2018-2019学年安徽省合肥市瑶海区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）已知23x y =，则下列比例式成立的是()A．32x y=B．23x y =C．32x y =D．23x y =2．（4分）抛物线22(3)4y x =---的顶点坐标()A．(3,4)-B．(3,4)--C．(3,4)-D．(3,4)3．（4分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，10AB =，8AC =，则sin A 等于()A．35B．45C．34D．434．（4分）如图，已知点C 在弧AB 上，110AOB ∠=︒，则ACB ∠的度数为()A．55︒B．110︒C．120︒D．125︒5．（4分）如图，将ABC ∆绕点B 逆时针旋转α，得到EBD ∆，若点A 恰好在ED 的延长线上，则CAD ∠的度数为()A．90α︒-B．αC．180α︒-D．2α6．（4分）如图，O 是ABC ∆的内切圆，若70A ∠=︒，则(BOC ∠=)A．125︒B．115︒C．100︒D．130︒7．（4分）如图，在O 中，AE 是直径，半径OC 垂直于弦AB 于D ，连接BE ，若27AB =，1CD =，则BE的长是()A．5B．6C．7D．88．（4分）已知抛物线C 的解析式为2y ax bx c =++，则下列说法中错误的是()A．a 确定抛物线的开口方向与大小B．若将抛物线C 沿y 轴平移，则a ，b 的值不变C．若将抛物线C 沿x 轴平移，则a 的值不变D．若将抛物线C 沿直线:2l y x =+平移，则a 、b 、c 的值全变9．（4分）如图，平行于BC 的直线DE 把ABC ∆分成面积相等的两部分，则BDAD的值为()A．1B．22C．21-D．21+10．（4分）如图所示，已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴为直线1x =．直线y x c =-+与抛物线2y ax bx c =++交于C ，D 两点，D 点在x 轴下方且横坐标小于3，则下列结论中正确的是()A．0a b c -+>B．20a b c ++<C．x ()ax b a b +>+D．1a <-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．（5分）已知反比例函数1(y x-=k k 是常数，1)≠k 的图象有一支在第二象限，那么k 的取值范围是．12．（5分）如图，在ABCD 中，2AD =，4AB =，30A ∠=︒，以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧交AB 于点E ，连接CE ，则阴影部分的面积是（结果保留)π．13．（5分）如图，四边形ABCD 是O 的内接正方形，若正方形的面积等于4，则O 的面积等于．14．（5分）如图，点C 为Rt ACB ∆与Rt DCE ∆的公共点，90ACB DCE ∠=∠=︒，连接AD 、BE ，过点C 作CF AD ⊥于点F ，延长FC 交BE 于点G ．若25AC BC ==，15CE =，20DC =，则EGBG的值为．15．（8分）计算：sin 30cos30tan 60︒+︒︒ ．16．（8分）已知二次函数22y x x c =++的图象经过点(1,5)-．（1）求c 的值；（2）求函数图象与x 轴的交点坐标．四、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）17．（10分）已知：ABC ∆三个顶点的坐标分别为(2,2)A --，(5,4)B --，(1,5)C --．（1）画出ABC ∆关于x 轴对称的△_1_1_1A B C ；（2）以点O 为位似中心，将ABC ∆放大为原来的2倍，得到△_2_2_2A B C ，请在网格中画出△_2_2_2A B C ，并写出点_2B 的坐标．18．（10分）如图，在ABC ∆中，12BC =，3tan 4A =，30B ∠=︒；求AC 和AB 的长．19．（8分）如图，AB 是O 的直径，AC 、BC 是O 的弦，ACB ∠的平分线交O 于D ，连接AD 、BD ，已知6AB =，2BC =．（1）求AC 、AD 、BD 的长；（2）求四边形ACBD 的面积．20．（8分）某公司试销一种成本单价为50元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，经试销调查，发现销售量y （件)与销售单价x （元/件）可近似看作一次函数y kx b =+的关系（如图所示）()I 根据图象，求一次函数y kx b =+的解析式，并写出自变量x 的取值范围；（Ⅱ）该公司要想每天获得最大的利润，应把销售单价定为多少？最大利润值为多少？六、（本题满分12分）21．（12分）如图，AB 是O 的直径，点C 为O 上一点，CN 为O 的切线，OM AB ⊥于点O ，分别交AC 、CN 于D 、M 两点．（1）求证：MD MC =；（2）若O 的半径为5，AC =OD 长；（3）在（2）的基础上求MC 长．七、（本题满分12分）22．（12分）如图，一小球从斜坡O 点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数24y x x =-+刻画，斜坡可以用一次函数12y x =刻画．（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P 的坐标；（2）小球的落点是A ，求点A 的坐标；（3）连接抛物线的最高点P 与点O 、A 得POA ∆，求POA ∆的面积；（4）在OA 上方的抛物线上存在一点(M M 与P 不重合），MOA ∆的面积等于POA ∆的面积．请直接写出点M 的坐标．八、（本题满分14分）23．（14分）如图①，在锐角ABC ∆中，D ，E 分别为AB ，BC 中点，F 为AC 上一点，且AFE A ∠=∠，//DM EF 交AC 于点M ．（1）求证：DM DA =；（2）点G 在BE 上，且BDG C ∠=∠，如图②，求证：DEG ECF ∆∆∽；（3）在图②中，（2）的基础上，取CE 上一点H ，使CFH B ∠=∠，若1BG =，求EH 的长．2018-2019学年安徽省合肥市瑶海区九年级（上）期末数学试卷参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）已知23x y =，则下列比例式成立的是()A．32x y=B．23x y =C．32x y=D．23x y =【解答】解：A 、变成等积式是：6xy =，故错误；B 、变成等积式是：32x y =，故错误；C 、变成等积式是：23x y =，故正确；D 、变成等积式是：32x y =，故错误．故选：C ．2．（4分）抛物线22(3)4y x =---的顶点坐标()A．(3,4)-B．(3,4)--C．(3,4)-D．(3,4)【解答】解：22(3)4y x =--- 是抛物线的顶点式，∴顶点坐标为(3,4)-．∴则答案为C 故选：C ．3．（4分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，10AB =，8AC =，则sin A 等于()A．35B．45C．34D．43【解答】解：在Rt ABC ∆中，10AB = 、8AC =，22221086BC AB AC ∴=-=-=，63sin 105BC A AB ∴===，故选：A ．4．（4分）如图，已知点C 在弧AB 上，110AOB ∠=︒，则ACB ∠的度数为()A．55︒B．110︒C．120︒D．125︒【解答】解：如图，在优弧 AB 上取一点D ，连接AD 、BD ，110AOB ∠=︒ ，1552ADB AOB ∴∠=∠=︒，A 、D 、B 、C 四点共圆，180ACB ADB ∴∠+∠=︒，18055125ACB ∴∠=︒-︒=︒，故选：D ．5．（4分）如图，将ABC ∆绕点B 逆时针旋转α，得到EBD ∆，若点A 恰好在ED 的延长线上，则CAD ∠的度数为()A．90α︒-B．αC．180α︒-D．2α【解答】解：由题意可得，CBD α∠=，ACB EDB ∠=∠，180EDB ADB ∠+∠=︒ ，180ADB ACB ∴∠+∠=︒，360ADB DBC BCA CAD ∠+∠+∠+∠=︒ ，CBD α∠=，180CAD α∴∠=︒-，故选：C ．6．（4分）如图，O 是ABC ∆的内切圆，若70A ∠=︒，则(BOC ∠=)A．125︒B．115︒C．100︒D．130︒【解答】解：O 是ABC ∆的内切圆，OB ∴平分ABC ∠，OC 平分ACB ∠，12OBC ABC ∴∠=∠，12OCB ACB ∠=∠，11()(180)22OBC OCB ABC ACB A ∴∠+∠=∠+∠=︒-∠，111180()180(180)9018070125222BOC OBC OCB A A ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒-∠=︒+∠=︒+⨯︒=︒．故选：A ．7．（4分）如图，在O 中，AE 是直径，半径OC 垂直于弦AB 于D ，连接BE ，若27AB =，1CD =，则BE 的长是()A．5B．6C．7D．8【解答】解： 半径OC 垂直于弦AB ，172AD DB AB ∴===，在Rt AOD ∆中，222()OA OC CD AD =-+，即222(1)(7)OA OA =-+，解得，4OA =3OD OC CD ∴=-=，AO OE = ，AD DB =，26BE OD ∴==，故选：B ．8．（4分）已知抛物线C 的解析式为2y ax bx c =++，则下列说法中错误的是()A．a 确定抛物线的开口方向与大小B．若将抛物线C 沿y 轴平移，则a ，b 的值不变C．若将抛物线C 沿x 轴平移，则a 的值不变D．若将抛物线C 沿直线:2l y x =+平移，则a 、b 、c 的值全变【解答】解：A 、a 确定抛物线的开口方向与大小，所以A 选项的说法正确；B 、若将抛物线C 沿y 轴平移，则抛物线的对称轴不变，开口大小、开口方向不变，所以a ，b 的值不变，所以B 选项的说法正确；C 、若将抛物线C 沿x 轴平移，抛物线的开口大小、开口方向不变，即a 的值不变，所以C 选项的说法正确；D 、若将抛物线C 沿直线:2l y x =+平移，则a 不变，b 、c 的值改变，所以D 选项的说法不正确．故选：D ．9．（4分）如图，平行于BC 的直线DE 把ABC ∆分成面积相等的两部分，则BDAD的值为()A．1B．22C．21-D．21+【解答】解：//DE BC ，ADE B ∴∠=∠，AED C ∠=∠，ADE ABC ∴∆∆∽，2()ADEABCS AD AB S ∆∆∴=．ADE BCED S S ∆= 四边形，∴22AD AB =，∴22212BD AB AD AD AD --===-．故选：C ．10．（4分）如图所示，已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴为直线1x =．直线y x c =-+与抛物线2y ax bx c =++交于C ，D 两点，D 点在x 轴下方且横坐标小于3，则下列结论中正确的是()A．0a b c -+>B．20a b c ++<C．x ()ax b a b +>+D．1a <-【解答】解： 抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，0c ∴>，抛物线的对称轴为直线12bx a=-=，2b a ∴=-，2220a b c a a c c ∴++=-+=>，所以B 错误； 抛物线与x 轴的一个交点在点(3,0)左侧，而抛物线的对称轴为直线1x =，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点(1,0)-右侧，∴当1x =-时，0y <，0a b c ∴-+<，所以A 错误；1x = 时，二次函数有最大值，2ax bx c a b c ∴++++ ，2ax bx a b ∴++ ，所以C 错误；直线y x c =-+与抛物线2y ax bx c =++交于C 、D 两点，D 点在x 轴下方且横坐标小于3，3x ∴=时，一次函数值比二次函数值大，即933a b c c ++<-+，而2b a =-，963a a ∴-<-，解得1a <-，所以D 正确．故选：D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．（5分）已知反比例函数1(y x -=k k 是常数，1)≠k 的图象有一支在第二象限，那么k 的取值范围是1<k ．【解答】解： 反比例函数1y x-=k 的图象有一支在第二象限，10∴-<k ，解得1<k ．故答案为：1<k ．12．（5分）如图，在ABCD 中，2AD =，4AB =，30A ∠=︒，以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧交AB 于点E ，连接CE ，则阴影部分的面积是133π-（结果保留)π．【解答】解：过D 点作DF AB ⊥于点F ．2AD = ，4AB =，30A ∠=︒，sin 301DF AD ∴=︒= ，2EB AB AE =-=，∴阴影部分的面积：230241212360π⨯⨯⨯--⨯÷1413π=--133π=-．故答案为：133π-．13．（5分）如图，四边形ABCD 是O 的内接正方形，若正方形的面积等于4，则O 的面积等于2π．【解答】解：正方形的边长2AB =，则半径是2222⨯=则面积是2(2)2ππ=．故答案是：2π．14．（5分）如图，点C 为Rt ACB ∆与Rt DCE ∆的公共点，90ACB DCE ∠=∠=︒，连接AD 、BE ，过点C 作CF AD ⊥于点F ，延长FC 交BE 于点G ．若25AC BC ==，15CE =，20DC =，则EG BG 的值为34．【解答】解：如图，过E 作EH GF ⊥于H ，过B 作BP GF ⊥于P ，则90EHG BPG ∠=∠=︒，又EGH BGP ∠=∠ ，EHG BPG ∴∆∆∽，∴EG EHBG BP =，CF AD ⊥ ，90DFC AFC ∴∠=∠=︒，DFC CHE ∴∠=∠，AFC CPB ∠=∠，又90ACB DCE ∠=∠=︒ ，CDF ECH ∴∠=∠，FAC PCB ∠=∠，DCF CEH ∴∆∆∽，ACF CBP ∆∆∽，∴34EH CE CF DC ==，1BP BC CF CA==，34EH CF ∴=，BP CF =，∴34EH BP =，∴34EG BG =，故答案为：34．三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）15．（8分）计算：sin 30cos30tan 60︒+︒︒ ．【解答】解：原式13322=+⨯1322=+2=．16．（8分）已知二次函数22y x x c =++的图象经过点(1,5)-．（1）求c 的值；（2）求函数图象与x 轴的交点坐标．【解答】解：（1） 点(1,5)-在22y x x c =++的图象上，512c ∴-=++，8c ∴=-．答：c 的值为8-．（2）由（1）得函数的解析式为228y x x =+-，令0y =，则2280x x +-=，解方程得：14x =-，22x =．故函数与轴的交点坐标为(4,0)-，(2,0)．四、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）17．（10分）已知：ABC ∆三个顶点的坐标分别为(2,2)A --，(5,4)B --，(1,5)C --．（1）画出ABC ∆关于x 轴对称的△_1_1_1A B C ；（2）以点O 为位似中心，将ABC ∆放大为原来的2倍，得到△_2_2_2A B C ，请在网格中画出△_2_2_2A B C ，并写出点_2B 的坐标．【解答】解：（1）如图所示：△_1_1_1A B C 即为所求：（2）如图所示：△_2_2_2A B C 即为所求；_2(10,8)B18．（10分）如图，在ABC ∆中，12BC =，3tan 4A =，30B ∠=︒；求AC 和AB 的长．【解答】解：如图作CH AB ⊥于H ．在Rt BCH ∆中，12BC = ，30B ∠=︒，162CH BC ∴==，BH ==，在Rt ACH ∆中，3tan 4CH A AH ==，AH ∴10AC ∴=，8AB AH BH ∴=+=+．五、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）19．（8分）如图，AB 是O 的直径，AC 、BC 是O 的弦，ACB ∠的平分线交O 于D ，连接AD 、BD ，已知6AB =，2BC =．（1）求AC 、AD 、BD 的长；（2）求四边形ACBD 的面积．【解答】解：（1）AB 是O 的直径，ACB ACD ∴∠=∠=，由勾股定理得，AC==，ACB ∠ 的平分线交于，∴ AD BD =，22AD BD AB ∴==⨯=；（2）四边形ACBD 的面积11922AD BD BC AC =⨯⨯+⨯⨯=+．20．（8分）某公司试销一种成本单价为50元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，经试销调查，发现销售量y （件)与销售单价x （元/件）可近似看作一次函数y kx b =+的关系（如图所示）()I 根据图象，求一次函数y kx b =+的解析式，并写出自变量x 的取值范围；（Ⅱ）该公司要想每天获得最大的利润，应把销售单价定为多少？最大利润值为多少？【解答】解：（Ⅰ）由函数的图象得：40603070k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：1100k b =-⎧⎨=⎩，∴所以100(5080)y x x =-+ ；（Ⅱ）设每天获得的利润为W 元，由（Ⅰ）得：22(50)(50)(100)1505000(75)625W x y x x x x x =-=--+=-+-=--+，10-< ，∴当75x =时，625W =最大即该公司要想第天获得最大利润，应把销售单价为75元/件，最大利润为625元．六、（本题满分12分）21．（12分）如图，AB 是O 的直径，点C 为O 上一点，CN 为O 的切线，OM AB ⊥于点O ，分别交AC 、CN 于D 、M 两点．（1）求证：MD MC =；（2）若O 的半径为5，45AC =OD 长；（3）在（2）的基础上求MC 长．【解答】（1）证明：连接OC ，如图所示：CN 为O 的切线，OC CM ∴⊥，90OCA ACM ∠+∠=︒，OM AB ⊥ ，90OAC ODA ∴∠+∠=︒，OA OC = ，OAC OCA ∴∠=∠，ACM ODA CDM ∴∠=∠=∠，MD MC ∴=；（2）解：由题意可知5210AB =⨯=，5AC =AB 是O 的直径，∴∠，2210(45)5BC ∴=-∠ ，A A =∠，AOD ACB ∴∆∆∽，∴OD AO BC AC =，52545=，可得： 2.5OD =，（3）解：设MC MD x ==，在Rt OCM ∆中，由勾股定理得：222( 2.5)5x x +=+，解得：154x =，即154MC =．七、（本题满分12分）22．（12分）如图，一小球从斜坡O 点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数24y x x =-+刻画，斜坡可以用一次函数12y x =刻画．（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P 的坐标；（2）小球的落点是A ，求点A 的坐标；（3）连接抛物线的最高点P 与点O 、A 得POA ∆，求POA ∆的面积；（4）在OA 上方的抛物线上存在一点(M M 与P 不重合），MOA ∆的面积等于POA ∆的面积．请直接写出点M 的坐标．【解答】解：（1）由题意得，224(2)4y x x x =-+=--+，故二次函数图象的最高点P 的坐标为(2,4)；（2）联立两解析式可得：2412y x x y x ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，解得：00x y =⎧⎨=⎩，或7274x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．故可得点A 的坐标为7(2，74；（3）如图，作PQ x ⊥轴于点Q ，AB x ⊥轴于点B ．POA POQ BOAPQBA S S S S ∆∆∆=+-梯形117717724(4)(2)2242224=⨯⨯+⨯+⨯--⨯⨯694941616=+-214=；（4）过P 作OA 的平行线，交抛物线于点M ，连结OM 、AM ，则MOA ∆的面积等于POA ∆的面积．设直线PM 的解析式为12y x b =+，P 的坐标为(2,4)，1422b ∴=⨯+，解得3b =，∴直线PM 的解析式为132y x =+．由21324y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩，32154x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点M 的坐标为3(2，154．八、（本题满分14分）23．（14分）如图①，在锐角ABC ∆中，D ，E 分别为AB ，BC 中点，F 为AC 上一点，且AFE A ∠=∠，//DM EF 交AC 于点M ．（1）求证：DM DA =；（2）点G 在BE 上，且BDG C ∠=∠，如图②，求证：DEG ECF ∆∆∽；（3）在图②中，（2）的基础上，取CE 上一点H ，使CFH B ∠=∠，若1BG =，求EH的长．【解答】（1）证明：如图1所示，//DM EF ，AMD AFE ∴∠=∠，AFE A ∠=∠ ，AMD A ∴∠=∠，DM DA ∴=；（2）证明：如图2所示，D 、E 分别是AB 、BC 的中点，//DE AC ∴，BDE A ∴∠=∠，DEG C ∠=∠，AFE A ∠=∠ ，BDE AFE ∴∠=∠，BDG GDE C FEC ∴∠+∠=∠+∠，BDG C ∠=∠ ，GDE FEC ∴∠=∠，DEG ECF ∴∆∆∽；（3）解：如图3所示，BDG C DEB ∠=∠=∠ ，B B ∠=∠，BDG BED ∴∆∆∽，∴BD BG BE BD=，2BD BG BE ∴= ，AFE A ∠=∠ ，CFH B ∠=∠，180180C A B AFE CFH EFH ∴∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=∠，又FEH CEF ∠=∠ ，EFH ECF ∴∆∆∽，∴EH EF EF EC=，2EF EH EC ∴= ，//DE AC ，//DM EF ，∴四边形DEFM 是平行四边形，EF DM DA BD ∴===，BG BE EH EC ∴= ，BE EC = ，1EH BG ∴==．。