圆周角
一、圆周角概念及性质
1、顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫做圆周角；
2、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。

注意：若将推论1中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立了．因为一条弦所对的圆周角有两种可能，一般情况不相等。

3、直径所对的圆周角等于90°。

注意：（1）这里所对的90°的角必须是圆周角；
（2）直径所对的圆周角是直角，在圆的有关问题中经常遇到，是解决问题的一条重要的辅助线。

一般地，如果题目中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角；如果需要直角或证明垂直时，也往往作出直径即可解决问题，推论也是证明弦是直径常用的办法．
4、圆周角为90°时，所对的弦为直径.
5、圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角．
推论：圆内接四边形的任何一个外角等于它的．
注意：此定理是证明与圆有关的两角相等或互补关系的重要依据．
6、圆内角与圆外角
⑴圆内角与圆外角都通过圆周角建立联系．
⑵同弧对的圆内角、圆外角、圆周角之间的大小关系是：圆内角＞圆周角＞圆外角．
⑶圆内角等于它所对弦对的圆周角与它对顶角所对弧对的周角之和．
⑷圆外角等于它所截两条弧所对的圆周角之差。

小知识：在圆中有弧中点时，常用以下三种辅助线．
（1）过弧中点作半径；（2）连等弧对的圆心角和圆周角；（3）连等弧对的弦．
例题：
1.如图在⊙O中，弦AD=弦DC，则图中相等的圆周角的对数有( )
A.5对
B.6对
C.7对
D.8对
2.如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，∠BAC=40°，∠AED=75°，则∠ABD的度数为
3.如图，AB是⊙O的直径，∠BOC=120°，CD⊥AB，则∠ABD＝___________。

4.如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=∠BDC=60°.则△ABC的形状为
5.△ABC的3个顶点都在⊙O上，∠ACB=40°，则∠AOB=_______，∠OAB=_ ____。

6. 如图，AB 是⊙O 的直径，若AB=AC ，求证：BD=CD.
7.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，∠ACD=60°， ∠ADC=50°,求∠CEB 的度数.
8. 如图， A 、B 、E 、C 四点都在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，∠CAD=∠EAB, AE 是⊙O 的直径吗？为什么？
9．如图，圆的弦AB 、CD 延长线交于P 点，AD 、BC 交于Q 点，∠P ＝28°，∠AQC ＝92°，求∠ABC 的度数．
10．已知：如图所示，AD=BC 。

求证：AB=CD 。

Q
B
D
O
P
A
C
∙
E
D C
B
A O
习题
1.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，以OA为直径的⊙D与AC相交于点E，AC=10,求AE的长.
2.如图，△ABC的3个顶点都在⊙O上，直径AD=4，∠ABC=∠DAC，求AC的长。

3.如图，在⊙O中，直径AB=10，弦AC=6，∠ACB的平分线交⊙O于点D。

求BC和AD的长
4．如图，半圆的半径为2cm，点C、D三等分半圆，求阴影部分面积.
中考接触
5．已知，如图：AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC
＝45︒。

给出以下五个结论：∠EBC＝22.5︒；BD＝DC；1
2
AE＝2EC；劣弧AE是劣弧DE
的2倍；⑤AE＝BC。

其中正确结论的序号是。

A
C D
B
O
6．如图所示，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O 于E、D，连结ED、BE．（1）试判断DE与BD是否相等，并说明理由；（2）如果BC＝6，AB＝5，求BE的长．
7.如图，等腰三角形中，AB=AC，顶角为40°，以其一腰AB为直径作半圆分别交AC、BC 于E、D，求的度数.
8.如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且AC=PC，PB的
延长线交⊙O于D，求证：AC=DC
9.如图(1)，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、
E.(1)求证：△DOE是等边三角形.(2)如图(2)，若∠A=60°，AB≠AC，则(1)
中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
10.四边形ABCD中，AB∥DC，BC=b，AB=AC=AD=a，如图，求BD的长.
A
O
B C D
E
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
ＥＯ
Ａ
Ｂ
Ｐ
Ｃ
Ｄ
Ｏ。