数列专题
高考真题
(2014·I) 17. (本小题满分12分) 已知数列{}的前项和为，=1，
，
，其中为常数.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列并说明理由.
(2014·II) 17.（本小题满分12分） 已知数列
满足=1，
.
（Ⅰ）证明是等比数列，并求
的通项公式；
（Ⅱ）证明： .
(2015·I)（17）（本小题满分12分）
为数列的前项和.已知，
（Ⅰ）求的通项公式：
（Ⅱ）设 ,求数列
的前项和。
(2015·I I)（4）等比数列
满足
，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( )
（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84
(2015·I I)（16）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________． (2016·I)（3）已知等差数列
前9项的和为27，
，则
（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97
(2016·I)（15）设等比数列满足
的最大值为
__________。
(2016·II)（17）（本题满分12分）
S n 为等差数列的前项和，且=1 ，=28 记
，其中表示不超过的最大整数，
如
.
（I ）求，，
；
（II ）求数列的前1 000项和.
(2016·III)（12）定义“规范01数列”
如下：
共有项，其中项为0，项为1，且对任意，
中0的个数不少于1的个数.若
，则不同的“规范01数列”共有 （A ）18个
（B ）16个
（C ）14个
（D ）12个
(2016·III)（17）（本小题满分12分）
已知数列的前项和
，其中
（I ）证明是等比数列，并求其通项公式；
（II ）若 ，求.
(2017·I)4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
(2017·I)12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。
为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列
1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是0
2，接下来的两项是01
2,2，
再接下来的三项是012
2,2,2，依此类推。
求满足如下条件的最小整数:100N N >且该数列的前N 项和为2的整数幂。
那么该款软件的激活码是
A ．440
B ．330
C ．220
D ．110
(2017·I I)15. 等差数列{}n a 的前项和为n S ，33a =，410S =，则11
n
k k
S ==∑ ． (2017·I II)9．等差数列
的首项为1，公差不为0．若成等比数列，则前6项的和为
A ．-24
B ．-3
C ．3
D ．8 (2017·I II)14．设等比数列满足
，则
________．
(2018·I)4．记为等差数列
的前项和.若
，
，则
A ．
B ．
C ．
D ．
(2018·I)14．记n S 为数列{}n a 的前n 项和.若21n n S a =+，则6S =_____________． (2018·II)17．（12分）
记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值． (2018·III)17．（12分）
等比数列{}n a 中，15314a a a ==，． （1）求{}n a 的通项公式；
（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ． (2019·I)9．记n S 为等差数列
的前项和．已知
，则 A ．
B ．
C ．
D ．
(2019·I) 14．记n S 为等比数列的前项和．若，则=____________．
(2019·II)5．已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且
，则
A ．16
B ．8
C ．4
D ．2
(2019·II)14．记n S 为等差数列的前项和，，则___________.
(2019·III)19．（12分）
已知数列
和满足，，
（1）证明：是等比数列，是等差数列；（2）求{}和{}的通项公式.
数列专题
参考答案
(2014·I) 17.
（Ⅰ）由题设，
两式相减得，
由于，………………………………………6分（Ⅱ），而，解得，
由（Ⅰ）知
令，解得。
故，由此可得
是首项为1，公差为4的等差数列，；
是首项为3，公差为4的等差数列，。
所以，
因此存在，使得为等差数列。
…………………………………12分(2014·II) 17.
（Ⅰ）证明：由得
又，所以是首项为，公比为3的等比数列
，因此的通项公式为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
因为当时，，所以
于是
所以
(2015·I)（17）解：
（Ⅰ）由，可知
可得，即
由于，可得
又，解得（舍去），
所以是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为…………………6分
（Ⅱ）由可知
设数列的前项和为，则
…………………………………………………………………………12分
(2016·II)17.
（Ⅰ）先求公差、通项，再根据已知条件求；（Ⅱ）用分段函数表示，再由等差数列的前项和公式求数列的前1 000项和．
试题解析：（Ⅰ）设的公差为，据已知有，解得
所以的通项公式为
（Ⅱ）因为
所以数列的前项和为
考点：等差数列的的性质，前项和公式，对数的运算.
(2016·III)（17） 解：（Ⅰ）由题意得，故，
，.
由
，得
，即
.由
，
得
，所以
.
因此
是首项为
，公比为
的等比数列，于是．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由
得
，即=-5)1
(
λλ
，
解得．
(2018·II)17．
（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-． 由17a =-得d =2．
所以{}n a 的通项公式为29n a n =-．
（2）由（1）得22
8(4)16n S n n n =-=--．
所以当n =4时，n S 取得最小值，最小值为−16． (2018·III)17.
解：（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=.
由已知得42
4q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =.
故1(2)n n a -=-或12n n a -=.
（2）若1
(2)
n n a -=-，则1(2)3
n n S --=.由63m S =得(2)188m
-=-，此方程没有正整数解.
若12n n a -=，则21n n S =-.由63m S =得264m
=，解得6m =.
综上，6m =. (2019·III)19. 解：（1）由题设得
，即．
又因为a1+b1=l，所以是首项为1，公比为的等比数列．
由题设得，即．又因为a1–b1=l，所以是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）由（1）知，，．
所以，
．。