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高一12月月考数学试卷

数学试题(满分120分,时间90分钟)一、选择题(每小题4分,共48分)1.如下图1,在四面体中,若直线EF 和GH 相交,则它们的交点一定( )A .在直线DB 上 B .在直线AB 上C .在直线CB 上D .以上都不对2. 某几何体的三视图如下图2所示,则该几何体的表面积等于( )A .228+B .2211+C .2214+D .15图1 图23.已知三棱锥P ABC -中,若PA,PB,PC 两两互相垂直,作PO ABC ⊥面,垂足为O ,则点 O 是ABC ∆的( ).A 外心 .B 内心 .C 重心 .D 垂心4.已知,,l m n 表示三条不同的直线,,αβ表示两个不同的平面,下列说法中正确的是( )A .若//,m n n α⊂,则//m αB .若//,m n αα⊂,则//m nC .若,,l m l αβαβ⊥=⊥I ,则m β⊥D .若,m n αα⊥⊥,则//m n 5. α,β是两个不重合的平面,在下列条件中,可判断平面α,β平行的是( )A .m ,n 是平面α内两条直线,且//m β,//n βB .α内不共线的三点到β的距离相等C .α,β都垂直于平面γD .m , n 是两条异面直线,m α⊂,n β⊂,且//m β,//n α6. 已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是平行四边形,过此四棱柱任意两条棱的中点作直线,其中与平面11DBB D 平行的直线共有( )条A.4B.6C.10D.127.三个数0.650.65,0.6,log 5的大小顺序是 ( ) .A 50.60.60.6log 55<< .B 50.60.6log 50.65<<.C 0.650.6log 550.6<< .D 50.60.60.65log 5<<8.在空间四边形ABCD 中,若AD BC BD AD ⊥⊥,,则有( )A .平面ABC ⊥平面ADCB .平面ADC ⊥平面DBC C .平面ABC ⊥平面DBCD .平面ABC ⊥平面ADB9. 棱长分别是1,3,2的长方体的8个顶点都在球O 的表面上,则球O 的体积是( ) A. 823π B 32π C 833π D 43π 10.正方体1111ABCD A B C D -中,直线AD 与平面11A BC 所成角正弦值为( )A .12B .3C .3D .6 11. 将正方形ABCD 沿对角线AC 折起,并使得平面ABC 垂直于平面ACD ,直线AB 与 CD 所成的角为( )A .90︒B .60︒C .45︒D .30°12.如图,在空间四边形ABCD 中,两条对角线,AC BD 互相垂直,且长度分别为4和6,平行于这两条对角线的平面与边,AB BC ,,CD DA 分别相交于点,,,E F G H ,记四边形EFGH 的面积为y ,设=BE x AB,则( ) A .函数()=y f x 的值域为(0,4] B .函数()=y f x 的最大值为8C .函数()=y f x 在2(0,)3上单调递减D .函数()=y f x 满足()(1)=-f x f x二、填空题:(每空4分,共20分).(请将答案写在答题纸上)13. 已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为9π和15π,则该圆锥的体积为________14.正方形OABC 的边长为1cm ,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是_____cm15. 在正方体1111ABCD A B C D -中,二面角1C AB D --的大小为__________.16. 已知△ABC 的三边长分别为5,4,3===AB BC AC ,M 是AB 边上的点,P 是平面ABC 外一点.给出下列四个命题:①若PA ⊥平面ABC ,则三棱锥-P ABC 的四个面都是直角三角形;②若PM ⊥平面ABC ,且M 是AB 边的中点,则有==PA PB PC ;③若5=PC ,PC ⊥平面ABC ,则△PCM 面积的最小值为152; ④若5=PC ,P 在平面ABC 上的射影是△ABC 内切圆的圆心,则点P 到平面ABC 的距离为23.其中正确命题的序号是________.(把你认为正确命题的序号都填上)三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共52分).17.(本题满分8分)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形,点M 为PC 中点,且090PAB PDC ∠=∠=.(1)证明://PA 平面BDM ; (2)证明:平面PAB ⊥平面PAD .(17题图) (18题图)18.(本题满分10分)如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 为正方形,PA ⊥平面ABCD ,PA AB =,M 是PC 上一点.(1)若BM PC ⊥,求证:PC ⊥平面MBD ;(2)若M 为PC 的中点,且2AB =,求三棱锥M BCD -的体积.19.(本题满分10分)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,底面ABC 为正三角形,1AA ⊥底面ABC ,13AA AB =,点E 在线段1CC 上,平面1AEB ⊥平面11AA B B .(1)请指出点E 的位置,并给出证明; (2)若1AB =,求1B E 与平面ABE 夹角的正弦值.20.(本题满分12分)已知关于x 的不等式2222log 5log 20x x -+≤的解集为B .(1)求集合B ;(2)若x B ∈,求22()log log (2)8x f x x =⋅的最大值与最小值. 21.(本小题满分12分)如图,在直角梯形ABCD 中, //AB DC ,90BAD o ∠=,4AB =,2AD =,3DC =,点E 在CD 上,且2DE =,将ADE ∆沿AE 折起,使得平面ADE ⊥平面ABCE (如图), G 为AE 中点.(1)求证: DG ⊥平面ABCE ;(2)在线段BD 上是否存在点P ,使得//CP 平面ADE ?若存在,求BP BD的值,并加以证明;若不存在,请说明理由。

高一数学试卷答案一、选择题(每小题4分,共48分)1-6 ABDDDD 7-12 BBACBD二、填空题:(每小题5分,共20分)13、 12 14、8 15、45 16、124三、解答题:17. (1) 连接AC 交BD 于点O ,连接OM ,因为底面ABCD 为平行四边形,所以O 为AC 中点.在PAC ∆中,又M 为PC 中点,所以//OM PA .又PA ⊄平面BDM ,OM ⊂平面BDM ,所以//PA 平面BDM .(2) 因为底面ABCD 为平行四边形,所以//AB CD .又090PDC ∠=即CD PD ⊥,所以AB PD ⊥.又090PAB ∠=即AB PA ⊥.又PA ⊂平面PAD ,PD ⊂平面PAD ,PA PD P =I ,所以AB ⊥平面PAD . 又AB Ì平面PAB ,所以平面PAB ⊥平面PAD .18. (1)证明:连接AC ,由PA ⊥平面ABCD ,BD Ø平面ABCD 得BD PA ⊥, 又BD AC ⊥,PA AC A ⋂=,∴BD ⊥平面PAC ,得PC BD ⊥,又PC BM ⊥,BD BC B ⋂=,∴PC ⊥平面MBD .(2)解:由M 为PC 的中点得111223M BCD P BCD BCD V V S PA --∆==⨯⋅ 11122222323=⨯⨯⨯⨯⨯=. 19. (1)点E 为线段1CC 的中点.证明如下:取AB 中点为F ,1AB 的中点为G ,连接CF ,FG ,EG .所以//FG CE ,FG CE =,所以四边形FGEC 为平行四边形.所以//CF EG . 因为CA CB =,AF BF =,所以CF AB ⊥.又因为1AA ⊥平面ABC ,CF ⊂平面ABC ,所以1AA CF ⊥.又1AA AB A =I ,所以CF ⊥平面11AA B B .所以EG ⊥平面11AA B B ,而EG ⊂平面1AEB ,所以平面1AEB ⊥平面11AA B B .(2)由1AB =,得13AA =.由(1)可知,点E 到平面1ABB 的距离为32EG CF ==. 而1ABB △的面积1131322ABB S =⨯⨯=V 132AE BE ==, 等腰ABE △底边AB 131344-= 记点1B 到平面ABE 的距离为h , 由1113311133232B ABE E ABB V V h --==⨯=⨯⨯⨯32h =, 即点1B 到平面ABE 的距离为32.又113=B E AE BE == 1B E 与平而ABE 夹角的正弦值1sin =h B E α=31313. 20 (1){24}B x x =≤≤;(2)当2x =时,()f x 的最小值是-4;当4x =时,()f x 的最大值是-3;(1)关于x 的不等式2222log 5log 20x x -+≤,等价于()()2222212log 1log 20log 2=log 2=log 42x x x --≤⇔≤≤ 解得{24}B x x =≤≤; (2)()()22log ?log 28x f x x ==()()22og 3og +1l x l x -,令21og ,22t l x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦原式子等于()()t 3+1y t =-,1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,根据二次函数的性质得到当2x =时,()f x 的最小值是-4;当4x =时,()f x 的最大值是-3.21(1)证明:因为G 为AE 中点,2AD DE ==,所以DG AE ⊥因为平面ADE ⊥平面ABCE 平面ADE I 平面ABCE AE =,DG ⊂平面ADE所以DG ⊥平面ABCE .(2)如图:过点C 作//CF AE 交AB 于点F ,则:1:3AF FB =过点F 作//FP AD 交DB 于点P ,连接PC ,则:1:3DP PB =又因为//CF AE ,AE ⊂平面ADE ,CF ⊄平面ADE ,所以//CF 平面ADE 同理,//FP 平面ADE 又因为CF PF F ⋂=所以平面//CFP 平面ADE因为CP ⊂平面CFP ,所以//CP 平面ADE ,所以在BD 上存在点P ,使得//CP 平面ADE ,且34BP BD =。

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