an 0 （n1,2,）
bn
2
f(x)sinnxdx 2
0
sinnxdx
0
2
1 n
cosnx
0
2 (1cosn) n
n2本[1课件(由王1)科n设]计、开n04发
n1,3,5 n2,4,6
于是，函数f (x)的傅立叶级数展开式为
f( x ) 4 [s x 1 is n 3 i x n 1 s5 i x n 1s2 i n n 1 ) x ( ]
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bn
1
f(x)sinnxdx
1
xsinnxdx
0
1nxcosnxn12sinnx0
1 ( cosn) (1)n1 (n1,2,3,L)
n
n
于是，函数 f (x)的傅立叶级数展开式为
f(x)42(cox s32c1o3sx512co5sx)
(sixn1sin 2x1si3nx)
一、案例 [矩形波的叠加]
周期函数可表示为f (T+t)=f (t)，T为函数 F (t)的周期。如物理上“正弦振动”或 “简谐振动”的运动方程为
f(x)A siw n (t)
其中A为振幅，w为角频率， 为初相。
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电子技术中常用的周期T的矩形波可看成若干个正弦波 叠加而成，如下图所示：
n2xsin n x1 ncons xs
in nx 0
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n2 2[ (1)n1] n 04 2
n1,3,5 n2,4,6
由于函数 f (x)在 (,) 上连续，所以
f(x ) 2 1 4 (cx o c3 s 2 3 o x s c5 2 5 o x s )
( x )
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二、 概念和公式的引出
三角级数 由正弦或余弦函数组成的无限多项的和， 称为三角级数。它的一般形式为
f(x)a 20k 1(ancons xbnsinn)x
其中 a0,an,bn(n1,2,) 为常数。
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傅里叶级数 设f (x)是周期为 2 的周期函数，如果
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(2) 当函数f(x)是以 2 为周期的偶函数时，
anb n 210f(fx)(xc)sonisndxxdxx0
(n0,1,2,) (n1,2,)
傅立叶级数只含余弦项，称为余弦级数．
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练习3 [锯齿脉冲信号]
设锯齿脉冲信号函数 f (x)的周期为2 ，它在 [,] 的表达式为 f(x)0x,,0xx0
脉冲矩形波的信号函数f (x)是以 2 为周期 的周期函数，它在[,] 的表达式为
1,x0
f(x)
1,
0x
如右图所示，求此函数的
傅里叶级数展开式。
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解 用傅里叶系数公式计算傅里叶系数如下:
因为函数f (x)是奇函数，所以f (x) cosnx是奇函数，
因此f (x) cosnx（ ,）上积分为零．于是
如右图所示，将它展开成 傅里叶级数。
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解 函数 f (x)为非奇非偶函数．计算傅立叶系数如下．
a0
1
f (x)dx
1
0
xd x
1
x2 2
0
2
an
1
f(x)cosnxdx
1
xcosnxdx
0
1nxsinnxn12
cosnx 0
n12(cosn1)0n22nn2,41,,36,L5L
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内容简介
自然界的许多现象都具有周期性，如心脏 的跳动、肺的运动、给我们居室提供动力的 电流、电子信号技术中常见的方波、锯齿形 波和三角波以及由空气的周期性振动产生的 声波等等。
5.1 周期为 2 的周期函数展开成傅里叶级数
一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习
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2
3
( x x ( 2 k 1 ) k Z )
35
2 n 1
由收敛定理知函数f (x)在
( x ,x k,k 0 , 1 , 2 )
范围内与级数相等,即
f( x ) 4 [s x 1 is n 3 i x n 1 s5 i x n 1s2 i n n 1 ) x ( ]
35
2 n 1
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an1
f(x)consdxx
(n0,1,2,3,)
bn
1
f(x)sindxx
(n1,2,3,)
存在，则称它们为函数f (x)的傅里叶系数，由傅
里叶系数组成的三角级数
f(x)a 20k 1(ancons xbnsinn)x
称为傅里叶级数。
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收敛定理 （狄利克雷充分条件） 若周期为 2
的周期函数f (x)满足条件
（1）在区间 [,] 连续或只有有限个第一类间断点； （2）在区间[,] 只有有限极值点，
则函数f (x)的傅里叶级数收敛，且 （1）当是连续点时，级数收敛于f (x) ；
（2）当是间断点时，级数收敛于 f(x0)f(x0) 2
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三、进一步的练习
练习1 [脉冲矩行波]
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注：从以上几个例子可以得出下面ห้องสมุดไป่ตู้论：
(1) 当函数 f (x)是以 2为周期的奇函数时，
bna 1n 1f( x)fs(x in )ncdxxon sd 2 xx 0 0 f(x)sin ndxx(n (n01,1 ,2 ,2 , , ))
傅立叶级数只含正弦项，称为正弦级数．
当 xk 时，傅立叶级数收敛于
f(k0)f(k0) 1 10
2
2
此函数的傅立叶级数收敛情况如下图所示．
当n分别1,2,3,6取时，傅立叶 级数的部分和Sn(x)图形与函数 f (x)的方波逼近的情况，类似 于本章开始演示的图形．
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练习2 [脉冲三角信号]
已知脉冲三角信号f (x)是以2 为周期的周期函数， 它在 [,]的表达式为
f(x)xx11,,0xx0
如右图所示，将函数 f (x)展开成傅里叶级数。
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解 因为函数f (x)是偶函数，所以f (x)sinnx是奇函数，
因此它在（ ,）上积分为零．于是
bn 0 (n1,2,)
a0
2
0
f (x)dx
2
(x1)dx
0
1 x 12 2
0
an2
0
f(x)consdxx20(x1)consdxx