y
a 0b
c dx
2020/11/19
思考：如果函数y=f(x)在[a,b]上满足 f(a).f(b)<0，那么函数y=f(x)在(a,b)上 一定有零点吗？
y
Oa
bx
归纳：函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点的条件？
函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续 不断的曲线,并且有f(a).f(b)<0,那么函数y=f(x) 在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b), 使得f(c)=0这个c也就是方程f(x)=0的解.
1.在区间(－2,0)上有零点－1 ;f(－2)= 5 , f(0)= －3 , f(－2).f(0) < 0(<或>);
2.在区间(2,4)上有零点 3 , f(2).f(4) < 0(<或>).
探索新知
观察函数的图象 ①在区间(a,b)上_有___(有/无)零点；
f(a) f(b)__＜___0（＜或＞）． ② 在区间(b,c)上__有____(有/无)零 点；f(b) f(c) _＜____ 0（＜或＞）． ③ 在区间(c,d)上__有____(有/无)零 点；f(c) f(d) __＜___ 0（＜或＞）．
A．(－2，－1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
[ 解析] f(－2)＝e－2－2－2＝e－2－4＝e12－4<0， f(－1)＝e－1－1－2＝1－3<0，
e f(0)＝e0－2＝1－2<0，f(1)＝e－1>0， ∴f(0)·f(1)<0，∴函数 f(x)的零点所在的一个区间为(0,1)．
思考1.若函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上连续,
且f(a).f(b)<0, 则y=f(x)在区间(a,b)内
只有一个零点吗？
y
y
b
a
a
x
bx
思考2:若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续, 且f(a).f(b)>0,则y=f(x)在区间(a,b)内有 没有零点吗？
思考3：若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点, 一定能得出f(a).f(b)<0的结论吗？
当堂练习1 求下列函数的零点
(1) f(x)=x3-x
0 , -1, 1
(2) f(x)=2x－1
0
思考3：函数f(x)=2x+x－2有零点吗？
函数y=f(x)有零点m ⇔方程f(x)=0有实数解m ⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点（m,0)
等价关系
方程f(x)=0有实数解
方程f(x)=g(x)不同解的个数
⇔函数y=f(x)的图象与
x轴有交点
推广
⇔函数y=f(x)与y=g(x)图象的 交点个数
⇔函数y=f(x)有零点
ห้องสมุดไป่ตู้
⇔函数F(x)=f(x)-g(x)的零点个数
问题1：如何判断函数y=f(x)在某个区间上是否有零点？
探究 观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图象：
可以发现，在零点附近，函数图象是连续不断的， 并且“穿过”x轴。
a
b
a
b
11
思考4：f(x)在[a,b]上图像是连续不断的曲线， 且f(a)·f(b)<0是f(x)在(a,b)上有零点的 充分不必要 条件.
例题讲解
例1 求函数f(x)=lnx+2x－6的零点的个数. 利用零点存在定理，判断函数y=f(x)零点个数
单调 连续
异号
零点唯一
函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( C )
4 5．函数 f(x)＝2x＋x3－2 在区间(0,1)内的零点个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
课堂小结
知识层面： 1、函数零点的定义 2、等价关系 3、函数零点的存在定理
数学思想层面： 数形结合 函数与方程的思想
中外历史上 的方程求解
作业 1、 课本P155 第2, 3题 2、金版P100-P101
4.5 函数的应用 (二)
4.5.1函数的零点与方程的解
情境引入
我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二 次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二 次函数的零点. 例如，方程x2-5x+6=0的根为2和3。 所以2和3就是二次函数f(x)=x2-5x+6的零点， 我们有f(2)=0, f(3)=0
根据二次函数的零点， 猜想:什么叫函数y=f(x)的零点呢？
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函数的零点
定义：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做 函数y=f(x)的零点.
思考：1.函数的零点是点吗？ 函数的零点不是点，是实数. 2.如何求函数的零点？
(1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0；(3)写出零点
34．已知函数 f(x)的图象是连续不断的曲线，有如下 x，f(x)的对应
值表：
x 1 2 34 5 6
f(x) 15 10 －7 6 －4 －5
则函数 f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( B )
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
解析：由题表可知 f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，又函数 f(x)的图象是连续不断的曲线，故 f(x)在区间[1,6]上至少有 3 个零点．