A的特征值为 121 ， 38
当 1 2 1，解方程组（ A （ 1 ） E ） x 0
即
4 2 4 x1 0
2
1
2
x2
0
4 2 4 x3 0
得到两个线性无关的特征向量 1 （ 1 ， 0 ， 1 ） ， 2 （ 1 ， 2 ， 0 ）
对于 3 8
1、求矩阵A的特征值 2、求特征向量 3、将特征向量正交化、单位化 4、构造正交矩阵，写出对应的对角形矩阵
3 2 4
练习 设实对称矩阵
A
2
0
2
4 2 3
求正交矩阵P,使 P 1 AP 为对角矩阵.
解 A的特征多项式为
3 2 4
A E 2 0 2 36 2 1 5 8
4 2 3
（ 1 ） （ 2 8 ） = 0
Ａ为幂零矩阵．
性质
(1) 幂零矩阵的特征值为0. (２) 非零的幂零矩阵不相似于对角矩阵.
作业
P107-P108 习题四 4.9 4.11(1) 4.12 4.17
预习 第四章 第四节
(3) 非零的实反对称矩阵不可能相似于实对角矩阵.
幂等矩阵
定义
设 A 为 n 阶方阵, 若满足 A2 A 则称 A 为幂等矩阵.
性质
(1) 幂等矩阵的特征值为0或1.
(2)
幂等矩阵一定相似于形如
Er
0
0
0
的对称阵.
幂零矩阵
定义 设 A 为 n 阶方阵, 若满足 Am 0 (ｍ为正整数），则称
e1
1
1
1
1 2,1,0T
5
e2
1
2
2
1 2,4,5T
35
e3
1
3
3
11,2,2T
3
单位化
（４）构造矩阵Ｐ，写出相应的对角形矩阵
2
5
5
25 15
1
3
令
P e1, e2 , e3
5 5
4 5 2
15
3
0
5
2
3
3
1
则有
P1AP
PT
AP
1
10
求正交变换将实对称矩阵对角化的一般步骤：
（２）求特征向量
对于 1 2 1,
得一个基础解系
解方程组 AEX0
1 2 ,1 ,0T,22 ,0 ,1 T
对于 3 1 0, 解方程组 A10EX0
得一个基础解系 3 1,2,2T
（３）将特征向量组正交化、单位化
令 112,1,0T
22 2 1,, 1 111 52,4,5T 正交化
331,2,2T
1
3
e2
1
2
2
1 (1,4,1) 32
1 2
1 32
2 3
e3
1
3
3
1(2,1,2) 3
1 0 0
则有
8
反对称矩阵 定义 设 A 为 n 阶方阵, 若 AT A 则称 A 为反对称矩阵 性质
(1) 实反对称矩阵的特征值为0或纯虚数.
(2) 奇数阶反对称阵对应的行列式为0.
➢实对称矩阵的对角化
定理 设A是n阶对称矩阵，则必有正交矩阵P,使得
PAP,其中 是以A的n个特征值为
对角元素的对角矩阵，正交矩阵P的列向量 是A的特征值所顺次对应的单位正交特征向 量。
例 用正交变换把下列对称矩阵对角化
2 2 2
2
5
4
2 4 5
解 （１）求方阵Ａ的特征值
由 AE 0 得特征值 121,310
1
，
1
得到特征向量 3 （2， 1， 2）
2
2
[[21， ，11]]1
1 2 0
1 2
1
0
1
0.5 2 0.5
取 3 3 则１ ，２ ，３是矩阵A的正交特征向量组
令 P (e1, e2 , e3 )
单位化
1
1 2
e1
1
1
1
1 (1,0,1) 2
2
=
0
32
3
4 32
第三节 实对称矩阵
➢ 对称矩阵
如果方阵A满足 AT A, 就称A为对称矩阵
例 如
110
1 1
0 3
3 0
3 2 4 2 0 7 4 7 5
方阵A为对称矩阵 矩阵A中关于主对角线对称的每一对元素相等
➢ 实对称矩阵的性质
定理1 实对称矩阵的特征值必为实数。 定理2 实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交。
证明 设A是对称矩阵
A 1 1 1 ,A 2 2 2 , 1 0 ,2 0 , 1 2
1 [1 ,2 ] [11 ,2 ] [A 1 ,2 ]
1
A
2
1
A
2
12 2 1,22 21,2
1 2 1,20
定理3 设A是n阶对称矩阵， 是A的特征方程的 r 重根， 则对应特征值 恰有 r 个线性无关的特征向量。