0.4 z-1
0.3
0.4( z1) z 0.1 3 5
0.1( z1) z 0.0 1 8 5
1 G(z) 0, 并代入
1
z
得
1
2.33 3 3.68 2 1.65 0.34 0
32Βιβλιοθήκη 331.652 3.68
0.34
1
1.43
0
0
0.34
0
系统是稳定的
例3:设采样系统的方框图如图所示,其中 稳定的K1值范围.
117( ωω11)2
119(
ω1 ω1
)
39
0
整理得: ω3 2ω2 2ω 40 0
ω3 1 2
ω2 2 40
ω1 - 18 0
ω0 40
系 统 不 稳 定, 有 两 根 在 单 位 圆 外
例2.判断如图所示系统的稳定性,采样周期T=0.2(秒)
r(t) T -
1e T s s
2 s (10.1s )(10.0 5s )
0.158K ω2 1.264ω (2.736 0.158K ) 0
1
1
ω2 0.158K 1
2.736- 0.158K 1
ω1 1.264
0
ω0 2.736- 0.158K 1
0.158K 0 , 2.736- 0.158K 0
1
1
解得 : 0 K 17.3
四、离散系统的稳态误差 稳态误差计算
1型系统
2型系统
3型系统
r(t)=1(t)
1 kp 0
0
0
r(t)=t
T0 kv
0
0
r(t)
1 2
t2
T2 ka
0
例1.右图所示系统中的参数a=1,k=1,T=1, 试求在r(t)=1(t),r(t)=t及r(t)=t2/2时 的稳态误差.
1 G1G2 H (z) 0
设 特 征 方 程 的 根 为z1, z 2 , z n , 则 线 性 数 字 控 制 系 统 稳定 的
充 要 条 件 是: 系 统 特 征 方 程 的 根 均 位于z平 面 的 单 位 圆 内, 或 全
部 特 征 根 的 模 小 于1.
例1.试分析特征方程为z2-z+0.632=0的系统的稳定性.
解:
G(s)
(1- e-Ts)
2 s2 (10.1s)(10.05s)
(1- e-Ts)
400 s2 (s10)(s20)
G(z)
-1 (1 - z )Z
2 s2
0.3
s
0.4 s10
0.1 s20
(1
-
z -1
)
2Tz (z-1)2
0.3z z 1
0.4 z z e1 0T
0.1z z e2 0T
(3)输入信号为单位抛物线信号
r (t )
1 2
t
2
, R(z)
T2z(z1) 2( z1)3
T2z(z1)
( z 1)
ess
lim z1
2( z1)3
1 G(z)
lim z1
(
T2 z1)2 G
(
z
)
1
Ka
1
2
Ka
T2
lim ( z 1) z1
G(z)
稳态误差终值 输 入
系统类型
0型系统
)z 4T
(1 e
)z
则
1 G(z)
4T (z - 1)(z e )
K1 4
4T (1 e ) z
0
(z
- 1)(z -
0.368)
K1 4
(1
0.368) z
0
令
z
1 -1
代入上式得
(
1 -1
-
1)(
1 -1
-
0.368)
0.158K1
1 -1
0
两边同乘以(ω -1)2 并整理得
既可用Routh判据, 其步骤如下:
(1) 求出采样系统的特征方程D(z) 0
(2) 进行ω变换, 整理后得D(ω) 0
(3) 应用Routh判据判别采样系统的稳定性
例1..设闭环采样系统的特征方程为D(z)=45z3-117z2＋119z－39=0,判断其稳定性.
解: 令
z
ω1 ω1
得
4 5 ( ωω11 ) 3
解:
1 z1,2
1 4 0.632 0.5 0.5
2
1.528 0.5 j0.618
| z1 || z2 | 0.52 0.6182 0.795 1
系统是稳定的
例2: 设离散系统如下图所示，其中
，G(s) ，10 。试H分(析s) 闭 1环稳T定性1 。 s(s 1)
解：G ( z )
1 1G (
z
)
1 KP
KP
lim [1 G(z)] z1
位置误差系数
G(S)
C(S)
(2)输入信号为单位斜坡函数
r(t)
t, R(z)
Tz (z-1)2
e ss
lim
(z
1)
Tz (z-1)2
z1
1 G(z)
lim z1
(
T z 1)G
(
z
)
1
Kv
Kv
1 T
lim ( z 1)G( z) 速度误差系数 z1
(3) 当 1时 对应s平面的右半部
| z | eT 1 故对应于单位圆的外部
结论：s平面的稳定区域在z平面上的影像是单位圆内部区域
二.离散系统稳定的充要条件
C(z) R(z)
G1G2 (z) 1G1G2H (z)
R(s) Y(s) -
G1(s)
G2(s)
C(s)
由 此 得 闭 环 系 统 的 特 征方 程 为 H(s)
G(，s)采样s周(Ks期1T4=)0.25s,求能使系统
解:G( z)
Z[
K1 s(s4)
]
G(s)
C(s)
R(s) - T
K1 4
Z[
1 s
-
1 s4
]
K1 4
(1e4T ) z ( z1)( ze4T )
C(z) R(z)
G(z) 1G( z)
(z
1)( z
K1 4
(1
4T e
4T e
)
K1 4
ess
lim t
ess (t)
lim (z z1
1)E( z)
R(z) E(z) 1G( z)
( z 1)R( z)
ess
lim z1
1 G(z)
R(S)
E(S) -T
(1)输入信号为单位阶跃函数
r(t) 1(t),R(z)
z
z 1
( z 1) z
ess
lim z1
1
z 1 G(z)
lim z1
§8-5 离散系统稳定性分析
一.s平面与z平面的映射关系
z eTs
s
2 T
而 s j z eT e jT | z | eT z T
(1) 当 0 s j | z | 1
[s]
当由
T
T
z由 -
因此s平面的虚轴对应z平面的单位圆
(2) 当 1时 对应s平面的左半部 [Z] | z | eT 1 故对应于单位圆的内部
Z
10 s(s 1)
10(1 e1)z (z 1)(z e1)
闭环特征方程为
1 G(z) 0
即 z2 4.952z 0.368 0
解得特征根 因为
z2
，1故z离1 散闭环0系.0统7是6不, 稳z定2的。4.876
三.Routh稳定判据
令z
ω 1 ω1
代入闭环采样系统的特征方程, 进行z变换后,