§2.7 失效、安全因数和强度计算一．失效：工程中将构件不能正常工作称为失效。

①脆性断裂①塑性变形②弹性变形过大 ②冲断（冲击、撞击） ③疲劳③失稳④蠕变（高温） ④腐蚀（等等）二．破坏准则：就强度而言 塑性材料：σ=σs 脆性材料：σ=σb 强度条件：σ≤[σ] σ——工作应力 [σ]——许用应力ssn σσ=][（塑性材料）bbn σσ=][（脆性材料）三．安全因数：（1）n s 、n b 称为安全因数，如一般机械制造中，在静载情况工作的构件：n s =1.2~2.5 n b =2.0~3.5（2）确定安全因数应考虑的主要因素（P32）①材料素质（均匀程度、质地好坏、塑性、脆性） ②载荷情况（静载、动载，估计准确度） ③简化过程，计算方法精确度④零件重要性、工作条件、损坏后果、制造及维修难易。

⑤设备机动性、自重的要求。

⑥其它尚无考虑的因素。

综合考虑后确定。

四．强度条件][σσ≤=NAF①强度校核：认为安全5%100][][<⨯-σσσ 强度计算 ②设计截面：][σN≥F A ③确定许用载荷：A F N ][σ≤例2.7.1 已知F =130kN α=30°AC 为钢杆：d =30mm [σ]s =160MPa BC 为铝杆：d =40mm [σ]a =60MPa试校核结构的强度。

解：（1）求各杆轴力F NAC ，F NBCACBC AC BC x F F F F F ..0sin sin 0N ⋅N N ⋅N ==-=∑αα0cos cos 0.=-+=∑N ⋅N F F F Fy BC AC αα1.752/32130cos 2..N ====N αF F F BC AC kN（2）求各杆应力 2.106430101.7523.=⨯⨯==N πσAC AC ACA F N/mm 2 8.594/40101.7523.=⨯⨯==N πσBC BC BCA F N/mm 28.59=MPa a ][σ<∴安全例2.7.2 图示托架，已知：F =60kN ，α=30° AC 为圆钢杆[σ]s =160MPa BC 为方木杆[σ]w =4MPa 试求钢杆直径d ，木杆截面边长b解：（1）求各杆轴力N⨯=⨯===-=∑432210125.01060sin 0sin 0ααF F F F F yN⨯===-=∑42112104.10cos 0cos 0ααF F F F F y（2）设计截面 AC 杆：[]sF A σ11≥[]sF d σπ124≥[]8.28160104.104441=⨯⨯⨯=≥πσπsF d mmBC 杆：[]wF A σ22≥[]wF b σ22≥[]1734101242=⨯=≥wF b σmm例2.7.3 滑轮结构已知AB 为圆钢杆d =20mm ，[σ]s =160MPa BC 为方木杆a =60mm ，[σ]w =12MPa 试求此结构的许用载荷W解：（1）求各杆的轴力与W 的关系1212030cos 30cos 0F F F F F x ==︒-︒=∑WWF F W F F F y 260cos 220260cos 60cos 02121=︒===-︒+︒=∑（2）分别按各杆强度条件确定WAB 杆：[]s A F σ≤11[]s A Wσ≤12 ∴[]1.25101.2524201602321=⨯=⨯⨯=≤N A W s πσkNBC 杆：[]W A F σ≤22[]W A Wσ≤22 ∴[]6.21106.21260122322=⨯=⨯=≤N A W W σkN取[W ]=21.6kN§2.8 轴向拉伸或压缩时的变形1．轴向变形AF A F l ll l l ==∆=-=∆N σε1胡克定律：llE AF E ∆=→=N εσ ∴EAlF l N =∆(胡克定律的另一种形式) EA ——杆件抗拉（或抗压）刚度2．横向变形bbb b b -=∆='1ε试验证明：当应力不超过比例极限时，横向应变与纵向应变之比的绝对值是一个常数。

μεε='μ——横向变形因数（泊松比）为材料常数（弹性常数） ∴-='εμε3．渐变杆轴力变化时变形计算 微段伸长：()()()x EA xx F l d d N =∆杆件伸长：()()x EA xx F l l d N ⎰=∆例1 除梯杆、求总变形总l ∆ 已知：A 1=400mm 2l 1=200mm A 2=800mm 2 l 2=200mm E =200GPa解：（1）求各段轴力并作轴力图（2）求各段变形及总变形1.0400102002001040331111=⨯⨯⨯⨯==∆N EA l F l mm 025.0800102002001020332222=⨯⨯⨯⨯==∆N EA l F l mm 075.0025.01.021=-=∆+∆=∑=∆N l l A E l F l ii ii 总mm例2 求节点A 的位移已知：F =10kN α=45°AB 为钢杆E 1=200GPa A 1=100mm 2 l 1=1000mm AC 为松木杆E 2=10GPa A 2=4000mm 2 l 2=707mm 解：（1）求轴力45045sin 01=-︒=∑F F F y14.1421045sin 1==︒=FF kN (拉)045sin 012=︒-=∑F F F x102114.1445cos 12=⨯=︒=F F kN(压)（2）轴向变形707.0100102001001014.143311111=⨯⨯⨯⨯==∆A E l F l mm 177.04000101070710103322222=⨯⨯⨯⨯==∆A E l F l mm（3）A 点位移31A A00.145cos AA 15=︒∆=l mm177.0A A 254=∆=l mm∴ 177.15454=+=A A AA AA mm ∴193.1177.0177.12243243=+=+=A A AA AA mm例3 结构如图CD 为刚杆AB 杆为钢杆，d =30mm ，a =1m ，E =210GPa（1）试验测得标距S =20mm 内的伸长变形ΔS =14.3×10-3mm ，试求F 力为若干。

（2）若AB 杆的材料[σ]=160MPa ，试求许用载荷[F ]，及此时D 点的位移δD解：（1）求AB 杆的轴力F N∵EASF S N =∆∴203.1443010210·23⨯⨯⨯⨯=∆=N πSSEA F1.106101.1063=N ⨯=kN求载荷F02··0=-=∑M N a F a F C5321.1062===N F F kN （2）求[F ][][]1131011343016032=⨯=⨯⨯==N πσA F kN[][]5.562==N F F kN（3）求δD∵[]762.030102104100010113233=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==πδEA aF NB ∴524.1762.022=⨯==B D δδmm§2.9 轴向拉伸或压缩的应变能1．变形能（应变能）固体受外功作用而变形，在变形过程中，外力所作的功转变为储存于固体内的能量，固体在外力作用下，因变形而储存能量称为变形能或应变能。

变形能有弹性变形能与塑性变形能。

当外力逐渐减小，变形逐渐减小，固体会释放出部分能量而作功，这部分能量为弹性变形能。

2．轴向拉（压）时的应变能()()⎰∆∆=∆=10d d d l l F W l F W线弹性应变能：（三角形面积）V εlF W V lF W ∆==∆=2121ε胡克定律EA Fll =∆，则EAlF l F W V 2212=∆==ε 3．应变能密度（比能） 力（σz y d d ）位移εdxd 单元体内应变能：V x z y V x z y W d d d d d d d d d d d d 111000⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛===⎰⎰⎰εεεεεσεσεσ d V ——单元体的体积单位体积内的应变能：⎰==10d d d εεεεσVV V 结论：V ε为应力—应变曲线（σ-ε）下的面积 线弹性应变能密度：σεε21=v由胡克定律：σ=E ε，则EE v 222122σεσεε===注：v ε的单位为J/m 3以比例极限σp 代入上式可求出的应变能密度，称为回弹模量，它可以度量线弹性范围内材料吸收能量的能力。

Ev P P 2212σεσε==例1 利用功能原理求A 点的垂直位移δ 已知：F =10kN α=45°杆（1）为钢杆E 1=200GPa ，A 1=100mm 2，l 1=1000mm 杆（2）为木杆E 2=10GPa ，A 2=4000mm 2，l 2=707mm 解：（1）求轴力045sin 01=-︒=∑N F F F y14.1445sin 1=︒=N FF kN1045cos 012=︒-=∑N N F F F x kN（2）求位移（视作弹性杆系）V ε=W22222111212221A E l F A E l F F N N +=δ ()()3323323222221112110104000101070710101001020010001014.14/⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=N N F A E l F A E l F δ =1.18mm（3）此法只求杆系上只作用一个载荷，求载荷作用点处的位移。

能量法求位移见下册13章。

§2.10 拉伸、压缩超静定问题 一． 超静定问题图示三杆桁架，①②二杆抗拉刚度相同，即E 1A 1=E 2A 2，F 、α、l 、E 3、A 3已知，试求三杆内力F N1、F N2、F N3。

解：（1）静力平衡方程⎪⎭⎪⎬⎫=-+=∑==-=∑N N N N N N 0cos 200sin sin 0132112F F F F F F F F F y x ααα （a ） 利用静力平衡方程，不能确定全部未知力的问题，称为超静定问题。

此问题称一次静不定问题，未知力的数与独立平衡数目之差数称为超静定次数。

二． 超静定问题解法 （1）建立足够的补充方程（a ）静力学方面——平衡方程 （b ）几何学方面——变形协调条件 （c ）物理学方面——物理条件 （b ）（c ）补充方程。

（2）变形协调条件αcos 31l l ∆=∆（b ）（3）物理条件⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=∆=∆N N 3333311111A E l F l A E l F l （c ）式（c ）代入式（b ）αcos 33331111A E l F A E l F N N = ∵ l 3=ll 1=l /cos α，故3331111cos /1A E lF A E F N N =α（d ）式（d ）为补充方程。