20
40
60
80 100 120 140 160
0.5, 1
1, 1
3 2.5
2 1.5
1 0.5
0 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
4 3 2 1
0 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
6 5 4 3 2 1 0
第六章：期权定价的连续模型
第一节 连续时间股票模型 第二节 离散模型 第三节 连续模型的分析 第四节 Black-Scholes模型 第五节 Black-Scholes公式的推导 第六节 看涨期权与看破跌期权平价 第七节 二叉树模型和连续时间模型 第八节 几何布朗运动股价模型应用的注意事项
1
保罗· 萨缪尔森在1965年首次提出：
16
S0 1, 0.10, c 0.40, t 1
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
200
400
600
800
1000
1200
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
式（5-6）中将时间分成小的增量 t ，并考虑 k 步
运行的影响，一段固定的时间 T kt可以分成许多小时 间段。
个不足之处，即有两个不确定项。
第一个漂移项来自 et 中的 ，其作用类似于债券
和货币基金市场中的利率 r
k
第二个漂移项来自于
c Zi e i
当然希望期望的所有的漂移来自于一个方面，即 et
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10
为能对模型进行标准正态变换，并对不确定性进行合并。
对 S1 进行重新定义：
S1 e e t cZ1c2 / 2S0
于是式（5-6）
ST S0eT eWT e 2T / 2
其中 WT ~ N (0,T )
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对数正态模型（为什么？）
S S eWT 2 / 2 T
T
0
：表明长期趋势； ：表明波动率。
这两个参数如何影响股价？
（5-7）
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21
1.4
Hale Waihona Puke 101.3 81.2
式中，Bt ~ N (0,t) 由此得到的就是股价的几何布朗运动模型（GBM）。
式（5-8）与具有连续时间变量T的离散模型（5-7）相同。
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24
特别注意：
事实上，针对同样的时间 T ，可以分成不同的 k 个 区间。
应该注意到：随着 k 的增加，Wk 的方差 k 会增加。
为了使得 cWk 的总方差独立于 k ，需要对常量 c 随 k 进行
调整。
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可以在c 和k 之间建立一个关系式，使得 cWk 的方差
等于 2T
即令： Var(cWk ) c2Var(Wk ) c2k 2T
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6
在式（5-1）中，如果令 0
即可得到上述微分方程，这是一个确定性的公式。 然而，股价并不具有公式（5-2）所示的可预测性和确定性。 令随机变量 Z ~ N (0,1)
定义
其中，Z1 ~ N (0,1)
c 为常数
S1 etecZ1 S0
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7
于是，可得股价序列 S2 , S3 , Sk
即
Sk etecZk Sk1
（5-3）
设 Zi ,iid, Zi ~ N (0,1),i 1, 2, , k
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8
于是得：
k
Sk
c e e kt i1
Zi
S0
（5-4）
与式（5-2）相比有什么特点？
包含了随机项，因此更接近实际！
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9
该模型有一个优点，包含了随机变量；但存在一
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
10 8 6 4 2 0
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
方程（5-1）是一个SDE，一般SDE没有简洁的封闭形式的解。 方程（5-1）的解（几何布朗运动）
St S0 exp Bt 2 / 2 t （5-8）
1.1
6
1
4
0.9
2 0.8
0.7
0
20
40
60
80 100 120 140 160
0
0
20
40
60
80 100 120 140 160
0, 0.5
2
0, 1
2.4
1.8
2.2
2 1.6
1.8 1.4
1.6
1.2 1.4
1
1.2
0.8
0
20
40
60
80 100 120 140 160
1
0
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14
特别注意：
模型（5-6）尽管也是一种离散模型， 但比二叉树模型具有更丰富的意义。
因为
S1
e e e S t cW1 c2 / 2 0
允许 S1 取任何正值
为什么？
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当 E exp(cW1 c2 / 2) 1 时
是否 S1 et S0
否！
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为什么？
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随机变量Z 的一个重要等式
c2
E ecZ e 2
（5-5）
于是
E exp(cZ c2 / 2) 1
E S1 et S0
第二个因素表示的随机变量的漂移率为零
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进一步
若令： 则： 因为：
k
kt
c Zi kc2 / 2
i1
S e e S k
则根据二叉树模型，在一个给定时间间隔 t
S1 et S0 Sk1 et Sk
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于是
Sk ekt S0
令 T kt
S T Sk eT S0
这表明k个小时间段的共同影响等同于相应大时间段 T kt 的影响。
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5
上式是下列微分方程的解：
dS S
dt
S (T ) eT S0 （5-2）
其中：
dSt Stdt StdBt
St ——股票在 t 时刻的价格
——常量
Bt ——服从布朗运动。
（5-1）
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2
1826年英国植物学家布朗（1773-1858）用显微镜
观察悬浮在水中的花粉时发现的。后来把悬浮微粒的这种 运动叫做布朗运动。
若 S T 表示 T 时刻的股价
0
k
Wk Zi i1
Wk ~ N 0, k
Zi ,iid,且Zi ~ N 0,1,i 1, 2, , k
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则
Sk e e kt cWk ekc2 / 2S0
式（5-6）的分析：
（5-6）
S0 股票的初始价格； ekt 漂移因子（复利因子）；
ecWk 随机因子； ekc2 / 2 修正因子。