关键 词 ： ｕ —Ｗｈｔ 模 型 ； Ｈｌ ｌ ｉ ｅ 几何 平 均 亚 式期 权 ；ｏｒ ｒ Ｆ ｕｉ 变换 ； 权 定价 ｅ 期 中 图分 类 号 ：８０ ９ Ｆ ３ ． 文 献 标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０４— ３ ２ ２ ｌ ） ３— ０ ２— ６ １０ ８ ３ （ ｏｏ ｏ ０２ ０
△１ Ｓ一△２ ． Ｐ 因此 在 （ ， ＋ｄ ）时间 段 内ｎ的收益 为 ： ｆｔ ｔ
收稿 日期 ：０９— ５— ０ ２０ ０ ２ 基 金 项 目 ： 西 省 自然 科 学 基 金项 目（０ ８ Ｚ ０ ２ ） 江 ２ ０ Ｇ Ｓ０ ５ 作者简介 ： 坚（９ ９一） 男 ， 潘 １７ ， 赣南师范学 院数学与计算机科学学院讲师、 硕士， 从事偏微分方程与金融数学 的研究
２ ０正 ０１
赣 南 师 范 学 院 学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＧａ ｎ ｎ Ｎｏｍａ ｉｅ ｓｔ ｏ ｒ ａ ｎ ａ ｒ ｌＵｎ ｖ ｒ ｉ ｏ ｙ
Ｎ ． ｏ３
第三期
・
Ｊｎ ．０ ０ ｕ ｅ ２ １
基础 数 学 ・
随机 利 率 模 型 下 几 何 平 均 亚 式期 权 定 价 的新 解 法
１ １ 基 本假设 ．
．
（Ｉ） 原生 资产 （ 股票 ） 的价格 服从几 何布 朗运动 ：
： ＝ｒ ｔ ｒ ｕ ， ＋ｏ ｄ ｄ
＾ ）ｆ
（） １
其中 是资产的期望增长率 ， ｒ ｏ 是原生资产变化的波动率且为常数 ， ”为标准的布朗运动． （Ⅱ） 市 场利 率采用 能 自动地适 合今 天期 限结构 的 Ｈｕｌ ｌ—Ｗｈｔ模 型 ： ｉ ｅ ｄ ＝ ［ （）一ａ ］ ｔ ｒ 。 ｒ ｔ ｒ ｄ ＋ｏ ｄ ’ ２ （） ２ 其 中 ａ 均值 回复速度 且为 常数 ， （） 是 是确定 性 的 函数 ， ｒ ｏ 是短 期利 率 的瞬时 波动 率且 为常数 ， 为 标准 的布朗运 动 ． ｕｌ Ｗｈｔ 模 型仅有 的缺 陷是 在这样 一个 Ｇ ｕｓ Ｈ ｌ— ｉ ｅ ａ ｓ 环境 中并 未排 除负 利率 ． 尽管如 此 ， 该 注意 应 到， 对于合理 的参数 ， 样 的事件 有 相 当低 的发 生 的概 率 （ 这 见文 献 ［ ］ ． 且 ， ｏ （ ＂ ｄ ） ＝ ６ ）并 Ｃｙｄ ， ｐ ｔ Ｉ ＜ １ ， 里常数 Ｐ表示两 个 随机源 的相关 系数 ． ｄ（ ＰＩ ） 这 （ Ⅲ） 市场无 摩擦 ， 无套利 ． １２ 建立方程 ．
潘 坚
（ 赣南师范学 院 数学 与计算机科学学院 ， 江西 赣州 ３ １０ ） ４ ００ 摘 要 ： Ｈ ｌ—Ｗｈ ｅ 率模型 下， 在 ｕ ｌ ｉ利 ｔ 利用偏微分方程基本解方法和 Ｆ ｕｉ ｏｒ ｒ变换分别得到 了具有 固定敲定价格 ｅ 和具有浮动敲定价格 的几何平均亚式期权的定价公 式．
第 ６期
潘 坚 随机利率模型下几何平均亚式期权定价的新解法
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（） ３
利用 △对冲原理， 我们在时间（ ｔ ｄ 作一个投资组合丌 ， ｆ ＋ｔ ， ） 使得兀 在（，＋ ｔ时间段内无风险， ￡ ｄ） ￡ 其
中Ｈ 是由 份 期 ｒ ，， 和 △ 份 票｜ △ 份 票债 （，Ｔ 空 成， 一 亚式 权 （ ｓ ｔ ， Ｊ ） 股 ｓ 零息 券Ｐｒ ； 头组 即丌 ＝ 一 及 ￡） Ｖ
未定 权益 的定价 是现代 金融 数学研 究 的核心 问题之 一 ． 近年 来 ， 随着 金 融市 场 的不 断 发展 和 完 善 ， 准 标 期 权 已不 能满 足市场 的需求 ， 为适应 客 户的不 同需求 和 丰富可用 于风 险管理 的金 融工具 ， 融机构 不断推 出 金 新 的金融 产 品 ， 各种类 型 的期 权 ＿也 应运 而 生． 式 期权 就 是 其 中 的一 种 ． 式期 权 是 一 张期 权 合 约 ， １ 亚 亚 在期 权 到期 １ ３的收益依 赖 于在整 个期权 有效期 内原 生资产 所经 历 的价 格平 均值 ． 里所 谓 的平 均值 ： 以是算术 这 可 平均， 也可 以是几 何平 均． 于亚式期 权 的定 价 问题 ， 键是 如何 确定平 均价 格的概 率分 布 ， 对 关 这是 得 到解析定 价公式的主要难点． 目前为止， 到 在假定资产价格服从对数正态分布的情况下 ， 我们并不知道资产价格的算 术平均的概率的分布， 因而， 我们得不到该类期权的公式解 ， 一般都以近似解代替． 但是 ， 在假定资产价格服 从 对数正 态分 布 的情 况下 ， 以证 明资产价格 的几何 平 均仍然 服从对 数正 态分 布 ． 可 因而 ， 以得 到解析解 ． 可 文 献 ［ ３ 在所有 参数假 定为 常数 的情况 下 ， １— ］ 推导 出了几 何平 均亚 式期权 的定 价公式 ． 而实 际 中有 些期权 的生 存期 限 比较 长 ，比如 说员 工 持 股计 划 中的期权 工资 ，其合 同一 般 都长 达 数年 ， 这个 时候 利率 的波动对 其定 价 和相 关 问题 都将 具有一 定 的影 响 ． 以在许 多 情况 下 都有 必 要把 利 率 的随 机 所 因素考虑进去． 基于此 ， 文献［ ］ ４ 在利率服从 Ｖ ｓ ｅ 模型下 ， ａ ｃｋ ｉ 利用概率论方法得到了股票价格与利率独立时 候 的几何 平 均亚式 期权 的定价公 式 ． 文献 ［ ］ 利 率 服从 Ｈ ｌ— ｉ 模 型 下 ， ５在 ｕｌ ｔ ｅ 利用 概 率论 方 法 得 到 了股票 价格 与利率相 关 时的几何 平均 亚式期 权 的定 价公 式． 文在假 定 随机利 率服从 Ｈ ｌ— ｉ 模 型 ， 本 ｕｌ Ｗｈｔ ｅ 利用 偏微 分方程方 法得 到 了股 票价 格与利 率相关 时 的几何平 均亚 式期权 的定 价公 式． １ 数学 模型