天津一中2019学年第二学期高一期末考试
数学学科试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，要想中奖机会最大，应选择的游戏盘是 ( )
2. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A ．至少有１个黑球与都是黑球 B ．至少有１个黑球与至少有１个红球 C ．恰有１个黑球与恰有２个红球
D ．至少有１个黑球与都是红球
3. 在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )
A.112
B.110
C.15
D.310
4. 如果执行右面的程序框图，那么输出的S =（ ） A ．2400 B ．2450
C ．2500
D ．2550 5. 用秦九韶算法计算多项式
1876543)(23456++++++=x x x x x x x f
当4.0=x 时的值时,需要做乘法和加法的次数分别是 ( ) A. 6 , 6 B. 5 , 6 C. 5 , 5 D. 6 , 5
6. 不等式
26
01
x x x ---＞的解集为( )
A ．{}
2,3x x x -＜或＞ B ．{}
213x x x -＜，或＜＜ C ．{}
213x x x -＜＜，或＞
D ．{}
2113x x x -＜＜，或＜＜
7. 各项都是正数的等比数列}{n a 中，132,21
,
a a a 成等差数列，则4
354
a a a a ++的值为（ ） A ．
21
5- B ．
2
1
5+ C ．2
5
1- D ．
215-或2
1
5+ 8. 三角形的某两边之差为2，这两边夹角的余弦值为3
5
，面积为14，那么此三角形的这两边长分别是（ ） A.3,5
B ．4,6
C ．6,8
D ．5,7
9. 下列函数中，最小值为6的是（ ）
A ．)0(9
≠+
=x x
x y
B ．9x x y e e -=+⋅
C ．)0(sin 9
sin π<<+=x x
x y
D ．2log 9log 2x x y +=
10. 已知函数1)(2
--=mx mx x f ，对一切实数0)(,<x f x 恒成立，则m 的范围为 ( ) A ．)0,4(-
B.]0,4(-
C ．),0()4,(+∞⋃--∞
D ．),0[)4,(+∞⋃--∞
二、填空题（每题4分，共24分）
11. 某学院的A ，B ，C 三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的
方
法抽取一个容量为120的样本。

已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取____名学生。

12.下图为80辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图, 则时速大于60的汽车大约有____辆．
13.一个算法的程序框图如右图所示，则该程序输出的结果为______________.
14.甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为和 .
15. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，若2a =，c =cos 4
A =-
，则b 的值为____________.
16. 已知数列{}n a 的通项公式为2
n a n n λ=+(1,2,3,
)n =，若数列{}n a 是递增数列，则实数λ的
取值范围是____________. 三、解答题(共46分)
17．一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片．
（I ）若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率；
（II ）若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率.
18．已知函数b
ax x x f +=2
)(（,a b 为常数）且方程()120f x x -+=有两个实根为4,321==x x ．
（Ⅰ）求函数f (x )的解析式；
（Ⅱ）设1>k ，解关于x 的不等式x
k
x k x f --+<2)1()(.
19．在△ABC 中，已知B=45°,D 是BC
AD=10,AC=14,DC=6，求AB 的长.
20．数列{}n a 满足递推式1331n n n a a -=+-(2)n ≥，且15a =． （Ⅰ）求23,a a 的值；
（Ⅱ）若存在实数λ使3n n a λ+⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列，求λ的值及{}n a 的通项公式；
（Ⅲ）求{}n a 的前n 项和n S ．
B
参考答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1．A 2．C 3．D 4．D 5．A 6．C 7．B 8．D 9．B 10．B
二、填空题（每题4分，共24分）
11．40
12．48
13．5
11
14．24 23
15．1
16．(3,)λ∈-+∞
三、解答题(共46分) 17．解：
（1）设A 表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于7”，
任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)．其中数字之和大于7的是(1,3,4)，(2,3,4)， 所以1()2
P A =
． （2）设B 表示事件“至少一次抽到3”， 第一次抽
1
张，放回后再抽取一张卡片的基本结果有：
(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)
(4,4)，共16个基本结果．
事件B 包含的基本结果有(1,3)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,3)，共7个基本结果． 所以所求事件的概率为7
()16
P B =． 18．解：
（I ）将4,321==x x 分别代入方程
0122
=+-+x b
ax x 得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+8416939
b
a b
a
解得,2,1=-=b a 所以函数f (x )的解析式为()2
2x f x x
=-
（II ）不等式即为
02)1(,2)1(222<-++---+<-x
k
x k x x k x k x x 可化为 即.0))(1)(2(>---k x x x ①
当21<<k 时,解集为).,2(),1(+∞∈ k x
②当2=k 时,不等式化为()()0122
>--x x , 解集为);,2()2,1(+∞∈ x
当2>k 时,解集为),()2,1(+∞∈k x . 19．解：
在△ADC 中，AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得
cos ∠ADC =2222AD DC AC AD DC +-=100361961
21062+-=-⨯⨯,
∴∠ADC=120°, ∠ADB=60°
在△ABD 中，AD=10, ∠B=45°, ∠ADB=60°， 由正弦定理得
sin sin AB AD
ADB B
=
∠, ∴AB
=
10sin 10sin 60sin sin 45AD ADB B ⨯∠︒
==
=︒
20．解：
（Ⅰ）22133123a a =+-=，33233195a a =+-=．
（Ⅱ）设1133n n n n a a d λλ
--++=+，1332n n n a a d λ-=++，对照已知式，有12λ=-，1d =，此时123n n
a ⎧⎫
-⎪⎪
⎨⎬⎪⎪⎩
⎭
是首项为1
53232-
=，公差为1的等差数列，于是132121322n n a n n -+=+-=，整理可得211322
n n n a +=⋅+． （Ⅲ）设2132
n
n n b +=⋅，其前n 项和为n T ，则
233572133332222
n
n n T +=⋅+⋅+⋅++⋅， ①
231
3521213 33332222
n n n n n T +-+=⋅+⋅++⋅+⋅， ②
①-②得：
231231
92112123333133333222
2
n n n n n n n T ++++-=
++++-⋅=++++++-
⋅ 1
1
113121332312
n n n n n +++-+=+-⋅=-⋅-，
1
32n n n T +⋅=
，于是()113312222n n n n n n n n S T ++⋅=+=+=+．。