分量为 v，而在 Ox 轴上的分量为 u；而在 t+ t 时，坐标系中的质心速度的方
向和大小都会发生变化。可以得到沿 Ox 轴的速度分量的变化如下：
u ucos u v vsin u cos u cos u v sin v sin
kg m－2
k1
N/rad
k2
N/rad
数值 1500 1.185 1.283 2280 －60533 －70052
车速
u
m/s
80
k1 -60533
-70052 k2
1.185 a
1.283 b
k1*delta B
k1+K2 a*k1
(k1+k2)*B
(a*k1-b*k2)*w/u+ (k1+k2)*B-k1*delta
FY

FY1 cos
F Y2
M z aFY1 cos bFY 2
上式中，δ 为前轮转角;FY1、FY2 分别为地面对前、后轮的侧偏力。 因为 δ 比较小，上式可简化为
FY k11 k2 2
M z ak11 bk2 2
上式中，α1 、α2 分别为前、后轮的侧偏角。
因为 很小，所有上式可简化为
u v 除以 t 并取极限，可以得到汽车绝对加速度在坐标系的 ox 轴上的分量。同
理可得，汽车绝对加速度在坐标系 Oy 轴上的分量为
ax du / dt vd / dt du / dt vr ay du / dt ur
二自由度的汽车所受的外力沿 Oy 方向的合力以及绕质心的力矩和为
输出量 （横摆角速度 w，侧向速度 v）
把汽车运动微分方程整理成 dv 和 dωr 的表达式，根据等式关系绘制 模型图，注意输入放在左侧,输出放
在右侧。
（2）打开空白的模型窗口,并将 Simulink 的 Simulink Library Browser
打开。
（3）依据理论以及数学模型，在 Simulink Library Browser 中选取所需
转角; ωr 为横摆角速度。
3.动态系统 simulink 模型的建立方法
（1）先将描写该系统的动力学微分方程根据输入和输出变量整理成所需形 式。
输入量 （k1,k2,a,b,d elta,u,m,Iz ）
[(k1 k2 ) (1/ u)(ak1 bk2 )r k1 ](1/ m) ur dv / dt [(ak1 bk2 ) (1/ u)(a 2k1 b2k2 )wr ak1 ](1/ I z ) dr / dt
b*b
u*u
subtract2
(a*a*k1+b*b*k2)*w/u
(a*a*k1+b*b*k2)*w/u +(a*k1-b*k2)*B
2280 Iz
a*a*k1+b*b*k2
Divide3
b*b*k2
图 3 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
4.实验结果与分析
将参数代入并运行成功以后，示波器所显示的横摆角速度和侧向速度 响应曲线如下图 4 所示。
运动的二自由度汽车模型。
图 1 二自由度汽车摸型
图 2 利用固结于汽车的车辆坐标系分析汽车的运动
假设汽车的质心同车辆坐标系的原点相重合。 对于这样一个固结于汽车的动坐标系来说，汽车的转动惯量、质量分布参 数等都是常数，这使得采用车辆坐标系很方便。只要把车辆的外力和外力矩以 及车辆的绝对速度和绝对角加速度沿着坐标系的轴线进行分解，就可以得到运 动微分方程。 ax、ay 分别是车辆坐标系的纵轴和横轴，在 t 时刻，质心速度在 Oy 轴上的




k2


br u

Mz

ak1



ar u



bk2


br u

得到二自由度汽车的运动微分方程为
(k1 k2 ) (1/ u)(ak1 bk2 )r k1 m(dv / dt ur ) (ak1 bk2 ) (1/ u)(a 2k1 b2k2 )wr ak1 I z dr / dt 式中，m 为整车质量; k1、k2 分别为前、后车轮的侧偏刚度;a、b 分别为前、 后轴到质心的距离; v 为侧向速度; u 为横向速度;质心侧偏角为 β; δ 为前轮
[(a*k1-b*k2)*w/u+ (k1+k2)*B-k1*delta]/m
1500
m
u*w
a*k1-b*k2 b*k2
(a*k1-b*k2)*w/u (a*k1-b*k2)*B
Add1
1
dv
sv
integrator
dw 1
w
s
Integrator1
delta
80 u
a*k1*d
u*u
a*a
a*a*k1
Scope1
图 4 横摆角速度响应曲线
从响应曲线可以看出，当前轮给定一个阶跃信号后，汽车的横摆角速度首 先会迅速增长，然后迅速衰减，之后经过u 为 60m/s，得到响应曲线如图 5 所示。
图 5 横摆角速度响应曲线 2
当汽车沿 x 轴的前进速度由 80m/s 改为 60m/s 时，从响应曲线可以看出， 振荡的幅度有所减小，但都趋于平稳。
要的模块，将它复制到空白的模型窗口当中。本实验中主要用到的模型有：常
量 constant、积分 integrator、乘除 divide、加减 subtract、阶跃信号 step
和示波器显示 scope。
（4）根据理论以及数学模型，将各模块之间进行连线，从而使它成为一个
系统。
（5）对各个模块的参数进行设定。根据表 1 中给定的相关参数设置前、后
v/u
v ar ar
u
u
上式中， 为质心侧偏角； 为 u1 与 x 轴的夹角。
由此可得，前后轮侧偏角为
1





ar u

2

v br u

br u
而外力外力矩和汽车运动参数的关系式如下
FY

k1


awr u
基于 simulink 的线性二自
由度汽车模型稳态响应
1.项目背景
进行控制器的设计以及验证控制器是否正确的必要前提在于建立一个正确 且可靠的整车数学模型。如果能够建立同实际车辆更加接近的整车虚拟样机模 型就能更好的反映车辆响应特性以及控制效果。因此本实验将会在一定的假设 条件之下,基于汽车理论以及牛顿力学在 MATLAB/Simulink 的环境下将整车动力 学数学模型建立出来，在此基础上求前轮角输入下的响应曲线。
车轮的侧偏刚度、前、后轴至质心距离、车速、整车质量、汽车绕 z 轴转动惯
量 lz 以及仿真时间。输入为前轮转角 δ，δ 为阶跃信号，输出为横摆角速度 ωr。
参数名称 整车质量 质心到前轴距离 质心到后轴距离 绕 z 轴的转动惯量 前轮侧偏刚度 后轮侧偏刚度
表 1 汽车参数列表
符号
量纲
M
kg
a
m
b
m
Iz
2.二自由度车辆模型
如果要准确的对车辆的动力学状态进行描述，则需要知道车辆的上百个参 数，譬如轮胎半径、前后轮的侧偏刚度等，但这当中有许多的参数是不变的， 而有些却在车辆的行驶过程中会不断地发生变化，我们难以知道所有的参数的 精确值，有些参数甚至于是不可以被测得的。而且，车辆的动力学状态也受到 外部的行驶环境的影响，譬如汽车和空气的相对运动所产生的空气阻力、地面 坡度所产生的道路的阻力等都会对汽车的状态有明显的影响，然而这些力的大 小方向都会实时发生变化，就算根据相关的经验公式也只能得到它们的估计值， 不容易被直接地测出。除此之外，汽车的许多参数相互之间都存在耦合关系， 某一个参数的改变也可能会导致其它的参数改变，譬如汽车横向速度以及纵向 速度间的耦合关系、非线性的轮胎横向力和纵向力间的耦合关系。有的参数之 间的耦合关系并不能够用准确的数学公式来表达，这会使得所创建的数学模型 的精度受到严重的影响。显而易见，如果要建立一个能精确地描述汽车的运动 状态的车辆数学模型很明显是不太可能的。
本实验根据实际情况的需要进行适当地简化后把多自由度的整车模型简化 成为二自由度车辆动力学模型。在分析中，直接以前轮转角作为输入而忽略了 转向系统的影响；也忽略了悬架的作用，认为汽车的车厢只作平行于地面的平 面运动，汽车只有沿着 y 轴的侧向运动以及绕着 z 轴的横摆运动。在建立运动 微分方程的时候还假设：不考虑地面切向力对轮胎侧偏特性的影响，也忽略左 右车轮的轮胎由于载荷变化而引起的轮胎特性的变化以及轮胎回正力矩的作用。 如下图 1,它是一个有前后两个有侧向弹性的轮胎支承于地面、具有侧向及横摆