1.1 等腰三角形1、将下面证明中每一步的理由写在括号内：已知：如图，AB＝CD，AD＝CB．求证：∠A＝∠C．证明：连接BD．在△BAD和△DCB中，∵AB＝CD( )AD＝CB( )BD＝DB( )∴△BAD≌△DCB( )∴∠A＝∠C( )2、已知：如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：∠A=∠D．3、如图，在△ABC中，∠BAC=108°，AB=AC,AD⊥BC,垂足为D，求∠BAD的度数。
4、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，点E是AD上一点，连接BE,CE,请找出图中所有相等的角。
5、如图，在△ABC中，AB=BC,点D,E都在BC上，且AD=AE,证明BD=CE.1、如图，在△ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC,交AC于点D.若BD=BC,则∠A等于多少度？2、已知：如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC中点，点E,F分别在AB和AC尚，并且AE=AF.求证：DE=DF3、已知：如图，D，E分别是等边三角形ABC的两边AB,AC上的点，且AD=CE。
求证：CD=BE4、如图，在一个风筝ABCD中，AB=AD,BC=DC⑴分别在AB,AD的中点E,F处拉两根彩线EC,FC.证明:这两根彩线的长度相等。
⑵如果AE=1/3AB,AF=1/3AD,那麼彩线的长度相等吗?如果AE=1/4AB,AF=1/4AD呢?由此你能得到什麼结论?1、已知：如图，∠CEA是△ABC的外角，AD平行BC，且∠1=∠2.求证：AB=AC.2、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点E在CA的延长线上，EP垂直于BC，垂足为P，EP交AB于点F。
求证：△AEF是等腰三角形。
3、如图，一艘船从A处出发，以18kn的速度向北航行，经过10h到处B处。
分别从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°．求从B处到灯塔C 的距离．1、已知：如图，△ABC是等边三角形，与BC平行的直线分别交AB和AC于点D,E, 求证：△ADE是等边三角形。
2、屋梁的一部分如图所示，其中BC⊥AC，∠A＝30º，AB＝7.4m，点D是AB的中点，且DE⊥AC，垂足为E，求BC的长。
3、如图，△ABC是等边三角形，过它的三个顶点分别作对边的平行线，得到一个新的三角形DEF，△DEF是等边三角形吗？你还能找到其他的等边三角形吗？点A，B，C分别是EF，ED，FD的中点吗？请证明你的结论．（2）如果△DEF是等边三角形，点A，B，C分别是EF，ED，FD的中点，那么△ABC是等边三角形吗？请证明你的结论．4、证明：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
5、如图，ABCD是一张长方形纸片，且AD=2AB，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在BC上（如图中的点A、），折痕交AB于点E，那么∠ADE等于多少度？你能证明你的结论吗？（利用第4题的结论）1、如图，在四边形ABCD中，AB平行CD，E为BC上的一点，且∠BAE=45°，2、一个直角三角形屋梁如图所示，其中BC⊥AC，∠A=30°，AB=10m， CB₁⊥AB, B₁C₁⊥AC,垂足分别为B₁,C₁,那么BC的长是多少？B₁C₁呢？3、小红想测量离A处30m的大树的高度，她站在A处仰望树顶B，仰角为30°（即∠BDE=30°），已知小红身高1.52m．求大树的高度．4、如图，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为8cm，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的顶点 A沿棱柱的表面到顶点C′处吃食物. 那么它需要爬行的最短路程的长是多少？5、DE⊥AC已知：如图，点D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，且DE=DF．求证：△ABC是等腰三角形．6、已知：如图，AB=CD,DE⊥于AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F,且DE=BF。
求证：（1）AE=CF;（2）AB⁄⁄CD.7、如图所示，把矩形ABC D沿对角线B D折叠，点C落在点F处，若AB＝12 c m，BC＝16c m．（1）求A E的长；（2）求重合部分的面积．8、如图所示，把矩形纸片ABC D沿EF折叠，使点B落在边A D上的点B′处，点A落在点A′处．（1）求证B′E＝B F；（2）设A E＝a，AB＝b，B F＝c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给出证明．3.1线段的垂直平分线1、如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，求∠AFC的度数。
2、如图，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长。
3、如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？你能画图说明吗？4、如图所示，在△ABC中，∠A＝90°，AC＝8 cm，AB＝6 cm，BC边的垂直平分线DE 交BC于E，交AC于D，求△ABD的周长．5、如图所示，∠BAC＝∠ABD，AC＝BD，点O是AD，BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系，并给出证明．4.1角平分线1、已知，如图，OC是∠AOB的平分线,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别为D,E. 求证：PD=PE.2、已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF=EF．3、如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC,垂足分别为E和F，且DE=DF,求DE的长。
4、如图，在三角形ABC中，AC=BC，∠A=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。
（1）已知CD=4cm，求AC的长；（2）求证AB=AC+CD5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD，CE是角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N．求证：FE=FD．6、已知：如图，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线。
求证：BD=2CD。
7、已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相较于点F.求证：点F在∠DAE的平分线上。
8、已知：如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC垂直OA，PD垂直于OB，垂足分别为C，D,求证：（1）OC=OD（2）OP是CD的垂直平分线。
三角形证明单元总复习1、已知：如图，在三角形ABC中，AB=AC，点D，E分别在边AC，AB上，且三角形ABD=三角形ACE，BD与CE相交于点O。
求证：（1）OB=OC。
（2）BE=CD。
2、已知：如图，BD，CE是△ABC的高，且BD=CE。
求证：△ABC是等腰三角形。
3、在△ABC中，已知∠A,∠B,∠C的度数之比是1：2：3，AB=3，求AC的长。
4、已知：如图，AN⊥OB，BM⊥OA，垂足分别为N,M，OM=ON,BM与AN相交于点P,求证：PM=PN。
5、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D、E。
求证AE=2CE.6、如图，在四边形BCDE中，∠C=∠BED=90°，∠B=60°，延长CD，BE，两线交于点A，已知CD=2,DE=1,求Rt△ABC的面积。
7、如图，在三角形ABC中，∠B=64°，∠BAC=72°，D为BC上一点，DE交AC 于点F,且AB=AD=DE，连接AE,∠E=55°。
请判断△AFD的形状，并说明理由（证明）。
联系拓广8、如图，在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E。
已知△BCE的周长为8，AC-BC=2，求AB与BC的长。
《三角形的证明》课外巩固培优练习题1、如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，F 是OC 上另一点，连接DF 、EF 。
求证：DF=EF2、如图，AF 平分∠BAC ，P 是AF 上任一点，过P 向AB 、AC 作垂线PD 、PE ，D 、E 分别为垂足，连结DE ， 求证：AF 垂直平分DE 。
3、如图，点D 是等边△ABC 边AB 上的一点，AB=3AD ，DE⊥BC 于点E ，AE 、CD 相交于点F ． （1）求证：△ACD≌△BAE；（2）请你过点C 作CG⊥AE，垂足为点G ，探究CF 与FG 之间的数量关系，并证明．4、如图，已知AB=AC ，BD=CD ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。
求证：DE=DF5、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，FE 垂直平分AD ，E 为垂足，EF 交BC 的延长线于F ， A B C E P D F AD E CB求证：∠CAF ＝∠B6、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°E 为AB 的中点，且DE ⊥AB 于F ，∠CAD ︰∠BAD ＝1︰2， 试求∠B 和∠BAC 的度数。
7、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是BC 延长线上一点，BD 的垂直平分线交AB 于P ，PD 交AC 于E ，求证：点P 也在AE 的垂直平分线上8、如图所示，已知AD//BC ，AE 平分∠DAB ，BE 平分∠ABC ，直线DC 过点E 交AD 于点D ，交BC 于点C ，求证：（1）E 为DC 的中点；（2）AD ＋BC=AB.2、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥AC 交BC•于点D ，•求证：•BC=3AD.A C D EA B C PD E F3、 ABC ∆中，120A AC AB =∠=，，AB 的中垂线交AB 于D ，交CA 延长线于E ，求证：BC 21DE =。
5、在等边ΔABC 中，AE=CD ，BG ⊥AD ，求证：BP=2PG 。
6、已知：如图6，在△ABC 中，AD 是高，CE 是中线。
DC=BE ，DG ⊥CE ，G 为垂足。
求证：（1）G 是CE 的中点；（2）∠B=2∠BCE 。
7、如图7，在△ABC 中，∠C=2∠B ，D 是BC 上的一点，且AD ⊥AB ，点E 是BD 的中点，连AE 。
求证：（1）∠AEC=∠C ；（2）求证：BD=2AC 。
9、如图，在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，︒=∠30CAB ，以AC 、AB 为边在ABC ∆外侧作等边ACD ∆和等边ABE ∆，连结DE 交AB 于F .求证：EFDF12、如图4，△ABC中，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC．求证：EF∥AB．13、如图5，△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠CBD，BD⊥DE于D，DE交BC于E，求证：CD=12 BE．14．如图2，在Rt△ABC中，∠C=900，AD∥BC，∠CBE=12∠ABE，求证：DE=2AB图4FCDEBAMBAD图5BA DCEF图2。