计时双基练三十四 数列的综合应用A 组 基础必做1．已知各项均不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝( )A ．2B ．4C ．8D ．16解析 因为数列{a n }为等差数列，所以a 3＋a 11＝2a 7，所以已知等式可化为4a 7－a 27＝0，解得a 7＝4或a 7＝0(舍去)，又数列{b n }为等比数列，所以b 6b 8＝b 27＝a 27＝16。

答案 D2．(2015·云南省师范大学附属中学高三适应性考试)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 5＋a 6a 3＋a 4的值为( )A.1－52 B.5＋12 C.3＋52D.3－52解析 设{a n }的公比为q ，因为a 2，12a 3，a 1成等差数列，所以a 1＋a 2＝2×12a 3＝a 3，即a 1＋a 1q ＝a 1q 2，所以q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52或q ＝1－52<0(舍去)，所以a 5＋a 6a 3＋a 4＝ a 3＋a 4 q 2a 3＋a 4＝q 2＝3＋52，故选C 。

答案 C3．在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是第一象限的两个点，若1，x 1，x 2,4依次成等差数列，而1，y 1，y 2,8依次成等比数列，则△OP 1P 2的面积是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 根据等差、等比数列的性质，可知x 1＝2，x 2＝3，y 1＝2，y 2＝4。

∴P 1(2,2)，P 2(3,4)。

∴S △OP 1P 2＝1。

答案 A4．已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，其公比q ≠1且b i >0(i ＝1,2，…)，若a 1＝b 1，a 11＝b 11，则( )A ．a 6>b 6B ．a 6＝b 6C ．a 6<b 6D ．a 6<b 6或a 6>b 6解析 ∵数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列，a 1＝b 1，a 11＝b 11，∴a 1＋a 11＝b 1＋b 11，又b i >0(i ＝1,2，…)∴2a 6＝b 1＋b 11≥2b 1b 11＝2b 6，又q ≠1，且b i >0(i ＝1,2，…)，∴b 1≠b 11，∴a 6>b 6。

答案 A5．已知数列{a n }满足a 1＝23，且对任意的正整数m ，n ，都有a m ＋n ＝a m ·a n ，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n 等于( )A ．2－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1B ．2－⎝ ⎛⎭⎪⎫23nC ．2－2n3n ＋1D ．2－2n ＋13n解析 令m ＝1，得a n ＋1＝a 1·a n ，即a n ＋1a n ＝a 1＝23，可知数列{a n }是首项为a 1＝23，公比为q ＝23的等比数列，于是S n ＝a 1 1－q n 1－q ＝23×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 1－23＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＝2－2n ＋13n 。

答案 D6．(2015·河南适应性模拟练习)已知正项等比数列{a n }满足：a 9＝a 8＋2a 7，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝16a 21，则1m ＋4n的最小值为( ) A.32 B.53 C.256D ．不存在解析 因为a 9＝a 8＋2a 7，所以a 7q 2＝a 7q ＋2a 7，解得q ＝2或－1(舍去)，因为a m a n ＝16a 21，所以a 212m ＋n －2＝16a 21，m ＋n －2＝4，所以1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝161＋4＋n m ＋4m n ≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4＋2 n m ×4m n ＝32，当且仅当n ＝2m ＝4时，取等号。

所以1m ＋4n 的最小值为32，故选A 。

答案 A7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋1，前n 项和为S n ，若对任意的正整数n ，不等式S 2n －S n >m16恒成立，则常数m 所能获得的最大整数为________。

解析 要使S 2n －S n >m 16恒成立，只需(S 2n －S n )min >m16。

∵(S 2(n ＋1)－S n ＋1)－(S 2n －S n )＝(S 2n ＋2－S 2n )－(S n ＋1－S n )＝a 2n ＋1＋a 2n ＋2－a n ＋1＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋2>12n ＋2＋12n ＋4－1n ＋2＝12n ＋2－12n ＋4>0， ∴S 2n －S n ≥S 2－S 1＝13，∴m 16<13⇒m <163，m 所能取得的最大整数为5。

答案 58．(2015·福建卷)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于________。

解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝p >0，ab ＝q >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0。

不妨设a <b ，则－2，a ，b 成等差数列，a ，－2，b 成等比数列，即⎩⎪⎨⎪⎧－2＋b ＝2a ，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4。

∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝5，q ＝4。

∴p ＋q ＝9。

答案 99．(2016·潍坊模拟)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门通过“可持续指数”来进行积累考核。

已知该生产线连续生产n 年的产量f (n )＝n n ＋1 n ＋23吨，每年生产量a n 的倒数记作该年的“可持续指数”，如果累计“可持续指数”不小于80%，则生产必须停止，则该产品可持续生产________年。

解析 第一年的产量a 1＝1×2×33＝2吨，以后第n (n ＝2,3,4，…)年的产量a n ＝f (n )－f (n －1)＝n n ＋1 n ＋2 3－n －1 n n ＋13＝n (n ＋1)，所以a n ＝n (n ＋1)。

由于1a n＝1n n ＋1 ，于是n 年的“可持续指数”之和S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n n ＋1 ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1。

该产品停产即1－1n ＋1≥45，解得n ≥4。

这说明第4年必须停产，该产品可持续生产3年。

答案 310．(2015·温州十校联考)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx 的图像过点(－4n,0)，且f ′(0)＝2n ，n ∈N *，数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1an ，且a 1＝4。

(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n 。

解 (1)f ′(x )＝2ax ＋b ，由题意知b ＝2n,16n 2a －4nb ＝0， ∴a ＝12，b ＝2n ，则f (x )＝12x 2＋2nx ，x ∈N *，数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ，又f ′(x )＝x ＋2n ，∴1a n ＋1＝1a n＋2n ，∴1a n ＋1－1a n＝2n ，由叠加法可得1a n －14＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝n 2－n ，化简可得a n ＝42n －1 2(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝4也符合，∴a n ＝4 2n －12(n ∈N *)。

(2)b n ＝a n a n ＋1＝4 2n －1 2n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1 ＝4n2n ＋1。

11．(2015—2016学年度上学期衡水中学高三年级四调)已知等差数列{a n }的公差为－1，前n 项和为S n ，且a 2＋a 7＋a 12＝－6。

(1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前四项抽取其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前三项，记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使得对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ成立，求实数λ的取值范围。

解 (1)∵{a n }为等差数列，且a 2＋a 7＋a 12＝－6， ∴3a 7＝－6，即a 7＝－2，又∵公差d ＝－1，∴a n ＝a 7＋(n －7)d ＝－2－n ＋7＝5－n ，n ∈N *，S n ＝n a 1＋a n 2＝n 4＋5－n 2＝9n 2－n 22，n ∈N *. (2)由(1)知数列{a n }的前4项为4,3,2,1， ∴等比数列{b n }的前3项为4,2,1，∴b n ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，∴a n b n ＝4(5－n )⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，∴T n ＝44×⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋…＋(6－n )×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋(5－n )×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，①∴12T n ＝44×⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(6－n )×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋(5－n )×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，② ①－②得12T n ＝44－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－4(5－n )×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝16－21－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12－4(5－n )×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝12＋(2n －6)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1。

∴T n ＝24＋(4n －12)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，n ∈N *。

∴T n －T n －1＝4n －122n －1－4 n －1 －122n －2＝20－4n2n －1， ∴T 1<T 2<T 3<T 4＝T 5，且T 5>T 6>…>T n ， ∴n ∈N *时，(T n )max ＝T 4＝T 5＝492。