足小波的允许条件 。在本文中 , 取 Ψ=3 .0 , W = π。
用其对 f (t )作复解析小波变换后 , 再分析瞬时频
率的功率谱 , 即可获得信号在不同频率范围内的频域
信息 。
图 1 齿轮振动信号的加速 度时间历程
图 2 齿轮振动信号的功率谱图
图 3 齿轮振动信号的 Hilbert 变换瞬时频率功率谱图
为与基于复解析小波 变换的瞬时频率方法作比 较 , 本文给出了采用 Hilbert 变换得到的齿轮振动信号 的瞬时频率 的功率 谱 , 如 图 3 所 示 。 图 中仍旧 只在 252Hz 、259Hz 和 266Hz 处存在明 显谱线 , 反映不出断 齿缺陷的边频带结构特征 。
图 4 是基于复解析小波变换的瞬时频率的功率 谱图 。为了提取以啮合频率为中心的边频带成分 , 小 波变换后信号的中心频率应为啮合频率 fm (259Hz), 因此选择小波变换尺度 a =1024/259[ 5] 。从图 4 中可 以看到 , 图中在啮合频率 fm (259Hz)周围存在间距为 7Hz 的 丰 富 的 边 频 带 , 对 应 的 频 率 分 别 为 231Hz 、 238Hz 、245Hz 、252Hz 、266Hz 、273Hz 、279Hz 、286Hz , 如图 中标记 1 ～ 8 所示 。 该图上的边频带结构反映出局部 故障的频域特征 , 可以断定齿轮存在断齿或裂纹等局 部异常 。
图 1 是测得的齿轮振动信号的加速度时间历程 , 采样频率 fs =1024Hz , 没有进行时域同步平均 。 从图 中的时域波形能看出调制信号特征 , 但要判断缺陷类 型还要作进一步处理 。
图 2 是其功率谱图 , 从图上可以明显看到啮合频 率 fm (259Hz)和另外两条峰值较大的谱线 1 、2 , 所对应 的频率分别为 252Hz 和 266Hz , 它们与 fm 之差为轴的 转动频率 fr (7Hz)。可见 , 这两个频率正是 fm 被 fr 调 制而产生的一阶上 、下边频带 。而存在局部异常的齿 轮在频域中的故障特征为边带数目多 , 如果根据功率 谱图上的特征 , 则容易误判为齿轮偏心或不同轴 。
Hilbert 变换 。
实信号 f(t)复解析小波变换定义为[ 4]
Ws(a , t)=Wxr(a , t )+jWxi(a , t )
(9)
∫ 式中 ,
Wxr(a , t)=|a |-1/2
f(τ-t )φr
R
τ a
d
τ(10)
∫ Wxi (a , t)=|a |-1/2
f(τ-t)φi
R
τ a
dτ
(5)
(5)式定义了信号 x(t)的瞬时频率 , 从时域来看 , 信 号频率是随时间不断变化的 。
式(3)表明 , x (t )实质上就是用 H(ω)保留 x(t) 的正频部分 , 剔除所有负频部分 , 而其相位保持不变 。 因此 Hilbert 变换不具备自适应分析能力 。
2 基于复解析小波变换的瞬时频率分析方法
瞬时频率为 IF(a , t)=1/ 2π· dθ/ dt (13)
小波是一个带通滤波器 , 当尺度 a 增加时 , 小波
变换表示以伸展的 ψ(t)波形去观察 x(t )的全局 ;当
尺度 a 减小时 , 小波变换表示以压缩的 ψ(t)波形去观
察 x(t)的细节 。 将小波变换与 Hilbert 变换相结合即
及工程应用 .地震工程与工程振动 , 1998 , 18(3):96— 107 3 Tsai C S , Lee H H .Applications of viscoelastic dampers to high_rise
buildings, Journal of Structural Engineering ASCE, 1993, 119(4): 1222— 1233 4 Tsai C S .Temperature effect of viscoelastic dampers during earthquake, Journal of Structural Engineering ASCE, 1994 , 120(2):
1 基于 Hilbert 变换的瞬时频率
与实 信 号 x(t)对 应 的复 解 析 信号 z(t)可 写 作[ 1 , 2]
z(t)= x(t)+jx(t)= x(t)+jx(t ) h(t ) (1)
∫ x(t)= x(t)＊
1 πt
=
1 π
∞ -∞
xt (-τ)τdτ
(2)
式(2)定义了 实信号 x(t)的 Hilbert 变 换 。式(1)中
(11)
则在尺度 a 下 x(t)瞬时相位为
θ(a , t)=tan-1[ Wxi (a , t)/ Wxr(a , t)]
(12)
收稿日期 :2002 -10 -23 修改稿收到日期 :2003 -02 -25 第一作者 于德介 男 , 教授 , 博导 , 1957 年生
第 1 期 于德介等 :基于复解析小波变换的瞬时频率分析方法 1 09
DO I :10.13465/j .cnki .jvs .2004.01.029
第 23 卷第 1 期
振 动 与 冲 击 JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCK
Vol .23 No .1 2004
基于复解析小波变换的瞬时频率分析方法
于德介 成 琼 程军圣
(湖南 大学机械与汽车工程学院 , 长沙 410082)
关键词 :齿轮 , 故障诊断 , 瞬时频率 , 复解析小波变换 中图分类号 :TH132.41
0 引 言
在非平稳信号分析中 , 瞬时物理量往往起着重要 的作用 。瞬时频率就是这样一个物理量[ 1, 2] , 它 的变 化规律反映了信号的主要特征 。 目前在瞬时频 率方 面所作的研究都是基于希尔伯特变换的 , 不具备自适 应分析能力 。 本文在复解析小波变换的基础上 提出 了瞬时频率的分析方法 , 该方法将小波变换和希尔伯 特变换紧密 结合在 一起 , 克 服了希尔 伯特 方法的 缺 点 。 对信号的复小波变换结果作 Hilbert 变换得 到信 号的瞬时频率 , 通过瞬时频率的功率谱分析就可提取 信号特征 。 通过齿轮故障振动信号的分析 , 表明对于 分析难度较大的齿轮局部缺陷 , 该方法比基于希尔伯 特变换的瞬频方法 , 及其通常所用的频域分析方法效 果更好 。
设 ψ(t)∈ L2(R)∩ L(R)且 ψ(0)=0 , 则按如下
生成的函数族{ψa , b(t)}
ψa , b(t)=|a
|1/ 2
ψ
t
-b a
a , b ∈ R , a ≠0
(6)
叫分析小波或连续小波 , ψ(t )叫基本小波或母小波 ,
ψ(ω)是它的傅里叶变换 ;式(6)中 a 是尺度参数 , b 是
定位参数 。
具有有限能量的函数 f(t)∈ L 2(R)关于 ψ(t )的 连续小波变换定义为[ 3]
∫ Wf (a , b)= f , ψa , b
=|a |-1/2
f (τ)ψ＊
R
τ-b a
dτ
(7)
设基本小波函数 ψ(t)为
ψ(t)= φr(t)+jφi (t)
(8)
式中 , φr(t )为实偶函数 , φi(t)= φr(t), 是 φr(t)的
图 9 受控结构与未受控结构的自振周期对 比 图 10 顶层在 x 方向的位移响应的对比
对安装了粘弹性阻尼器的框架结构的弹性地震响 机程序 。通过对一斜交框架结构的计算 , 验证了拟外
应进行计算 , 顶层在 x 方向的位移响应与未控结构的 荷载法的可行性及粘弹性阻尼器对框架结构的地震响
h(t)的 Fourier 变换为
1 , ω>0
H(ω)= 0 , ω=0
(3)
-1 , ω<0 利用 Hilbert 变换可把一个时域实信号表示为复信号 ,
由此得出瞬时相位和瞬时频率 。
瞬时相位为 θ(t )=tan-1[ x(t)/ x(t)]
(4)
瞬时频率为 IF(t)=1/ 2π· dθ/ dt
图 4 齿轮振动信号的复解析小波变 换瞬时频率功率谱图
3 基于复解析小波变换的瞬时频率分析方法 在齿轮故障诊断中的应用
在一齿轮实验台上实测了齿轮振动加速度信号 , 主动轮和从动轮齿数均为 37 , 试验用齿轮为从动轮 , 有一断齿缺陷 。电机转速 n =420r/min , 故轴的转动 频率 f r =n/ 60 =7Hz , 齿轮的啮合频率 fm =fr ×37 = 259Hz 。
(下转第 82 页)
82 振 动 与 冲 击 2004 年第 23 卷
对该框架的外围子结构安装粘弹性阻尼器 , 均以 斜支撑的形式安装 , 如图 8 所示 。 粘弹性阻尼器的参
数与上相同 。计算其自振周期 , 计算结果与未控结构 的对比如图 9 所示 。
摘 要 提出了利 用基于复解析小波变换的瞬时频率分 析的新 方法 。 复解 析小波 变换将 Hilbert 变换与 小波分 析
紧密结合在一起 , 具有自适应分析能力 。 对信号作 复小波解析变换得 到信号 的瞬时 频率 , 通过瞬 时频率 的功率 谱分析 就 可提取信号特征 。 通过对齿轮故障振动信号的分析 , 表明该方法能有 效地诊 断齿轮 局部故 障 , 且 与传统 的频域 方法相 比 具有更好的分析效果 。
2 周 云 , 徐赵东 , 赵鸿铁 .粘弹 性阻尼结构 的性能 、分析方 法
本文针对框架结构的特点 , 推导了抗侧力子结构 平面内粘弹性阻尼器的计算公式 , 提出了粘弹性阻尼 器的等效单元刚度矩阵和等效粘弹性附加力向量的概 念 , 建立了安装粘弹性阻尼器的框架结构地震荷载作 用下的运动方程 , 提出将粘弹性阻尼器产生的粘弹性