4.1.3 常用信号的单边拉氏变换
1．单位阶跃信号 2．单位冲激信号 3．指数信号 4．正弦信号 5．t的正幂信号
1．单位阶跃信号
F(s) L u(t) est dt est 1
0
s 0 s
即：
u(t) 1 s
2．单位冲激信号
F(s) L (t)
(t) e st dt
例：已知F (s)
2s2 s2
9s 4s
18 8
, 求其拉氏反变换。
解：将F (s)表示为常用信号的拉氏变换形式，即：
s2 F (s) 2 (s 2)2 22
查表得：
2 2 (t)
s2 (s 2)2 22
e2t
பைடு நூலகம்
cos 2t u(t)
所以： f (t) L1[F (s)] 2 (t) e2t cos 2t u(t)
f1(t) f2 (t) F1(s) F2 (s)
2．复频域卷积定理
若f1(t) F1(s), f2 (t) F2 (s)，则：
f1(t)
f2 (t)
1
2j
F1(s)
F2 (s)
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4.3 单边拉氏反变换
4.3.1 查表法 4.3.2 部分分式展开法
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4.3.1 查表法
s j
s2
2
即：
sin t u(t)
s2 2
5．t的正幂信号
F (s) L t nu(t) t n e st dt 0 利用分部积分法，得：
t nest dt t n
e st
n
t n1e st dt
n
t n1e st dt
0
s
s 0
s 0
0
所以：
L t nu(t) n L t n1u(t) s
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
4.1 拉普拉斯变换 4.2 单边拉氏变换的性质 4.3 单边拉氏反变换 4.4 连续系统的复频域分析 4.5 系统函数H(s) 4.6 系统函数的零、极点分布与时域响应特 性的关系 4.7 系统的稳定性 4.8 系统函数与系统频率特性
4.1 拉普拉斯变换
4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 4.1.2 拉普拉斯变换的收敛域 4.1.3 常用信号的单边拉氏变换
衰减因子 et 以后是否绝对可积，即：
f (t) eat dt
j
收 敛 轴
0
0收
敛 坐 标
收敛域
图4-1 收敛域的划分
f1 (t ) A
0
j
t
a
0
图4-2 右边指数衰减信号与其收敛域
f2 (t)
t 0
A
j
a 0
图4-3 左边指数增长信号与其收敛域
f3 (t ) 1
t 0
j
b
0
b
图4-4 双边信号与其收敛域 返回本节
则
t f ( )d F (s) f (1) (0 )
0
s
s
4.2.7 频域微分定理
若f (t) F(s) 则
tf (t) d F (s) ds
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4.2.8 频域积分定理
若f (t) F(s)
则
f (t)
F ()d
t
s
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4.2.9 初值定理
若f (t) F(s), 且f (t)连续可导，则：
表4-1 常用信号的拉氏变换
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4.2 单边拉氏变换的性质
4.2.1 线性 4.2.2 时移（延时）特性 4.2.3 尺度变换 4.2.4 频移特性 4.2.5 时域微分定理 4.2.6 时域积分定理 4.2.7 频域微分定理 4.2.8 频域积分定理 4.2.9 初值定理 4.2.10 终值定理 4.2.11 卷积定理
)
a0
4.2.4 频移特性
若f (t) F(s)
则 f (t)eat F(s a)
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4.2.5 时域微分定理
若f (t) F(s)
则 d f (t) sF (s) f (0 ) dt
f (n) (t) sn F (s) sn1 f (0 ) sn2 f ' (0 ) f n1(0 )
f (0 ) lim f (t) lim sF (s)
t 0
s
例：
4.2.10 终值定理
若f (t) F(s), 且f (t)连续可导，则：
f () lim f (t) lim sF (s)
t
s0
例：
4.2.11 卷积定理
1．时域卷积定理 2．复频域卷积定理
1．时域卷积定理
若f1(t) F1(s), f2 (t) F2 (s)，则：
sin t t
0
（a） sint u(t t0 )
sin(t t0 )
sin(t t0)u(t)
t
t
0 t0
0 t0
（b）
（c）
sin(t t0 )u(t t0 )
t
t
0 t0
0 t0
（d）
（e）
图4-5 几种时移情况
4.2.3 尺度变换
若f (t) F(s)
则
f
(at)
1 a
F
(
s a
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4.2.1 线性
若f1(t) F1(s), f2 (t) F2 (s)
则对于任意常数a1和a2 , 有 a1 f1(t) a2 f2 (t) a1F1(s) a2F2 (s)
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4.2.2 时移（延时）特性
若f (t) F(s) 则对于任意实常数t0 , 有
f (t t0 )u(t t0 ) F (s)est0
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4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换
由第3章已知，当函数f(t)满足狄里赫利条件 时，便存在一对傅里叶变换式：
F () f (t) e jt dt -
f (t) 1 F () e jt d 2
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4.1.2 拉普拉斯变换的收敛域
连续时间信号f(t)的拉普拉斯变换（以下简称 拉氏变换）式f(s)是否存在，取决于f(t)乘以
f (t)
f (1)(t)
f (2) (t)
A A
T
t
0
T
0
T
t
A (t) T
0
T
t
A (t T )
T
A (t T )
A (1) (t T )
（a）三角脉冲
（b）三角脉冲的一阶导数 （c）三角脉冲的二阶导数 图4-7 三角脉冲及其导数
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4.2.6 时域积分定理
若f (t) F(s)
(t)dt 1
0
0
即：
(t) 1
3．指数信号
F(s) L eatu(t) eat est dt 1
0
sa
即：
eatu(t) 1 sa
4．正弦信号
F(s) L
sin t u(t)
0
sin
t
e st
dt
0
e jt
e jt 2j
est dt
1 2j
s
1
j
1
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4.3.2 部分分式展开法