3.1 二维形式的柯西不等式（一）教学设计
一、设计思想：
本节乃至本讲的编写意图不是仅仅介绍经典不等式及其证明方法，而是更希
望能通过分析和解决问题，讨论经典不等式的简单应用，提高学生运用重要数学
结论进行推理论证的能力，即在理解重要数学结论的基础上，能够发现面临的具
体问题与重要数学结论之间的内在联系，并善于利用这样的联系，应用重要数学
结论及其所反映的数学思想方法解决具体问题。

二、教材分析：
二维形式的柯西不等式是人教A 版教材选修4-5第三讲第一节的内容，是学生
继学习均值不等式之后学习的又一个经典不等式，它在教材中起着承前启后的作
用，一方面巩固了前面证明不等式及求最值的基本方法，另一方面与后面学习的
三维形式的柯西不等式及一般形式的柯西不等式有着相通的研究方法，是从特殊
到一般的研究过程。

本节教学的核心是二维形式的柯西不等式、几何意义以及它
的简单应用。

三、学情分析：
学生不仅掌握了不等式的基本证明方法，还具备了一定的观察、分析、逻辑推
理能力，学生对柯西不等式的向量形式也有了一定的认识，这是学生知识的“最
近发展区”。

另外授课班级是高二年级（4）班，学生基础较好，学习积极性较高。

四、教学目标
1、知识与技能目标
（1）认识二维柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义。

（2）能用二维柯西不等式解决简单的证明问题及求最值问题。

2、过程与方法目标
通过创设情境提出问题，然后探索解决问题的方法，培养学生
独立思考能力和逻辑推理能力及数形结合能力。

3、情感态度与价值观
简单介绍法国数学家柯西，渗透数学史和数学文化。

五、教学重难点
（1）教学重点 二维形式的柯西不等式 ； 二维形式的柯西不等式的向量形式
（2）教学难点 数形结合的认识两种形式的等价关系；应用柯西不等式求最值
六、教学过程
（一）定理探究
设α，β为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的坐标α=（b a ,） β=（d c ,）那么它们的数量积为ac bd αβ→→•=+而2||a α→=，
2||c β=+||||cos αβαβθ•=⋅•，
cos 1θ≤||||||αβαβ∴•≤⋅，其中等号当
且仅当两个向量共线时成立。

定理：（二维柯西不等式的向量形式）设α，β为平面上的两个向量，则
||||||αβαβ•≤⋅，当且仅当β是零向量或存在实数k ，使k αβ=时等号成立。

用向量坐标表示不等式||||||αβαβ•≤⋅，得2222||d c b a bd ac +⋅+≤+
两边平方，得到二维柯西不等式的代数形式 22222)())((bd ac d c b a +≥++，等
号成立的条件为ad=bc
定理：（二维柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则
22222()()()a b c d ac bd ++≥+, 其中等号当且仅当bc ad =时成立。

代数证明过程如下:
222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+
当且仅当bc ad =时等号成立.（也可以用比较法证明）
【设计意图】不等式部分的课题引入很难，本节课利用学生的“最近发展区” 学生熟悉向量引入巧妙地化解了困难，同时有效地整合了教材，
使两个定理的讲解浑然一体。

突破了教学难点，突出了重点。

（二）定理应用
1.不等式的证明：
例1：已知a,b 为实数，求证4422332()()()a b a b a b ++≥+
2. 求最大（小）值：
例2：求函数y =
分析：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式的一边得到一个常数，并寻
找不等式取等号的条件。

这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd 的形
式就能用柯西不等式求其最大值。

（||ac bd +
解：函数的定义域为【1，5】且y>0
5y =≤==例3: 设a,b 是正实数，a+b=1，求证
411≥+b a 分析：注意到)11)((11b a b a b a ++=+，有了)11)((b
a b a ++就可以用柯西不等式了。

讨论：其它证法（利用基本不等式）
5=时，等号成立，即12727
x =时，函数取最大值36。

例4：已知321x y +=，求22x y +的最小值.
分析：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313
x y x y x y +=++≥+= 讨论：其它方法 （数形结合法）
【设计意图】1.培养学生用适当的变形手段解决问题的能力。

2.比较一个问题的多种解法，便于学生灵活应用。

（二）随堂练习
【设计意图】理解反思、巩固提高
（三）小结与作业
【设计意图】突出重点、夯实基础。