章末综合测评(五) 三角函数(满分：150分 时间：120分钟))一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于( ) A.62 B ．32 C.54D ．1＋34C [∵cos 75°＝sin 15°，∴原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin 15°cos 15° ＝1＋12sin 30°＝1＋12×12＝54.]2．化简cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α得( )A ．sin 2αB ．－sin 2αC ．cos 2αD ．－cos 2α A [原式＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin 2α.]3．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝45，且β在第三象限，则cos β2的值等于( )A ．±55B ．±255C ．－55D ．－255 A [由已知，得sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝45，得sin β＝－45.∵β在第三象限， ∴cos β＝－35， ∴cos β2＝±1＋cos β2＝±15＝±55.]4．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象(部分)如图所示，则ω和φ的取值是( )A ．ω＝1，φ＝π3 B ．ω＝1，φ＝－π3 C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝－π6C [由图象知，T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π3＝4π＝2πω，∴ω＝12.又当x ＝2π3时，y ＝1， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2π3＋φ＝1，π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝0时，φ＝π6.]5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝45，－π2＜α＜0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α等于( )A ．－435 B ．－335 C.335D ．435A [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝32sin α＋32cos α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3－π2＝－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝－3×45＝－435.]6．已知tan α和tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，则a ，b ，c 的关系是( )A ．b ＝a ＋cB ．2b ＝a ＋cC ．c ＝a ＋bD ．c ＝abC [由根与系数的关系得： tan α＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－b a ，tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝ca ，tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝tan α＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α1－tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－ba1－c a＝1， 得c ＝a ＋b .]7．函数f (x )＝A sin ωx (ω＞0)，对任意x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－a ，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫94等于( )A ．aB ．2aC ．3aD ．4aA [由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，得f (x ＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12＋12 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－12＝f (x )， 即1是f (x )的周期．而f (x )为奇函数， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫94＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝a .]8．甲、乙两人从直径为2r 的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿水池做匀速圆周运动，已知甲的速度是乙的速度的两倍，乙绕水池一周停止运动，若用θ表示乙在某时刻旋转角的弧度数，l 表示甲、乙两人的直线距离，则l ＝f (θ)的大致图象是( )B [由题意知θ＝π时，两人相遇排除A ，C ，两人的直线距离大于等于零，排除D ，故选B.]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3，那么下列式子恒成立的是( )A ．f (x ＋2π)＝f (x －2π)B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π3－x ＝f (x )C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－x ＝f (x )D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－x ＝－f (x )AB [∵函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3，∴f (x ＋2π)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2π3，f (x －2π)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－4π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2π3，故A 成立．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π3－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－x 2－π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3，故B 成立．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－x 2－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－x 2≠f (x )，故C 不成立．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－x 2－π3＝cos x 2≠f (x )，故D 不成立．故选AB.] 10．已知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π12，x ∈R ，又f (x 1)＝2，f (x 2)＝0，且|x 1－x 2|的最小值是53π，则ω的值为( )A ．－310 B.53 C.310D ．－53AC [由题可得T 4＝5π3，故2π4|ω|＝5π3，所以ω＝±310. 故选AC.]11．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，对于任意的a ∈[0,1)，方程f (x )－a ＝1(0≤x ≤m )仅有一个实数根，则m 的一个取值可以为( )A.π8 B.π2 C.5π8D ．3π4AB [函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，对于任意的a ∈[0,1)，方程f (x )－a ＝1(0≤x ≤m )仅有一个实数根，等价于函数y ＝f (x )－1与函数y ＝a 的图象的交点个数为1，由函数y ＝f (x )－1的最小正周期为π，与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，0k ∈Z ，可知，当a ∈[0,1)时，π8≤m ＜5π8，m 的一个取值可以为π8或π2； 故选AB.]12．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，且f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0对称，则下列判断正确的是( )A ．要得到函数f (x )的图象只需将y ＝2cos 2x 的图象向右平移π6个单位B ．函数f (x )的图象关于直线x ＝512π对称 C ．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6时，函数f (x )的最小值为－22D ．函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上单调递增AC [函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)中，A ＝2，T 2＝π2， ∴T ＝π，ω＝2πT ＝2，又f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0对称，∴ωx ＋φ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝k π，解得φ＝k π＋π6，k ∈Z ，∴φ＝π6， ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6；对于A ，y ＝2cos 2x 向右平移π6个单位，得y ＝2·cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，且y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴A 正确；对于B ，x ＝5π12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋π6＝0，f (x )的图象不关于x ＝5π12对称，B 错误；对于C ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，f (x )的最小值为－22，C 正确； 对于D ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6，f (x )是单调递减函数，D 错误．故选AC.]三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．已知tan α＝－3，π2＜α＜π，那么cos α－sin α的值是 ． －1＋32 [因为tan α＝－3，π2＜α＜π，所以α＝2π3，所以cos α＝－12，sin α＝32， cos α－sin α＝－1＋32.]14．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上一点，且cos α＝x5，则tan 2α＝ .247 [因为α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，所以x ＜0， 因为cos α＝x5＝x x 2＋16，所以x ＝－3，所以tan α＝y x ＝－43， 所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247.] 15．已知sin α＋cos α＝23，α∈(0，π)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝ ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12 .(本题第一空2分，第二空3分)． －223 22＋36 [∵sin α＋cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝23， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，∵α∈(0，π)，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4，又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－223.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π6＝13×32－⎝⎛⎭⎪⎫－223×12＝22＋36.]16．关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，有下列说法：①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数； ③y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，13π24上单调递减；④将函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确说法的序号是 ．(把你认为正确的说法的序号都填上) ①②③ [∵f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12，∴f (x )max ＝2，即①正确． T ＝2π|ω|＝2π2＝π，即②正确．f (x )的递减区间为2k π≤2x －π12≤2k π＋π(k ∈Z )， 即k π＋π24≤x ≤k π＋13π24(k ∈Z )， k ＝0时，π24≤x ≤13π24，即③正确． 将函数y ＝2cos 2x 向左平移π24个单位得 y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π24≠f (x )，所以④不正确．]四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知cos(π＋α)＝－12，且角α在第四象限，计算： (1)sin(2π－α)； (2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin (π＋α)sin (π－α)·cos (α＋2n π)(n ∈Z )．[解] 因为cos(π＋α)＝－12， 所以－cos α＝－12，cos α＝12. 又角α在第四象限， 所以sin α＝－1－cos 2α＝－32.(1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)] ＝sin(－α)＝－sin α＝32. (2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin (π＋α)sin (π－α)·cos (α＋2n π)＝sin (α＋2n π＋π)－sin αsin αcos α＝sin (π＋α)－sin αsin αcos α ＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.18．(本小题满分12分)已知α，β为锐角，sin α＝17，cos(α＋β)＝35. (1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6的值； (2)求cos β的值．[解] (1)∵α为锐角，sin α＝17，∴cos α＝1－sin 2α＝437，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝sin αcos π6＋cos αsin π6＝17×32＋437×12＝5314.(2)∵α，β为锐角，∴α＋β∈(0，π)， 由cos(α＋β)＝35得，sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝45，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝35×437＋45×17＝4＋12335.19．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？ [解] (1)T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，知k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．所以所求函数的最小正周期为π，所求的函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)变换情况如下：20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．[解] (1)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4， 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )． (2)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π8上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上为减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π4＝－2cos π4＝－1，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最大值为2，此时x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2. 21．(本小题满分12分)已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，且满足sin 2(A ＋C )＝3sin B cos B ，cos(C －A )＝－2cos 2A .(1)试判断△ABC 的形状；(2)已知函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈R )，求f (A ＋45°)的值．[解] (1)∵sin 2(A ＋C )＝3sin B cos B ，∴sin 2B ＝3sin B cos B ，∵sin B ≠0，∴sin B ＝3cos B ，∴tan B ＝3，∵0°＜B ＜180°，∴B ＝60°，又cos(C －A )＝－2cos 2A ，得cos(120°－2A )＝－2cos 2A ，化简得sin 2A ＝－3cos 2A ，解得tan 2A ＝－3，又0°＜A ＜120°，∴0°＜2A ＜240°，∴2A ＝120°，∴A ＝60°，∴C ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．(2)∵f (x )＝sin x －3cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x ＝2(sin x cos 60°－cos x sin 60°)＝2sin(x －60°)，∴f (A ＋45°)＝2sin 45°＝ 2.22．(本小题满分12分)如图，矩形ABCD 的长AD ＝23，宽AB ＝1，A ，D 两点分别在x ，y 轴的正半轴上移动，B ，C 两点在第一象限，求OB 2的最大值．[解] 过点B 作BH ⊥OA ，垂足为H .设∠OAD ＝θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2，则∠BAH ＝π2－θ， OA ＝23cos θ，BH ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝cos θ， AH ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ， ∴B (23cos θ＋sin θ，cos θ)，OB 2＝(23cos θ＋sin θ)2＋cos 2θ＝7＋6cos 2θ＋23sin 2θ＝7＋43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3. 由0＜θ＜π2，知π3＜2θ＋π3＜4π3， 所以当θ＝π12时，OB 2取得最大值7＋4 3.。