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例4.1
设
A
0 1
1
1 0 1
011 . 求正交阵 P 使P1AP为对角阵.
方阵P为正交阵的充分必要条件
方阵P为正交阵 ÛPTPE PPTE P1PT P的列向量都是两两正交的单位向量. P的行向量都是两两正交的单位向量.
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例4.1
设
A
0 1
1
1 0 1
将2 3正交化、单位化得
p2
1 (1, 2
1,
0)T p3
1 (1, 6
1,
2)T .
2
于是P(p1
p2
p3)为正交阵
并且P1AP
1
.
1
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二、利用正交矩阵把实对称矩阵化为对称阵的方法
v实对称矩阵对角化的步骤
(1)求出A的全部互不相等的特征值1 2 s
它们的重数依次为k1 k2 ks(k1k2 ksn).
§4.4 实对称矩阵的对角化
一个n阶方阵可以对角化是有条件的, 比如有n个线性无关的特征向量 . 也就是说并非所有n阶方阵都能对角化 但任何实对称矩阵都是可以对角化的.
§4.4 实对称矩阵的对角化
一、实对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵
把实对称矩阵化为对角阵的方法
一、实对称矩阵的性质
v定理4.1 实对称阵的特征值为实数.
设1 2是实对称阵A的两个特征值 p1 p2是对应的特 征向量. 若12 则p1与p2正交.
v定理4.3
设A为n阶实对称阵 是A的特征方程的k重根 则对应特 征值恰有k个线性无关的特征向量.
v定理4.4 设A为n阶实对称阵 则必有正交阵P 使P1APPTAP
其中是以A的n个特征值为对角元的对角矩阵.
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1 2 0
例4.2
设A
2
2
2
求正交阵
P
使P1AP为对角阵.
0 2 3
解 由|AE| (+1)( 2) ( 5)
得特征值11 22 , 35.
对应11 解方程(A+E)x0 得基础解系1 对应22 解方程(A2E)x0 得基础解系2 对应35 解方程(A5E)x0 得基础解系3 由于1 ,2 ,3是实对称阵的对应于不同特征值的特征向量, 于是1 , 2 , 3正交, 所以只要单位化即可得 p1 p2 p3
011 . 求正交阵 P 使P1AP为对角阵.
解 由|AE|(1)2(2) 得特征值12 231.
对应12 解方程(A2E)x0 得基础解系1(1 1 1)T.
将1单位化 得
p1
1 (1, 1, 3
1)T .
对应231 解方程 (AE)x0 即 x1 +x2－x30
得基础解系
2(1 1 0)T 3(1 0 1)T.
证 设复数为实对称阵A的特征值 复向量x 0为对应于的特征向量 即Axx. 有 A x A x Ax x x Ax x .
于是有 x T A xT AT AxT x T x T x T A x T .
故x右乘上式有
xTAxxTx.
而 x T左乘Axx有 xTAxxTx.
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习题4-3, P154
4. 设矩阵
A
1 2 4
2 x 2
124
5
与
y
4
相似
求x y 并求一个正交阵P 使P1AP.
提示： 相似矩阵的特征值相同、行列式相等. 1+x+1=5 +y +(－4)；=> y5 |A|=||.
|A+4E|=0 或 |A－5E|=0. => x4
所以对应的特征向量可以取实Fra bibliotek量.上页 下页 返回
一、实对称矩阵的性质
v定理4.1 实对称阵的特征值为实数.
v定理4.2 实对称阵的对应于不同特征值的特征向量正交.
设1 2是实对称阵A的两个特征值 p1 p2是对应的特 征向量. 若12 则p1与p2正交.
证明 已知Ap11p1 Ap22p2 12.
令P(e1 e2 e3) 则P1APdiag(1 1 0) 于是APP1 =P PT =？
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例4.2 设 A21 21 求An. 解 因为|AE|(1)(3) 所以A的特征值为11 23. 对应11 解方程(AE)x0 得p1(1 1)T. 对应13 解方程(A3E)x0 得p2(1 1)T. 于是有可逆矩阵P(p1 p2) 及diag(1 3) 使
则P(p1 p2 p3)为正交阵
1
并且P1AP
2
.
5
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习题4-4, P159
5. 设3阶对称阵A的特征值为11 21 30 对应1、2的特征
向量依次为p1(a 2a 1 1)T p2(a 1 13a)T 求A. 提示：由 [ p1 p2 ] =0，得 a=0或 1． 由 [ p1 p3 ] =0,[ p2 p3 ]=0，得 p3 ． 一法: 令P(p1 p2 p3) 则P1APdiag(1 1 0) 于是APP1 =？ 二法: 把 p1 p2 p3 正交化、单位化，得e1 e2 e3 .
因为A对称 故
p1TA p1TAT (Ap1)T (1p1)T 1p1T ,
于是 p1TAp2= 1p1Tp2
p1TAp2p1T2p2 2p1Tp2
即
(12)p1Tp20.
但12 故 p1Tp20 即p1与p2正交.
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一、实对称矩阵的性质
v定理4.1 实对称阵的特征值为实数. v定理4.2 实对称阵的对应于不同特征值的特征向量正交.
两式相减 得 ( )xT x 0
但因x0 所以
xT x
n
n
xixi |xi |2 0
i1
i1
故 0 即 这就说明是实数.
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一、实对称矩阵的性质
v定理4.1 实对称阵的特征值为实数.
显然 当特征值i为实数时 齐次线性方程组 (AiE)x0 是实系数方程组
由|AiE|0知必有实的基础解系
P1AP 或APP1
从而
AnPnP1
提示
因为A对称 故A可对角化 即有可逆向量P及对角阵
使P1AP. 于是APP1 从而AnPnP1.
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例4.2设 A21 21 求An. 解 因为|AE|(1)(3) 所以A的特征值为11 23. 对应11 解方程(AE)x0 得p1(1 1)T. 对应13 解方程(A3E)x0 得p2(1 1)T. 于是有可逆矩阵P(p1 p2) 及diag(1 3) 使
(2)对每个ki重特征值i 求方程(AE)x0的基础解系
得ki个线性无关的特征向量. 再把它们正交化、单位化
得ki个两两正交的单位特征向量. 因k1k2 ksn 故共可得n个两两正交的单位特征向量.
(3)把这n个两两正交的单位特征向量构成正交阵P
便有P1APPTAP.
注意中对角元的排列次序与P中列向量的排列次序相对应.