习题10-1 二重积分的概念与性质1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： （1）2()D x y d σ+⎰⎰与3()Dx y d σ+⎰⎰，其中积分区域D 是圆周22(2)(1)2x y -+-=所围成；（2）ln()Dx y d σ+⎰⎰与2[ln()]Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0)，(1,1)，(2,0)；2.利用二重积分的性质估计下列积分的值： （1）22sin sin DI x yd σ=⎰⎰，其中{(,)|0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤；（2）22(49)DI x y d σ=++⎰⎰，其中22{(,)|4}D x y x y =+≤.（3）.DI =，其中{(,)|01,02}D x y x y =≤≤≤≤解 (),f x y =Q 2，在D 上(),f x y 的最大值()104M x y ===，最小值()11,25m x y ====故0.40.5I ≤≤习题10-2 二重积分的计算法1.计算下列二重积分： （1）22()Dx y d σ+⎰⎰，其中{(,)|||1,||1}D x y x y =≤≤；（2）sin Dy d y σ⎰⎰，其中D 是由2,y x y x ==所围成的闭区域. 解：sin Dyd y σ⎰⎰210sin 1sin1y y y dy dx y ==-⎰⎰ 2.画出积分区域，并计算下列二重积分： （1）x y De d σ+⎰⎰，其中{(,)|||1}D x y x y =+≤（2）22()Dx y x d σ+-⎰⎰，其中D 是由直线2y =，y x =及2y x =所围成的闭区域。

3.化二重积分(,)DI f x y d σ=⎰⎰为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域D 是：（1）由直线y x =及抛物线24y x =所围成的闭区域；（2）由直线y x =，2x =及双曲线1(0)y x x=>所围成的闭区域。

4.求由曲面222z x y =+及2262z x y =--所围成的立体的体积。

5.画出积分区域，把积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域D 是： （1）22{(,)|2}x y x y x +≤；（2）{(,)|01,01}x y y x x ≤≤-≤≤6.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分： （1）23220()xxdx f x y dy +⎰；（2）21101(,)xxdx f x y dy--⎰⎰7.把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：（1）2222200)a ax xdx x y dy-+⎰；（2）211222()xxdx x y dy -+⎰⎰8.利用极坐标计算下列各题： （1）22x y De d σ+⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域。

（2）22ln(1)Dx y d σ++⎰⎰，其中D 是由圆周221x y +=及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域。

9.选用适当的坐标计算下列各题： （1）22()Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是由直线y x =，y x a =+，y a =，3y a =(0)a >所围成的闭区域。

（2）22Dx y d σ+，其中D 是圆环形闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤.（3）计算积分112111224y y yy xxyI dy e dx dy e dx =+⎰⎰⎰解 ()21111223182y xx xxe I dx e dy x e e dx e ==-=-⎰⎰⎰ 习题10-3 三重积分1.化三重积分(,,)I f x y z dxdydz Ω=⎰⎰⎰为三次积分，其中积分区域Ω分别是：（1）由曲面22z x y =+及平面1z =所围成的闭区域；（2）由曲面222z x y =+及22z x =-所围成的闭区域；2.计算23xy z dxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面z xy =及平面y x =，1x =和0z =所围成的闭区域。

3.计算xyzdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω为球面2221x y z ++=及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域。

4.计算zdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由锥面z =z h =(0,0)R h >>所围成的闭区域。

5.利用柱面坐标计算下列三重积分：（1）zdv Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面z =及22z x y =+所围成的闭区域；（2）22()x y dv Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面222x y z +=及平面2z =所围成的闭区域；6.选用适当的坐标计算下列三重积分： （1）xydv Ω⎰⎰⎰，其中Ω是柱面221x y +=及平面1z =，0z =，0x =，0y =所围成的在第一卦限内的闭区域；（2）22()x y dv Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域.7.计算()x y z dv Ω++⎰⎰⎰，其中Ω是由222,0x y z z h +≤≤≤所围成。

解 由于Ω关于,yoz xoz 坐标面都对称，故0xdv ydv ΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式2220xyh h hx y D zdv dxdy zdz d d zdz πρθρρ+Ω===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()222340011224h h h d h d h πρρρπρρρπ=-⋅=-=⎰⎰8.求上、下分别为球面2222x y z ++=和抛物面22z x y =+所围成立体的体积。

习题10-4 重积分的应用1.求球面2222x y z a ++=含在圆柱面22x y ax +=内部的那部分面积。

2.设薄片所占的闭区域D 是介于两个圆cos a ρθ=，cos b ρθ=(0)a b <<之间的闭区域，求均匀薄片的质心：3.已知均匀矩形板（面密度为常量μ）的长和宽分别为b 和h ，计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量。

4.设均匀柱体密度为ρ，占有闭区域222{(,,)|,0}x y z x y R z h Ω=+≤≤≤，求它对于位于点0(0,0,)M a ()a h >处的单位质量的质点的引力。

复习题十1.计算下列二重积分： （1）(1)sin Dx yd σ+⎰⎰，其中D 是顶点分别为(0,0)，(1,0)，(1,2)和(0,1)的梯形闭区域；（2）Dσ，其中D 是圆周22x y Rx +=所围成的闭区域；（3）arctanD yd xσ⎰⎰，其中D是由圆周22224,1x y x y+=+=及直线0,y y x==所围成的在第一象限内的闭区域.解：222440000sin3 arctan arctancos64Dy rd d rdr d rdrx rππθσθθθπθ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰2.交换下列二次积分的次序：（1）12330010(,)(,)y ydy f x y dx dy f x y dx-+⎰⎰⎰⎰；（2）21110(,)x xdx f x y dy +-⎰⎰.3.把积分(,)Df x y dxdy⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域2{(,)|1,11}D x y x y x =≤≤-≤≤.4.计算下列三重积分： （1）2z dxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是两个球：2222x y z R ++≤和2222x y z Rz ++≤(0)R >的公共部分；（2）222222ln(1)1z x y z dv x y z Ω++++++⎰⎰⎰，其中Ω是由球面2221x y z ++=所围成的闭区域；5.求平面1x y za b c++=被三坐标面所割出的有限部分的面积。

6.计算积分⎰⎰⎰Ω+zdv y x )(22，其中Ω为由222,2z x y z =+=所围的区域. 解 由222224,2,2,z x y x y z z ⎧⎧=++=⇒⎨⎨==⎩⎩ 积分区域Ω在xoy 坐标面上的投影区域4:22≤+y x D xy ，用柱面坐标20,20,22:2≤≤≤≤≤≤Ωr z r πθ ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+Ωπθ202022/3222)(r zdz dr r d zdv y x⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=2043844212ππdr r r。