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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
权
版 ¾ζ >1，称为大阻尼，ωr（t）单调上升；ωr（t）趋
于ωr0 ，但当u > ucr ，ωr趋于无穷大；
院 ¾ζ=1，称为临界阻尼， ωr（t）单调上升趋于ωr 0； 学 ¾ζ<1，称为小阻尼， ωr（t）是一条收敛于ωr 0的减
幅正弦曲线。
北
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
（3）反应时间τ
权 版
院 学一般为横摆角速度稳
定值的0.63或0.9倍
业
⎡
⎤
汽车工τ
= −Φ
=
arctan
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎛ ⎜ ⎝
−
1−ζ muaω0
Lk2
2
−
ζ
⎥ ⎥ ⎞⎥ ⎟⎥ ⎠⎦
北
ω
ω0 1− ζ 2
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=
I Z ω r
−
1 u
a2k1 + b2k2 ωr + ak1δ
北汽 ak1 − bk2
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
权
将上式写成以ωr为变量的形式
院版 m′ωr + hωr + cωr = b1δ + b0δ
学 ωr + 2ω0ζωr + ω02ωr = B1δ + B0δ
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
版权 （4）达到第一个峰值ωr1的时间ε
arctan ω −Φ
⎡ arctan ⎢
院 ε =
ζω0
=
⎢⎣
1−
ζ
ζ
2
⎤ ⎥ ⎥⎦
+τ
学 ω
ω0 1− ζ 2
业
物理含义：评价横摆角
工
车 速度瞬态反应快慢。 汽 轿车：0.23-0.59 s
商用车：0.94~1.72 s
工
车
汽
北
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j
工 = B(ω)+ C(ω)j
车 幅频特性为 A(ω) = [B(ω)]2 + [C(ω)]2
汽 相频特性为 北
Φ
(ω
)
=
arctan
C B
(ω (ω
) )
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
权
版 频率响应要
求：四个字
院 学“平”：频响曲线要平
业 “高”：共振频率要高
权
（2）阻尼比ζ
版
( ) 院 ζ = h = − ⎡⎣m a2k1 + b2k2 + IZ (k1 + k2 )⎤⎦
学 2ω0m′
( ) 2mIZ L
k1k2 mI Z
1+ Ku2
业 ( ) −m
=
a2k1 + b2k2
− IZ (k1 + k2 )
车工( ) 2L mIZk1k2 1+ Ku2
汽一般在：0.5~0.8
工 应小一点； ４）f =0.1Hz 时的相位滞后角，
车
∠Φf =0.1 这个数值应该接近于零；
汽
５） ∠Φf =0.6 ，f = 0.6Hz 时的相位 滞后角，其数值应当小些。
北
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第三节 线性二自由度汽车模型
权
版
作业:
院
业学 习题 5.10、5.11、5.12、 5.13
第三节 线性二自由度汽车模型
权
院版 Chpt 5 汽车操纵稳定性
学 §5-3 线性二自由度汽车模型及稳定性分析
业 ♦ 线性二自由度汽车模型 工 ♦ 汽车稳态响应分析
♦ 汽车瞬态响应分析
汽车 ♦ 汽车频率响应特性
北
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
权
D、汽车瞬态响应分析
北
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
权
版 H (jω)ωr −δ
=
ωr (ω) δ (ω)
=
B1 jω + B0
− ω 2 + 2ω0ζjω + ω02
[( ) [( ] [( ) ) 院] ] =
(B1 jω + B0 ) ω02 − ω 2 − 2ζω0ωj
业 当t > 0时
δsw0 时间 t
工 ωr + 2ω0ζωr +ω02ωr = B1δ + B0δ
汽车 ωr + 2ω0ζωr + ω02ωr = B0δ
北 这是二阶常系数非齐次微分方程
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
权
其特解为
版
学院 ωr (t) =
版
院 1. 前轮角阶跃输入下横摆角速度的瞬态响应
二自由度汽车运动微分方程式
学 (k1
+
k2 )β
+
1 u
(ak1
− bk2 )ωr
− k1δ
=
m(v
+ uωr )
( 工业) (ak1 − bk2 )β
+1 u
a2k1 + b2k2
ωr − ak1δ
= IZωr
（1） （2）
由式（2）得
车 ( ) β
业 式中
工 ζ = h 2ω0m′
汽车 B1
=
b1 m′
ω02
=
c m′
ζ—阻尼比。
B0
=
b0 m′
北
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
权
前轮角阶跃输入的数学表达式为
版
t < 0,δ = 0 ⎫
转 向
院 t
≥
0,δ
=
δ
0
⎪ ⎬
盘 转 角
学 t > 0,δ = 0 ⎪⎭
(−ζω0 −ω0 ζ 2 −1)t
r
3
4
( ) 业学 ω02 =
ak1 − bk2 IZ
+ k1k2L2 mu 2 I Z
⎜⎝⎛ − ζω 0 ±
(ζω 0
)2
−
ω
2 0
⎟⎠⎞
<
0
才收敛，即 ω02应为正值。
工 =
k1k2 L2 mI Z
(K
+
1 u2
)
( ) ω02
K
=
m L2
⎜⎜⎝⎛
a k2
−
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
权
版
院
学
业
工
车
汽
北
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
权
版
院
学
业
工
车
汽
北
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
权
版 表征响应品质好坏的4个瞬态响应的参数
北汽 令ω02
=
(ak1 − bk2 ) + k1k2L2
IZ
mu 2 I Z
=0
ucr =
−1 K
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
权
版 四、横摆角速度频率响应特性
院 ¾ 一个线性系统，当输入为一正弦函数，达到稳定状态
学 时的输出也为具有相同频率的正弦函数，但两者的幅
B0δ 0 ω02
= uL 1+ Ku2
δ0
=
ωr δ
⎞ ⎟
δ0
⎠s
工业 即稳态横摆角速度
ωr0
=
ωr δ
⎟⎞ ⎠s
δ
0
车对应的齐次方程为 汽ωr + 2ω0ζωr + ω02ωr = 0
北
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
权
其通解可由如下特征方程求得
ω r = C e−ζω0tsin ω 0 1 − ζ 2 t + Φ
⎫ ⎪
( ) ω r = C 1 + C 2 t e − ω 0t
⎪ ⎬
( ) ( ) ω ⎪ − ζ ω 0 + ω 0 ζ 2 −1 t
−ζω0 −ω0 ζ 2 −1 t
= C e + C e ⎭⎪ r
3
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汽 当ζ≤1时，齐次微分方程的解均收敛而趋于0。
北ωr (t ) = Ce−ζω0t sin(ω0 1− ζ 2 t + φ)
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
权
当ζ≥1时汽车稳定性：
版
当ζ≥1时，特征根必须为负值，齐次微分方程的解才收敛趋于0。
( ) 院 ω t = C e + C e (−ζω0 +ω0 ζ 2 −1)t