《预测》2000年第6期 ・理论与方法研究・　 收稿日期:2000-04-11对伯川德价格博弈的思考史剑新(天津大学管理学院,天律300072)摘　要:在不变边际成本的同质产品伯川德价格博弈中,通常认为唯一均衡结果是各个企业获得零利润的纯战略纳什均衡。

本文的研究表明,存在使企业获得正利润的混合战略纳什均衡,并给出了能够保证零利润伯川德博弈结果的条件。

此外,还存在一种E 均衡,使企业获得(相对于E 的)较高的正利润。

关键词:伯川德博弈;价格竞争;混合战略纳什均衡;E 均衡中图分类号:F 019.1∶F 224.32 文献标识码:A 文章编号:1003-5192(2000)06-0057-03A Supplement of Ber tr and Pr icing GameSHI J ia n -xin (School of Management ,Tianjin University,Tianjin 300072China )Abstr act :It's commonly viewed as t he only equilibrium outcom e that each fir m ear ns zer o pr ofit in t he homogeneous pr oduct Ber tr and game with constant m arginal cost .This pa per shows that ther e exist m ixed sr ategy equilibr ia satisfying that each fir m ca n ear n positive pr ofit s,as well as giving the condit ions t hat guarantee the zer o profit outcome .Besides ,this pa per shows an E -equilibr ia which m ake firms ear n lar ge pr ofits relative to E .Key wor ds :Bert rand game;pr icing competition;m ixed str ategy equilibr ium;E -equilibrium 1　引言当两个以不变边际成本生产同质产品的企业制定产品价格时,等于边际成本的价格是唯一的纳什均衡,这就是伯川德悖论[1]。

通常认为,在没有生产能力约束的条件下,不考虑固定成本,同质产品伯川德竞争将导致企业按边际成本制定产品价格并获得零利润。

为保证均衡的存在性和唯一性,伯川德悖论规定整个市场都购买价格最低的全部产品,但没有对需求加以限定。

伯川德悖论问题在于,它的证明过程简单地排除了正利润纯战略均衡,从而产生零利润均衡的存在性。

本文构造了一个例子,表明还存在能够使企业获得正的期望利润的混合战略均衡。

然后给出了只产生零利润均衡结果的条件。

最后指出,即使是在能够保证零利润纳什均衡结果的唯一性的很强的条件下,仍然可以获得正利润E 均衡支付。

这些E 均衡也是混合战略均衡。

2　一个正利润混合战略均衡在考虑市场需求的基础上,把伯川德博弈稍做扩展:n 个试图将利润最大化的企业以零边际成本生产同种产品;对任何一个有限的价格,市场需求总是1;产品价格最低的企业占领整个市场;价格相同时,各个企业以相同的机会占领整个市场(或者说,将市场平均分配);存在消费者能够承受的最高价格r ,超过此价格市场需求下降为零。

设需求函数[2]为:D (p)=p -A (p F r )0(p >r )其中,A ∈(12,1)。

设r 的分布密度为在[1,∞)上的帕累托分布g (r )=B /r B +1,则对应分布函数为G =1-r -B 。

给定前面的各种假设之后,企业将制定最低价格(低于r )以获取相应的垄断利润。

于是,在采用最低价格的条件下,i 的期望(垄断)利润为:P (p i )=[1-G (p i )]D (p i )p i =p 1-A -Bii 的支付函数为:P i (p 1,p 2,…,p n )=p 1-A -Bi(p i <p j ,i ≠j )1m p 1-A -Bi(i 与另外m -1个企业的价格相同,且都是最低价格)0(其他)命题1　设伯川德博弈支付如上式(A+B<1),则对于每个n>1和k∈(0,∞),存在一个对称的混合战略纳什均衡,使得每个企业的期望利润为k1-A-B。

通过构造如下概率分布即可得到这种均衡:F(p)=0(p F k11-A-B) 1-(kp)1-A-Bn-1(p>k11-A-B)上述命题表明,除了人们熟知的零利润纯战略均衡之外,还存在正利润纳什均衡。

3　伯川德博弈的一般模型伯川德悖论认为,同质产品条件下价格竞争将产生唯一的纯战略纳什均衡。

命题1与之相矛盾。

这说明需要进一步分析伯川德悖论结果的存在性和唯一性的条件。

伯川德竞争是以获得垄断利润为“赢者赢得全部”的竞争。

不失一般性,考虑在一个市场中,有集合为N={1,2,…,n}(n>1)的企业提供同质产品。

用P (p)表示一个垄断者以价格p∈P A[0,∞)获得的经营利润函数(未剔除固定成本)。

设P为连通集,f∈[0,∞)为固定成本。

因为博弈是对称的,所以所有企业有相同的战略空间P,伯川德博弈的战略空间为P n。

每个企业通过选择一个价格p i∈P,价格最低者获胜。

当存在相同的最低价格时,认为将市场在选择相同最低价格的企业之间平均分配。

于是,如果(p1, p2,…,p n)∈P n是n个企业的价格,则企业i的利润为:P i(p1,p2,…,p n)=P(p i)-f(p i<p j,i≠j)1 m P(p i)-f(i与另外m-1个企业有相同的最低价格)-f(其他)令0=(P1,P2,…,P n)为支付函数向量,则同质产品伯川德博弈可以用#(N,P n,0)表示。

令L表示P上的全部概率测度的集合,L n表示所有这类测度的n元组的集合。

对于价格概率分布函数F∈L,令S F表示F的支撑集。

这样,如果给定对手的混合战略矢量F*-i,i采用F*i的混合战略将得到不少于比采用任何其他混合战略F*i∈L所得的期望利润,则(F*1,F*2,…,F*n)∈L n是一个混合战略纳什均衡;即,E P i(F*i,F*-i)F P i(F*i,F*-i)　(i∈N)如果SF*i对所有i∈N是单元素集合,则(F*1, F*2,…,F*n)包含了一个纯战略纳什均衡。

定义1　(伯川德悖论均衡概念的扩展)令#为一个同质产品的伯川德博弈。

满足下列条件的(F*1,F*2,…,F*n)∈L n是一个伯川德悖论均衡:(1)(F*1,F*2,…,F*n)是#的一个纳什均衡;(2)E P i(F*1,F*2,…,F*n)=-f对所有的i∈N 成立。

这个定义将伯川德价格竞争导致零利润的概念一般化(考虑了固定成本f)。

这种均衡情况下,削价竞争使得企业经营利润变为零,不能弥补其固定成本f。

原始的伯川德悖论只是将价格概率质量全部分布在不变边际成本c(即S F*1=S F*2={c})上且固定成本f=0情况下的特例。

4　关于伯川德均衡的几个命题定义2　如果存在一个价格p0∈P满足:对于所有的p∈P,p<p0意味着P(p)F P(p0)=0则称p0为初始收支平衡价格。

命题2　(伯川德悖论均衡存在性)当且仅当p0存在时,博弈#的伯川德悖论均衡存在。

这样,当p0存在时,如果每个企业的价格均为p0,则没有企业能够通过削价来获利。

命题2表明,任意具有伯川德悖论均衡的同质产品伯川德博弈在纯战略上至少有一个均衡。

然而,由第一部分的例子可以看出,伯川德悖论均衡的存在不足以排除企业能够获得正利润均衡的可能性。

命题3　(正利润均衡存在性)#为同质产品伯川德博弈。

如果垄断经营利润P(・)满足:(1)存在一个p*∈P使得P(p*)E0,且对于所有的p∈P,p<p*意味着P(p)F P(p*);(2)P(・)在[p*,p-)A P上严格增加;(3)limp→p-P(p)→∞。

则在#的一个纳什均衡中每个企业可能取得任意经营利润k∈[P(p*),∞)。

命题2和命题3表明:在同质产品伯川德博弈中,出现伯川德悖论均衡并不能排除正利润均衡,不出现伯川德悖论均衡也并不意味着正利润均衡不存在。

因此,还需找出那些使得一个给定的同质产品伯川德博弈中的每个纳什均衡都是伯川德悖论均衡的条件。

命题4　(伯川德悖论结果的唯一性)#为一个同质产品伯川德博弈。

如果#满足:(1)定义2中的p0存在;(2)P(p)有上界;(3)P(p)下半连续。

则#的每个纳什均衡都是伯川德悖论均衡。

命题4的含义是,如果状态空间是紧的和凸的,且垄断利润连续并且p0存在,则唯一的纳什均衡结果将与伯川德悖论结果一致。

5　正利润E均衡E均衡是Radner首先提出的一个概念,指的是这样一种均衡状态:没有参与人能够通过单方面的偏离而获得额外的超过E(E>0)的支付。

尽管命题4给出的弱条件保证了伯川德悖论结果,一组(更严格的)标准条件也可以保证伯川德悖论结果。

而且,在这些条件下,仍然存在能令企业获得高额(相对于E)利润的E均衡。

命题5　令#为满足如下条件的同质产品伯川德博弈:(1)P是R的一个紧子集;(2)定义2中的p0存在;(3)P(p)连续且在P上严格增加,maxp∈PP(p)≡P M >0。

对于每个E∈0,nn-1n-12-n P M,存在J(E)>E,J(E)满足:在#E以获得任意的k∈[0,J(E)]的期望利润。

考虑每个企业可以获得的最大经营利润J(E)。

命题5保证了一个有限的垄断价格p M和有界的垄断经营利润P M≡P(p M)。

因为P(・)严格增加,所以可以构造一个在半开半闭区间[P-1(H-),p M)上的概率分布,其余的概率质量分布在p M上。

构造一个对称的具有如下性质的E均衡战略:当价格低于P-1(H-)时,每个企业的期望经营利润低于H-,而当价格在[P-1(H-,p M)内时每个企业的期望经营利润正好为H-。

当所有企业制定的产品价格均为p M时,期望经营利润为1nH-。

对于给定的E,可以获得期望经营利润为J(E)>E。

通过构造,把质量从p M转移从而单方面偏离指定的E均衡的企业至多获得大小为E的额外的期望经营利润。

因为在一个给定的E均衡中每个企业可以得到的最大经营利润为J(E),所以比较一下E和J(E)数量级是很有意义的。

假设两个企业(n=2)以同质产品伯川德博弈方式竞争时,都采用能够产生最大E均衡利润k=J(E)的战略。