正余弦定理考点梳理：1.直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。

（勾股定理） A（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； c （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） b sin A ＝cos B ＝，cos A ＝sin B ＝，tan A ＝。

C B c a c b ba2.2．斜三角形中各元素间的关系： a如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。

（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝_____（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

（R 为外接圆半径）R CcB b A a 2sin sin sin ===3.正弦定理：＝＝＝2R 的常见变形：asin A b sin B csin C (1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；(2)＝＝＝＝2R ；a sin Ab sin B csin C a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C (3)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(4)sin A ＝，sin B ＝，sin C ＝.a 2Rb 2R c2R 4.三角形面积公式：S ＝ab sin C ＝bc sin A ＝ca sin B .1212125.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

余弦定理的公式： 或.2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩6.（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两边和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.7.判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.8.解题中利用中，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换ABC ∆A B C π++=的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-.sincos ,cos sin ,tan cot222222A B C A B C AB C+++===9. 解斜三角形的主要依据是：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C 。

（1）角与角关系：A +B +C = π；（2）边与边关系：a + b >c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b < c ，b －c < a ，c －a >b ；（3）边与角关系：大角对大边，小角对小边。

习题整理：一．直接应用，解三角形：1.在中，已知，解三角形。

A=60/120°ABC ∆ 45,2,3===B b a 2.在中，已知求的周长。

a=2/4ABC ∆,2,32,30===AC AB BABC ∆3.△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知B=2A,a=1,b=,则3c=________.24.在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝，则＝________. 23a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C 4.在△ABC 中，若A ＝60°,b=1,,则＝________.（**3=∆ABC S a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ）33925.(2010·北京)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝，C ＝，则a ＝________.132π36.在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝________.367.△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知c ＝3，C ＝，a ＝2b ，则π3b 的值为________.38.（2012年高考（重庆文））设△ABC 的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、,且1cos 4a b C ==1，=2，,则sin B =____9.在ABC ∆中,若C B A 222sin sin sin<+,则ABC ∆的形状是（ ）cA ．钝角三角形.B ．直角三角形.C ．锐角三角形.D ．不能确定.10.在△ABC 中 ,BC=2,B =60°,则BC 边上的高等于（ ）A B C D 11.在ABC ∆中,若60A ∠=︒,45B ∠=︒,BC =,则AC =（ ）A ．B ．CD 12.在三角形ABC 中,角A,B,C 所对应的长分别为a,b,c,若a=2,B=6π,则b=______13.在ABC ∆中,已知60,45,BACABC BC ∠=︒∠=︒=则AC =_______.14. 【2015高考广东，文5】设的内角，，的对边分别为，，．若C ∆AB A B C a b c ，，，则（ ）2a =c =cos A =b c <b =A B ．C ．2D ．3【答案】B 15.【2015高考福建，文14】若中，，，则ABC ∆AC =045A =075C =_______．BC =16.【2015高考重庆，文13】设的内角A ，B ，C 的对边分别为,且ABC ∆,,a b c ,则c=________.12,cos ,4a C ==-3sin 2sin A B =【答案】417. （2016年全国I 卷高考）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知，a =，，则b=2c =2cos 3A =（A B ）（C ）2（D ）3【答案】D18、（2016年全国II 卷高考）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，，a =1，则b =____________.4cos 5A =5cos 13C =【答案】211319. 在中，若，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为ABC ∆0120,2==A b 3=S .2B C .4D【答案】B20.中，角所对的边分别为．若，则边（ABC∆,A B C,,,a b c3,60a b A===︒c=）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】C二．变形应用：1.在中，，则角A等于_________.120ABC∆222cbcba++=2.（教材）已知三角形的三边满足条件，求角A. 601)(22=--bccba3.【2014年高考江西】在中，内角所对应的边分别为，若ABC∆,,A B C,,a b c，，则的面积为（）22()6c a b=-+3Cπ=ABC∆A． B C D．3【答案】C4.在中，三内角，，的对边分别为，，且，ABC∆A B C a b c222a b c bc=++，为的面积，则的最大值为（）a S ABC∆cosS B C+（A）1 （B（C（D）1+3【答案】C【解析】∵，∴，∴，222a b c bc=++2221cos22b c aAbc+-==-23Aπ=设外接圆的半径为，则，∴，ABC∆R22sinaRA===1R=∴1cos sin cos cos2S B C bc A B C B C==+，故的最大值为sin cos)B C B C B C=+=-cosS B C+C．A5.在中，角的对边分别为，且．若的面ABC ∆,,A B C ,,a b c 2220a b c ab +--=ABC ∆，则的最小值为（ ）ab A ．24 B ．12 C ．6 D ．4【答案】D6.已知a,b,c 是的边长，满足，求C 的大小。

120ABC ∆ab c b a c b a =-+++))((三．边角互化问题：1.在中，内角，，的对边分别为，，，且=ABC ∆A B C a b c sin b A B =A ．B ．C ．D ． 6π4π3π2π【答案】C2.已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且a•cosB+b•cosA=3c•cosC ，则cosC= ．3.,试判断三角形的形状。

等腰或直角。

B b A a cos cos =4. 在中，_________.1ABC ∆===cbc a A 则,3,32π5. （2013,辽宁）在，内角所对的边长分别为ABC ∆,,A B C ,,.a b c （ ）A 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则A ．B ．C ．D ．6π3π23π56π6. （2011）（4）△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，asin AsinB+bcos A=2则（ ）D ba=(A)(B)7．在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且acosB.(1)求角B 的大小;60°(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c 的值.32,38. 在中，,求cosA=?ABC ∆C b B c A a cos cos cos 2+=219.△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC.(1)求cosA;（）31(2)若a=3,△ABC 的面积为,求b,c. (2,3)(3,2)10. 的周长为，且ABC ∆)12(4+AC B sin 2sin sin =+(1)求边长a 的值. 4(2)若,求COSA 的值。

（）A ABC S sin 3=∆111.（2016年天津高考）在中，内角所对应的边分别为a,b,c ，已知ABC ∆C B A ,,.sin 2sin a B A =(Ⅰ)求B ；(Ⅱ)若，求sinC 的值.1cos A 3=解析：（Ⅰ）解：在中，由，可得，又由ABC ∆BbA a sin sin =A bB a sin sin =得，所以，得A b B a sin 32sin =B a A b B B a sin 3sin 3cos sin 2==23cos =B ；6π=B （Ⅱ）解：由得，则，所31cos =A 322sin =A )sin()](sin[sinB A B AC +=+-=π以6sin(sin π+=A C 6162cos 21sin 23+=+=A A 12.（2016年四川高考）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cCb B a A sin cos cos =+。