广东省汕尾市陆丰市中考数学模拟试卷（6）一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．计算2×（﹣1）的结果是（）A．﹣ B．﹣2 C．1 D．22．若∠α的余角是30°，则cosα的值是（）A．B．C．D．3．下列运算正确的是（）A．2a﹣a=1 B．a+a=2a2C．a•a=a2D．（﹣a）2=﹣a24．下列图形是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．如图，在平行四边形ABCD中，∠B=80°，AE平分∠BAD交BC于点E，CF∥AE交AD于点F，则∠1=（）A．40° B．50° C．60° D．80°6．已知二次函数y=ax2的图象开口向上，则直线y=ax﹣1经过的象限是（）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限7．如图，你能看出这个倒立的水杯的俯视图是（）A．B．C．D．8．如图，是我市5月份某一周的最高气温统计图，则这组数据（最高气温）的众数与中位数分别是（）A．28℃，29℃B．28℃，29.5℃ C．28℃，30℃D．29℃，29℃9．已知拋物线y=﹣x2+2，当1≤x≤5时，y的最大值是（）A．2 B．C．D．10．小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（）A．2 B．C．2 D．311．如图，是反比例函数y=和y=（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A，B两点，若S△AOB=2，则k2﹣k1的值是（）A．1 B．2 C．4 D．812．一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的，…按照这种倒水的方法，倒了10次后容器内剩余的水量是（）A．升B．升 C．升D．升二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.把答案填在答题卡中的横线上）13．﹣2011的相反数是．14．近似数0.618有个有效数字．15．分解因式：9a﹣a3= ．16．如图，是某校三个年级学生人数分布扇形统计图，则九年级学生人数所占扇形的圆心角的度数为．17．如图，等边△ABC绕点B逆时针旋转30°时，点C转到C′的位置，且BC′与AC交于点D，则的值为．18．如图，AB是半圆O的直径，以0A为直径的半圆O′与弦AC交于点D，O′E∥AC，并交OC于点E．则下列四个结论：①点D为AC的中点；②S△O′OE=S△AOC；③；④四边形O′DEO是菱形．其中正确的结论是．（把所有正确的结论的序号都填上）三、解答题（本大题共8小题，满分共66分，解答过程写在答题卡上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.19．计算：（）﹣1﹣（5﹣π）0﹣|﹣3|+．20．已知：x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1的两个实数根．求：（x1+x2）2÷（）的值．21．假日，小强在广场放风筝．如图，小强为了计算风筝离地面的高度，他测得风筝的仰角为60°，已知风筝线BC的长为10米，小强的身高AB为1.55米，请你帮小强画出测量示意图，并计算出风筝离地面的高度．（结果精确到1米，参考数据≈1.41，≈1.73 ）22．如图，△OAB的底边经过⊙O上的点C，且OA=OB，CA=CB，⊙O与OA、OB分别交于D、E两点．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若D为OA的中点，阴影部分的面积为﹣，求⊙O的半径r．23．一个不透明的纸盒中装有大小相同的黑、白两种颜色的围棋，其中白色棋子3个（分别用白A、白B、白C表示），若从中任意摸出一个棋子，是白色棋子的概率为．（1）求纸盒中黑色棋子的个数；（2）第一次任意摸出一个棋子（不放回），第二次再摸出一个棋子，请用树状图或列表的方法，求两次摸到相同颜色棋子的概率．24．上个月某超市购进了两批相同品种的水果，第一批用了2000元，第二批用了5500元，第二批购进水果的重量是第一批的2.5倍，且进价比第一批每千克多1元．（1）求两批水果共购进了多少千克？（2）在这两批水果总重量正常损耗10%，其余全部售完的情况下，如果这两批水果的售价相同，且总利润率不低于26%，那么售价至少定为每千克多少元？（利润率=）25．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．（1）求证：EB=GD；（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；（3）若AB=2，AG=，求EB的长．26．已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A、B的坐标；（2）过点D作DH丄y轴于点H，若DH=HC，求a的值和直线CD的解析式；（3）在第（2）小题的条件下，直线CD与x轴交于点E，过线段OB的中点N作NF丄x轴，并交直线CD于点F，则直线NF上是否存在点M，使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．广东省汕尾市陆丰市中考数学模拟试卷（6）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．计算2×（﹣1）的结果是（）A．﹣ B．﹣2 C．1 D．2【考点】有理数的乘法．【专题】计算题．【分析】根据有理数乘法的法则进行计算即可．【解答】解：原式=﹣（1×2）=﹣2．故选B．【点评】本题考查的是有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．2．若∠α的余角是30°，则cosα的值是（）A．B．C．D．【考点】特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】先根据题意求得α的值，再求它的余弦值．【解答】解：∠α=90°﹣30°=60°，cosα=cos60°=．故选A．【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．【相关链接】特殊角三角函数值：sin30°=，cos30°=，tan30°=，cot30°=；sin45°=，cos45°=，tan45°=1，cot45°=1；sin60°=，cos60°=，tan60°=，cot60°=．互余角的性质：两角互余其和等于90度．3．下列运算正确的是（）A．2a﹣a=1 B．a+a=2a2C．a•a=a2D．（﹣a）2=﹣a2【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．【专题】计算题．【分析】利用合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方法则进行计算．【解答】解：A、2a﹣a=a，此选项错误；B、a+a=2a，此选项错误；C、a•a=a2，此选项正确；D、（﹣a）2=a2，此选项错误．故选C．【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．4．下列图形是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】中心对称图形；轴对称图形．【专题】几何图形问题．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【解答】解：第①个图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；第②个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；第③个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；第④个图形是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．所以既是轴对称图形，又是中心对称图形的有③④两个．故选C．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5．如图，在平行四边形ABCD中，∠B=80°，AE平分∠BAD交BC于点E，CF∥AE交AD于点F，则∠1=（）A．40° B．50° C．60° D．80°【考点】平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的对边平行和角平分线的定义，以及平行线的性质求∠1的度数即可．【解答】解：∵AD∥BC，∠B=80°，∴∠BAD=180°﹣∠B=100°．∵AE平分∠BAD∴∠DAE=∠BAD=50°．∴∠AEB=∠DAE=50°∵CF∥AE∴∠1=∠AEB=50°．故选B．【点评】此题主要考查平行四边形的性质和角平分线的定义，属于基础题型．6．已知二次函数y=ax2的图象开口向上，则直线y=ax﹣1经过的象限是（）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限【考点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象与系数的关系．【专题】函数思想．【分析】二次函数图象的开口向上时，二次项系数a＞0；一次函数y=kx+b（k≠0）的一次项系数k＞0、b ＜0时，函数图象经过第一、三、四象限．【解答】解：∵二次函数y=ax2的图象开口向上，∴a＞0；又∵直线y=ax﹣1与y轴交于负半轴上的﹣1，∴y=ax﹣1经过的象限是第一、三、四象限．故选D．【点评】本题主要考查了二次函数、一次函数图象与系数的关系．二次函数图象的开口方向决定了二次项系数a的符号．7．如图，你能看出这个倒立的水杯的俯视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【专题】几何图形问题．【分析】找到倒立的水杯从上面看所得到的图形即可．【解答】解：从上面看应是一个圆环，都是实心线．故选B．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．8．如图，是我市5月份某一周的最高气温统计图，则这组数据（最高气温）的众数与中位数分别是（）A．28℃，29℃B．28℃，29.5℃ C．28℃，30℃D．29℃，29℃【考点】众数；中位数．【分析】根据中位数和众数的定义解答．【解答】解：从小到大排列为：28，28，28，29，29，30，31，28出现了3次，故众数为28，第4个数为29，故中位数为29．故选A．【点评】本题考查了中位数和众数的概念．解题的关键是正确识图，并从统计图中整理出进一步解题的信息．9．已知拋物线y=﹣x2+2，当1≤x≤5时，y的最大值是（）A．2 B．C．D．【考点】二次函数的最值．【专题】函数思想．【分析】根据抛物线的解析式推断出函数的开口方向、对称轴、与y轴的交点，从而推知该函数的单调区间与单调性．【解答】解：∵拋物线y=﹣x2+2的二次项系数a=﹣＜0，∴该抛物线图象的开口向下；又∵常数项c=2，∴该抛物线图象与y轴交于点（0，2）；而对称轴就是y轴，∴当1≤x≤5时，拋物线y=﹣x2+2是减函数，∴当1≤x≤5时，y最大值=﹣+2=．故选C．【点评】本题主要考查了二次函数的最值．解答此题的关键是根据抛物线方程推知抛物线图象的增减性．10．小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（）A．2 B．C．2 D．3【考点】垂径定理的应用；勾股定理．【专题】网格型．【分析】在网格中找点A、B、D（如图），作AB，BD的中垂线，交点O就是圆心，故OA即为此圆的半径，根据勾股定理求出OA的长即可．【解答】解：如图所示，作AB，BD的中垂线，交点O就是圆心．连接OA、OB，∵OC⊥AB，OA=OB∴O即为此圆形镜子的圆心，∵AC=1，OC=2，∴OA===．故选B．【点评】本题考查的是垂径定理在实际生活中的运用，根据题意构造出直角三角形是解答此题的关键．11．如图，是反比例函数y=和y=（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A，B两点，若S△AOB=2，则k2﹣k1的值是（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】反比例函数系数k的几何意义．【专题】计算题．【分析】根据反比例函数k的几何意义得到S△BOC=k1，S△AOC=k2，则S△AOB=k2﹣k1=2，然后计算k2﹣k1的值．【解答】解：延长AB交y轴于C，如图，∵直线AB∥x轴，∵S△BOC=k1，S△AOC=k2，∴S△AOC﹣S△BOC=k2﹣k1，∴S△AOB=k2﹣k1=2，∴k2﹣k1=4．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．12．一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的，…按照这种倒水的方法，倒了10次后容器内剩余的水量是（）A．升B．升 C．升D．升【考点】规律型：数字的变化类．【专题】压轴题；规律型．【分析】根据题目中第1次倒出升水，第2次倒出水量是升的，第3次倒出水量是升的，第4次倒出水量是升的…第10次倒出水量是升的…，可知按照这种倒水的方法，这1升水经10次后还有1﹣﹣×﹣×﹣×…×升水．【解答】解：∵1﹣﹣×﹣×﹣×…﹣×=1﹣﹣+﹣+﹣+…﹣+=．故按此按照这种倒水的方法，这1升水经10次后还有升水．故选D．【点评】考查了规律型：数字的变化，此题属于规律性题目，解答此题的关键是根据题目中的已知条件找出规律，按照此规律再进行计算即可．注意=﹣．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.把答案填在答题卡中的横线上）13．﹣2011的相反数是2011 ．【考点】相反数．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，改变符号即可．【解答】解：∵﹣2011的符号是负号，∴﹣2011的相反数是2011．故答案为：2011．【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，比较简单．14．近似数0.618有 3 个有效数字．【考点】近似数和有效数字．【专题】常规题型．【分析】根据有效数字的定义，从左起，第一个不为0的数字算起，到右边精确到的那一位为止．【解答】解：0.618的有效数字为6，1，8，共3个．故答案为：3．【点评】本题考查了近似数和有效数字，是基础知识比较简单，有效数字的计算方法以及是需要识记的内容，经常会出错．15．分解因式：9a﹣a3= a（3+a）（3﹣a）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：9a﹣a3，=a （9﹣a2），=a（3+a）（3﹣a）．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．16．如图，是某校三个年级学生人数分布扇形统计图，则九年级学生人数所占扇形的圆心角的度数为144°．【考点】扇形统计图．【专题】计算题．【分析】先根据图求出九年级学生人数所占扇形统计图的百分比为40%，又知整个扇形统计图的圆心角为360度，再由360乘以40%即可得到答案．【解答】解：由图可知九年级学生人数所占扇形统计图的百分比为：1﹣35%﹣25%=40%，∴九年级学生人数所占扇形的圆心角的度数为360×40%=144°，故答案为144°．【点评】本题考查了扇形统计图的知识，从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系，读懂图是解题的关键．17．如图，等边△ABC绕点B逆时针旋转30°时，点C转到C′的位置，且BC′与AC交于点D，则的值为2﹣．【考点】旋转的性质；等边三角形的性质；解直角三角形．【专题】压轴题．【分析】等边△ABC绕点B逆时针旋转30°时，则△BCD是直角三角形，根据三角函数即可求解．【解答】解：设等边△ABC的边长是a，图形旋转30°，则△BCD是直角三角形．BD=BC•cos30°=a，则C′D=a﹣a=a，CD= a∴==2﹣故答案是：2﹣．【点评】本题主要考查了图形旋转的性质，以及直角三角形的性质，正确确定△BCD是直角三角形是解题的关键．18．如图，AB是半圆O的直径，以0A为直径的半圆O′与弦AC交于点D，O′E∥AC，并交OC于点E．则下列四个结论：①点D为AC的中点；②S△O′OE=S△AOC；③；④四边形O′DEO是菱形．其中正确的结论是①③④．（把所有正确的结论的序号都填上）【考点】圆周角定理；平行线的性质；菱形的判定；圆心角、弧、弦的关系．【专题】压轴题．【分析】①连接DO，利用园中角定理以及垂径定理求出即可；②利用相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方求出即可；③利用弧长计算公式求出即可；④根据菱形的判定得出即可．【解答】解：①连接DO，∵AO是半圆直径，∴∠ADO=90°，∵OD⊥AC，∴AD=DC，∴①正确．②∵O′E∥AC，∴△EO′O∽△AOC，∴=，∴S△O′OE=S△AOC，∴②错误．③∵OD⊥AC，AD=DC，∴∠AOD=∠DOC，∴∠AO′D=∠AOC，AO=2AO′，∴；∴③正确；④∵D为AC中点，O′为AO中点，∴DO′是△AOC中位线，∴DO′∥CO，∵O′E∥AC，∴O′为AO中点，∵D为AC中点，∴DE∥AO，∴四边形DO′OE是平行四边形，∵DO′=O′O，∴四边形O′DEO是菱形．∴④正确．综上所述，只有①③④正确．故答案为：①③④．【点评】此题主要考查相似三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点的灵活运用，此题步骤繁琐，但相对而言，难易程度适中，很适合学生的训练是一道典型的题目．三、解答题（本大题共8小题，满分共66分，解答过程写在答题卡上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.19．计算：（）﹣1﹣（5﹣π）0﹣|﹣3|+．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．【专题】计算题．【分析】分别根据负整数指数幂、0指数幂、绝对值的性质及二次根式的化简计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【解答】解：原式=2﹣1﹣3+2，=0．故答案为：0．【点评】本题考查的是实数的运算，熟知负整数指数幂、0指数幂、绝对值的性质及二次根式的化简是解答此题的关键．20．（2011•防城港）已知：x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1的两个实数根．求：（x1+x2）2÷（）的值．【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系确定出x1与x2的两根之积与两根之和的值，再根据=即可解答．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根是x1、x2，∴x1+x2=4，x1•x2=1，∴（x1+x2）2÷（）=42÷=42÷4=4．【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，是一道基础题型．21．假日，小强在广场放风筝．如图，小强为了计算风筝离地面的高度，他测得风筝的仰角为60°，已知风筝线BC的长为10米，小强的身高AB为1.55米，请你帮小强画出测量示意图，并计算出风筝离地面的高度．（结果精确到1米，参考数据≈1.41，≈1.73 ）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】根据题意画出图形，根据sin60°=可求出CE的长，再根据CD=CE+ED即可得出答案．【解答】解：在Rt△CEB中，sin60°=，∴CE=BC•sin60°=10×≈8.65m，∴CD=CE+ED=8.65+1.55=10.2≈10m，答：风筝离地面的高度为10m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．22．如图，△OAB的底边经过⊙O上的点C，且OA=OB，CA=CB，⊙O与OA、OB分别交于D、E两点．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若D为OA的中点，阴影部分的面积为﹣，求⊙O的半径r．【考点】切线的判定与性质；勾股定理；扇形面积的计算．【专题】计算题．【分析】（1）连OC，由OA=OB，CA=CB，根据等腰三角形的性质得到OC⊥AB，再根据切线的判定定理得到结论；（2）由D为OA的中点，OD=OC=r，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠A=30°，∠AOC=60°，AC=r，则∠AOB=120°，AB=2r，利用S阴影部分=S△OAB﹣S扇形ODE，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式得到关于r的方程，解方程即可．【解答】（1）证明：连OC，如图，∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB，∴AB是⊙O的切线；（2）解：∵D为OA的中点，OD=OC=r，∴OA=2OC=2r，∴∠A=30°，∠AOC=60°，AC=r，∴∠AOB=120°，AB=2r，∴S阴影部分=S△OAB﹣S扇形ODE=•OC•AB﹣=﹣，∴•r•2r﹣r2=﹣，∴r=1，即⊙O的半径r为1．【点评】本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了含30度的直角三角形三边的关系以及扇形的面积公式．23．一个不透明的纸盒中装有大小相同的黑、白两种颜色的围棋，其中白色棋子3个（分别用白A、白B、白C表示），若从中任意摸出一个棋子，是白色棋子的概率为．（1）求纸盒中黑色棋子的个数；（2）第一次任意摸出一个棋子（不放回），第二次再摸出一个棋子，请用树状图或列表的方法，求两次摸到相同颜色棋子的概率．【考点】列表法与树状图法．【专题】数形结合．【分析】（1）白色棋子除以相应概率算出棋子的总数，减去白色棋子的个数即为黑色棋子的个数；（2）列举出所有情况，看两次摸到相同颜色棋子的情况数占总情况数的多少即可．【解答】解：（1）3÷﹣3=1．答：黑色棋子有1个；（2）共12种情况，有6种情况两次摸到相同颜色棋子，所以概率为．【点评】考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到两次摸到相同颜色棋子数是解决本题的关键．24．上个月某超市购进了两批相同品种的水果，第一批用了2000元，第二批用了5500元，第二批购进水果的重量是第一批的2.5倍，且进价比第一批每千克多1元．（1）求两批水果共购进了多少千克？（2）在这两批水果总重量正常损耗10%，其余全部售完的情况下，如果这两批水果的售价相同，且总利润率不低于26%，那么售价至少定为每千克多少元？（利润率=）【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．【分析】（1）设第一批购进水果x千克，则第二批购进水果2.5x千克，依据题意列式计算而得到结果，并检验是原方程的解，而求得．（2）设售价为每千克a元，求得关系式，又由630a≥7500×1.26，而解得．【解答】解：（1）设第一批购进水果x千克，则第二批购进水果2.5x千克，依据题意得：，解得x=200，经检验x=200是原方程的解，∴x+2.5x=700，答：这两批水果共购进700千克；（2）设售价为每千克a元，则：，630a≥7500×1.26，∴，∴a≥15，答：售价至少为每千克15元．【点评】本题考查了分式方程的应用，由已知条件列方程，并根据自变量的变化范围来求值．25．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．（1）求证：EB=GD；（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；（3）若AB=2，AG=，求EB的长．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD，得到∠GAD=∠EAB从而△GAD ≌△EAB，即EB=GD；（2）EB⊥GD，由（1）得∠ADG=∠ABE则在△BDH中，∠DHB=90°所以EB⊥GD；（3）设BD与AC交于点O，由AB=AD=2在Rt△ABD中求得DB，所以得到结果．【解答】（1）证明：在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD∴∠GAD=∠EAB，∵四边形EFGA和四边形ABCD是正方形，∴AG=AE，AB=AD，在△GAD和△EAB中，∴△GAD≌△EAB（SAS），∴EB=GD；（2）解：EB⊥GD．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=90°，∴∠AMB+∠ABM=90°，又∵△AEB≌△AGD，∴∠GDA=∠EBA，∵∠HMD=∠AMB（对顶角相等），∴∠HDM+∠DMH=∠AMB+∠ABM=90°，∴∠DHM=180°﹣（∠HDM+∠DMH）=180°﹣90°=90°，∴EB⊥GD．（3）解：连接AC、BD，BD与AC交于点O，∵AB=AD=2，在Rt△ABD中，DB=，在Rt△AOB中，OA=OB，AB=2，由勾股定理得：2AO2=22，OA=，即OG=OA+AG=+=2，∴EB=GD=．【点评】本题考查了正方形的性质，考查了利用其性质证得三角形全等，并利用证得的条件求得边长．26．已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A、B的坐标；（2）过点D作DH丄y轴于点H，若DH=HC，求a的值和直线CD的解析式；（3）在第（2）小题的条件下，直线CD与x轴交于点E，过线段OB的中点N作NF丄x轴，并交直线CD于点F，则直线NF上是否存在点M，使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）令y=0求得x的值，从而得出点A、B的坐标；（2）令x=0，则y=﹣3a，求得点C、D的坐标，设直线CD的解析式为y=kx+b，把C、D两点的坐标代入，求出直线CD的解析式；（3）设存在，作MQ⊥CD于Q，由Rt△FQM∽Rt△FNE，得=，及可得出关于m的一元二次方程，求出方程的解，即可得出点M的坐标．【解答】解：（1）由y=0得，ax2﹣2ax﹣3a=0，∵a≠0，∴x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，∴点A的坐标（﹣1，0），点B的坐标（3，0）；（2）由y=ax2﹣2ax﹣3a，令x=0，得y=﹣3a，∴C（0，﹣3a），又∵y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣1）2﹣4a，得D（1，﹣4a），∴DH=1，CH=﹣4a﹣（﹣3a）=﹣a，∴﹣a=1，∴a=﹣1，∴C（0，3），D（1，4），设直线CD的解析式为y=kx+b，把C、D两点的坐标代入得，，解得，∴直线CD的解析式为y=x+3；（3）存在．由（2）得，E（﹣3，0），∵点B的坐标（3，0），N是线段OB的中点，∴N（，0）∴F（，），EN=，作MQ⊥CD于Q，设存在满足条件的点M（，m），则FM=﹣m，EF==，MQ=OM=由题意得：Rt△FQM∽Rt△FNE，∴=，即=，∴2（+m2）=（﹣m）2，整理得4m2+36m﹣63=0，∴m2+9m=，m2+9m+=+（m+）2=m+=±∴m1=，m2=﹣，∴点M的坐标为M1（，），M2（，﹣）．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有一元二次方程的解法．在求有关存在不存在问题时要注意先假设存在，再讨论结果．。