin cos 23333f x x x x x x x ππ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭sin 232x x =+2sin 23x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭ …………5分
因为46x π
π
-
≤≤
,所以2263
3
x π
π
π
-
≤+
≤
所以1sin 2123x π⎛
⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭,所以()12f x -≤≤,当2,
36x ππ+=- 即4
x π=-时,()min 1f x =-, 当2,3
2
x ππ+=即12
x π=时,()min 2f x =, ……9分
（2）因为4
12x π
π-
≤≤
时, 26
32x πππ
-≤+≤ ，12sin 22,3x π⎛
⎫
-≤+≤ ⎪⎝⎭
且单调递增，12
2
x π
π
≤≤
时,
422
3
3x π
π
π≤+
≤
所以32sin 223x π⎛
⎫-≤+≤ ⎪⎝
⎭,且单调
递减，
所以()f x t =,有唯一解时对应t 的范围为t [3,1)∈--或t=2 ……15分
20.解 (1)当0＜x ≤24时，t 的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，12. ……5分
(2)当a ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，12时，记g (t )＝|t －a |＋2a ＋23， 则g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－t ＋3a ＋2
3
，0≤t ≤a ，t ＋a ＋23，a ＜t ≤1
2
，……8分
∵g (t )在[0，a ]上单调递减，在⎝ ⎛⎦
⎥⎤a ，12上单调递增，
且g (0)＝3a ＋23，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝a ＋76，g (0)－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫a －14.
- 11 - 故M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0≤a ≤14，g 0，14＜a ≤12，＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋76，0≤a ≤14，3a ＋23，14＜a ≤12， ∴当且仅当a ≤49
时，M (a )≤2. 故当0≤a ≤49时不超标，当49＜a ≤12
时超标． ……16分。