3.1.5 空间向量的数量积 课时目标 1.掌握空间向量的夹角及空间向量数量积的概念.2.掌握空间向量的运算律及其坐标运算.3.掌握空间向量数量积的应用．1．两向量的夹角如图所示，a,b 是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则__________叫做向量a 与向量b 的夹角，记作__________．如果〈a ，b 〉＝π2，那么向量a ，b ______________，记作__________． 2．数量积的定义已知两个非零向量a ，b ，则____________叫做向量a ，b 的数量积，记作a·b . 即a·b ＝__________.零向量与任一向量的数量积为0.特别地，a·a ＝|a|·|a|cos 〈a ，a 〉＝________.3．数量积的运算律空间向量的数量积满足如下的运算律：(λa )·b ＝λ(a·b ) (λ∈R )；a·b ＝b·a ；a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c .4．数量积的坐标运算若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则(1)a·b ＝________________；(2)a ⊥b ⇔__________⇔____________________________；(3)|a |＝a·a ＝______________；(4)cos 〈a ，b 〉＝____________＝_________________________________________.一、填空题1．若a ，b 均为非零向量，则a·b ＝|a||b |是a 与b 共线的____________条件．2．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝________.3．已知向量a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，|λa ＋b |＝29且λ>0，则λ＝________.4．若a 、b 、c 为任意向量，下列命题是真命题的是____．(写出所有符合要求的序号) ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若a·b ＝a·c ，则b ＝c ；③(a·b )·c ＝(b·c )·a ＝(c·a )·b ；④若|a |＝2|b |，且a 与b 夹角为45°，则(a －b )⊥b .5．已知向量a ＝(2，－3,0)，b ＝(k,0,3)，若a 与b 成120°角，则k ＝________.6.设O 为坐标原点，向量OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为________．7．向量(a ＋3b )⊥(7a －5b )，(a －4b )⊥(7a －2b )，则a 和b 的夹角为____________．8．若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为π3，则|a ＋b |＝________. 二、解答题9.如图，已知在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC.求证：OA⊥BC.10.在正四面体ABCD中，棱长为a，M、N分别是棱AB、CD上的点，且MB＝2AM，CN＝12ND，求MN.能力提升11.如图所示，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB＝7，AC＝BD ＝24，线段BD与α所成的角为30°，求CD的长．12．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2, 并取A1B1、A1A的中点分别为P 、Q .(1)求BQ 的长；（2）求cos 〈BQ →，CB 1→〉，cos 〈BA 1→，CB 1→〉，并比较〈BQ →，CB 1→〉与〈BA 1→，CB 1→〉的大小；(3)求证：AB 1→⊥C 1P →.1．数量积可以利用基底或坐标两种形式进行运算．选择基底时，应注意三个基向量的长度，两两之间的夹角应该是确定的；当所选基向量两两互相垂直时，用坐标运算更为方便．2．利用数量积可以求向量的长度和向量的夹角．3．1.5 空间向量的数量积知识梳理1．∠AOB 〈a ，b 〉 互相垂直 a ⊥b2．|a||b|cos 〈a ，b 〉 |a||b |cos 〈a ，b 〉 |a |24．(1)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 (2)a·b ＝0 a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 (3)a 21＋a 22＋a 23(4)a·b |a||b| a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23b 21＋b 22＋b 23作业设计1．充分不必要解析 a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉＝|a||b |cos 〈a ，b 〉＝1〈a ，b 〉＝0，但当a 与b 反向时，不能成立．2.13解析 ∵|a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2＝1＋6·cos60°＋9＝13.∴|a ＋3b |＝13.3．3解析 ∵a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，∴λa ＋b ＝(4,1－λ，λ)．∵|λa ＋b |＝29，∴16＋(1－λ)2＋λ2＝29.∴λ＝3或λ＝－2.∵λ>0，∴λ＝3.4．④解析 两个向量的等价条件是模长相等且方向相同，故命题①错；a·b ＝|a|·|b |cos 〈a ，b 〉，而a·c ＝|a|·|c |·cos 〈a ，c 〉，于是由a·b ＝a·c 推出的是|b |cos 〈a ，b 〉＝|c |·cos 〈a ，c 〉，故命题②错；向量的数量积运算不满足结合律，故命题③错；(a －b )·b ＝a·b －b 2＝b 2－b 2＝0，故命题④正确．5．－39解析 cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝2k 139＋k 2＝－12，得k ＝±39.又k <0，所以k ＝－39. 6．(43，43，83)解析 设Q (λ，λ，2λ)，则QA →·QB →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝6λ2－16λ＋10，当QA →·QB →取最小值时，λ＝43，所以Q (43，43，83)． 7．60°解析 由(a ＋3b )·(7a －5b )＝0，(a －4b )·(7a －2b )＝0，得7a 2＋16a·b －15b 2＝0,7a 2－30a·b ＋8b 2＝0，解得a 2＝b 2，b 2＝2a·b ，∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a|·|b |＝12， ∴〈a ，b 〉＝60°. 8.7解析 |a ＋b |＝a 2＋2a·b ＋b 2 ＝1＋2×2×12＋4＝7. 9．证明 ∵OB ＝OC ，AB ＝AC ，OA ＝OA ，∴△OAC ≌△OAB .∴∠AOC ＝∠AOB .∵OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →||OC →|cos ∠AOC －|OA →||OB →|·cos ∠AOB ＝0，∴OA ⊥BC .10．解 如图所示，|AB →|＝|AC →|＝|AD →|＝a ，把题中所用到的量都用向量AB →、AC →、AD →表示，于是MN →＝MB →＋BC →＋CN → ＝23AB →＋(AC →－AB →)＋13(AD →－AC →)＝－13AB →＋13AD →＋23AC →. 又AD →·AB →＝AB →·AC →＝AC →·AD →＝|AD →|2cos60°＝12|AD →|2＝12a 2， ∴MN →·MN →＝⎝⎛⎭⎫－13AB →＋13AD →＋23AC →·⎝⎛⎭⎫－13AB →＋13AD →＋23AC →＝19AB →2－29AD →·AB →－49AB →·AC →＋49AC →·AD →＋19AD →2＋49AC →2＝19a 2－19a 2＋19a 2＋49a 2＝59a 2. 故|MN →|＝MN →·MN →＝53a ，即MN ＝53a . 11．解 由AC ⊥α，可知AC ⊥AB ，过点D 作DD 1⊥α，D 1为垂足，连结BD 1，则∠DBD 1为BD 与α所成的角，即∠DBD 1＝30°，∴∠BDD 1＝60°，∵AC ⊥α，DD 1⊥α，∴AC ∥DD 1，∴〈CA →，DB →〉＝60°，∴〈CA →，BD →〉＝120°.又CD →＝CA →＋AB →＋BD →，∴|CD →|2＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2CA →·BD →＋2AB →·BD →.∵BD ⊥AB ，AC ⊥AB ，∴BD →·AB →＝0，AC →·AB →＝0.故|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·BD →＝242＋72＋242＋2×24×24×cos120°＝625，∴|CD →|＝25.12．(1)解 以C 为原点O ，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，则由已知，得C (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0,1,0)，C 1(0,0,2)，P ⎝⎛⎭⎫12，12，2，Q (1,0,1)，B 1(0,1,2)，A 1(1,0,2)．∴BQ →＝(1，－1,1)，CB 1→＝(0,1,2)，BA 1→＝(1，－1,2)，AB 1→＝(－1,1,2)，C 1P →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0.∴|BQ →|＝BQ →·BQ →＝12＋(－1)2＋12＝ 3.(2)解 ∵BQ →·CB 1→＝0－1＋2＝1，|BQ →|＝3，|CB 1→|＝02＋12＋22＝5，∴cos 〈BQ →，CB 1→〉＝13×5＝1515. 又BA 1→·CB 1→＝0－1＋4＝3， |BA 1→|＝1＋1＋4＝6，|CB 1→|＝5，∴cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝330＝3010. 又0<1515<3010<1， ∴〈BQ →，CB 1→〉，〈BA 1→，CB 1→〉∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 又y ＝cos x 在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减， ∴〈BQ →，CB 1→〉>〈BA 1→，CB 1→〉．(3)证明 ∵AB 1→·C 1P →＝(－1,1,2)·⎝⎛⎭⎫12，12，0＝0，∴AB 1→⊥C 1P →.。