线性系统理论
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总结
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两种判定周期时变系统能控性的必要条件
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两点说明
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利用对偶性, 可以得到完全对应的能观性结 论。 与线性时不变系统可控性PBH判据不同，以 上两种判别可控性的条件都为必要条件而 非充分条件。 下面举一个反例加以说明
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线 性 时 变 周 期系 统 的 能 控 性 分析
线 性 系 统 理 论 线 性 系 统 理 论
参考文献：张雪峰, 张庆灵. 线性时变周期系统的能控性与能稳定性问题[ J ]. 系统工 程与电子技术, 2010,32(4):812-815
主要内容
一．线性时变周期系统的状态描述 二．线性时变周期系统的应用实例
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周期线性时变系统的定义
• 为了研究用非线性微分方程描述的周期运动的特性, 不少实际方法都是围绕研究带有周期系数的线性微 分方程组而进行探索。例如在机械故障诊断中, 齿 轮等零件周期性旋转而产生的振动信号的模型; 由 于人体规律性作息, 一天内不同时刻对相同刺激产 生不同脑电信号的模型等。
假设是否成 立？
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d t0 ,t t0 ,t A t dt
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t0 0,t ,t0 t0 0 t , 0 t
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• 这类常见而又特殊的系统一般称为时变周期系统。 若系统还是线性的, 则称为线性时变周期( linear time-varying periodic, LTVP ) 系统。
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状态方程及状态转移矩阵
线性时变系统： 状态方程： A x t x B t u 状态转移矩阵方程：
Wc (t0 , t1 ) (t0 , ) B( ) BT ( ) T (t0 , )d
t0
t1
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由线性时不变系统能控性的等价条件 北方工业大学 推导出时变周期系统能控的必要条件
结论2：[线性时不变系统能控性判据]
假设是否成 立？
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证明: (与第一个假设证明类似)
1 0 0 2 1 1 0 2 0 1
北方工业 t 0 ,t A t
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状态方程及状态转移矩阵
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t At t ,
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0 I
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二、周期时变系统的应用实例
• 实例 1 卫星姿态控制问题
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• 1976 年, Sticher 提出了卫星姿态控制问题。利用位 于卫星上传感器的三维磁力计测量地球磁场的相互 作用原理, 卫星绕地球轨道运动的姿态稳定性常常 通过磁转矩来实现。由于沿飞机所在位置的轨道地 球场磁力的相互作用产生了周期性, 因此这类问题 在数学领域的适当模型为周期模型, 即:
式中, K (·) 表示系统的刚度矩阵, 具有周期性; D 表示系统的阻尼矩阵; M 表示系统的质量矩阵; f 表示系统施加的主动力矩阵; di 表示对系统的干扰; u(· ) 表示主动施加力; x ( ) 表示系统的状态变量; y ( ) 表示测量系统的位移。
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三、两种判定周期时变系统能控性 的必要条件
• 时变系统的能控性、 能观性、 稳定性问题在理论上有 一些基本结论, 但这些结果往往依赖于系统的状态转移 矩阵, 由于状态转移矩阵计算是十分困难和繁杂的, 因而 实际应用还并不现实。
• 下面对时变系统进行了讨论, 利用矩阵方程判定线性时 不变系统能控性、 能观性等价条件的方法, 得到了与定 常系统类似的结论。
对连续时间线性时变系统，满足矩阵方程：
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x t0 x 0
t t0 ,t
t ,t0 A t t ,t0 ,
的解矩阵ф(t,t0)称为状态转移矩阵。
结论：①状态转移矩阵为唯一
t0 ,t0 I
t ,t0 I ②
研究意义
• 线性时变系统也称为线性变系数系统。其特点是,表征系 统动态过程的线性微分方程或差分方程中,至少包含一个 参数为随时间变化的函数。 • 在现实世界中 , 由于系统外部和内部的原因 , 参数的变 化是不可避免的 , 因此严格地说几乎所有系统都属于时 变系统的范畴。 • 相比于线性时不变系统，时变系统的研究分析和综合方 法比线性时不变系统要复杂的多。然而，在物理和工程 技术中, 存在许多具有一定规律性的问题。许多问题最 终都能导致具有周期系数的线性微分方程组。例如弹性 力系统的动力学稳定性、 卫星姿态控制、直升飞机传动 系统、 生态系统和经济系统中周期环境的竞争平衡等。
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由线性时不变系统能控性的等价条件， 推导出时变周期系统能控的必要条件
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由线性时不变系统能控性的等价条件， 推导出时变周期系统能控的必要条件
结论1：[线性时不变系统能控性PBH判据]
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连续时间线性时不变系统完全能控的充分必要条件是， 对矩阵A的所有特征值λi (i=1,2,---n)，均成立：
式中, A( t ) 、 B( t ) 、 C ( t ) 分别为连续的周期函数 矩阵。
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• 实例 2 直升飞机传动系统的振动衰减问题
直升飞机的传动系统由复杂的齿轮组成, 它的振动是典型的周期 振动问题, 其振动衰减研究是非常有意义的。振动的衰减可通过 主动控制方法来解决, 这一问题可由下述线性周期系统模型来描 述：
t A d t A t A d d
t t 1
0
1
2
2
1

0
0
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状态转移矩阵的性质
1 t ,t I 2 t ,t t ,t 3 t ,t t ,t t ,t d d 4 t ,t t ,t
• 能控的定义
能控性：状态是否可由输入影响。
每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制，由任意 的始点达到原点，则是能控的，反之则不完全能控。
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三．两种判定时变周期系统能控性的必要条件
由线性时不变系统能控性的等价条件，推导出两种 判别线性时变周期系统能控的必要条件； 该判别条件的优点是不必计算系统的状态转移矩阵, 使判别线性时变周期系统能控性与能观性简单、高 效、易于实现.
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一、周期线性时变系统的状态描述