习题课：多元函数求偏导，多元函数微分的应用多元复合函数、隐函数的求导法?(1) 多元复合函数设二元函数),(v u f z =在点),(00v u 处偏导数连续，二元函数),(),,(y x v v y x u u ==在点),(00y x 处偏导数连续, 并且),(),,(000000y x v v y x u u ==, 则复合函数)),(),,((y x v y x u f z = 在点),(00y x 处可微，且()()()()xy x v v v u f x y x u u v u f xz y x ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=00000000),(,,,,00∂∂()()()()yy x v v v u f y y x u u v u f yz y x ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=00000000),(,,,,00∂∂多元函数微分形式的不变性：设),(),,(),,(y x v v y x u u v u f z ===，均为连续可微，则将z 看成y x ,的函数，有dy yz dx x z dz ∂∂+∂∂=计算yvv f y u u f y z xvv f x u u f x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂,，代人， dv vf du u f dy y v dx x v v f dy y u dx x u u f dy y v v f y u u f dx x v v f x u u f dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂=我们将dv vf du u f dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=叫做微分形式不变性。
例1 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y xy f x z ,3，求yzx z ∂∂∂∂,。
解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛'+'+=+⋅=x y d f xy d f x fdx x df x dx x f dz 213232)(33 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'++'+=22132(3x ydx xdy f ydx xdy f x fdx xdy f x f x dx xyf yf x f x ⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'+⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'+=221421323由微分形式不变性， dy f x f x dx xyf yf x f x dy yz dx x z dz ⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'+⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'+=∂∂+∂∂=221421323 故 ⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'=∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'+=∂∂22142132,3f x f x yz xyf yf x f x xz 。
例2 已知 )1(1xy x-=，求dy dx.解 考虑二元函数 vu y =, u x v x==-11,，应用推论得.dx dvv y dx du u y dx dy ∂∂∂∂+=).ln 1(11)(ln 112221x x x u u x vu xv v -⎪⎭⎫ ⎝⎛=+---(2)隐函数 若函数()x y y =, 由方程()0,=y x F 确定，求导之函数？按隐函数定义有恒等式：()()0,≡x y x F ⇒()()0,=x y x F dxd， ⇒()()()()()0,,='⋅'+'x y x y x F x y x F y x ⇒()()()()()x y x F x y x F x y y x ,,''-='。
从这是可见：函数()x y y =可导有一个必要条件是，()0,≠'y x F y .例3 已知函数y f x =()由方程(), , 22b a y x f by ax +=+是常数，求导函数。
解：方程()22y x f by ax +=+两边对x 求导，⎪⎭⎫ ⎝⎛++'=+dx dy y x y x f dx dy ba 22)(22 )(2)(22222y x f y b ay x f x dx dy +'--+'=一般来说，若函数()x y y ρ=, 由方程()0,=y x F ρ确定，求导之函数？ 将y 看作是n x x ,...,1的函数()),...,(1n x x y x y y ==ρ,对于方程0)),...,(,,...,(11=n n x x y x x F两端分别关于i x 求偏导数得到，并解i x f ∂∂,可得到公式 :()()y x F y x F x y y x i i,,ρρ''-=∂∂例4设函数y(z)y z x x == ),(由方程组⎩⎨⎧=--+=-++01201222222z y x z y x 确定， 求dzdy dz dx ,. 解 121222222⎪⎩⎪⎨⎧+=++-=+z y x z y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+⇒zdy dz y dxdz x z dy dz y dx dzx 242222解方程得： ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡dz dy dz dx =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡---xz yz xy z z x x y y xy 8124122222441 由此得到 yz dz dyx z dz dx 2,3-==.例5 已知函数()y x z z ,=由参数方程:⎪⎩⎪⎨⎧===uvz v u y vu x sin cos ,给定，试求y z x z ∂∂∂∂,.解 这个问题涉及到复合函数微分法与隐函数微分法. y x ,是自变量,v u ,是中间变量(v u ,是y x ,的函数), 先由 z uv = 得到x vu x u v x v v z x u u z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+=+= yvu y u v y v v z y u u z y z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+=+= u v , 是由方程⎩⎨⎧==),(),(y x v v y x u u 的x y ,的隐函数，在这两个等式两端分别关于x y ,求偏导数，得⎪⎩⎪⎨⎧∂∂+∂∂=∂∂-∂∂=x v v u x u v x vv u x u v cos sin 0sin cos 1， ⎪⎩⎪⎨⎧∂∂+∂∂=∂∂-∂∂=y v vu y u v y v v u y u v cos sin 1sin cos 0 得到 uv x v v y u u u x v v x u cos ,sin ,sin ,cos =∂∂=∂∂-=∂∂=∂∂ 将这个结果代入前面的式子, 得到v v v x vu x u v x z sin cos -=-=∂∂∂∂∂∂ 与 v v v yvu y u v y z cos sin +=+=∂∂∂∂∂∂(3) 隐函数函数),(y x u u =由方程⎪⎩⎪⎨⎧===0),(0),,(),,,(t z h t z y g t z y x f u 确定，求y u x u ∂∂∂∂, 解： 函数关系分析: 5 (变量) ? 3 (方程)=2(自变量); 一函 (u ), 二自( x, y ), 二中( z, t )x f x u ∂∂=∂∂, yt t f y z z f y f y u ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-∂∂-∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-0),(),(1t g z g z h t g t h t z h g y t y z , z h t g t h z g y g t h z f z h t f y f y u ∂∂∂∂-∂∂∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-∂∂∂∂+∂∂=∂∂.二阶偏导数：一阶导函数的偏导数例6 ),(y x z z =由2222a z y x =++决定，求yx z∂∂∂2．解：022=∂∂+xzz x ，022=∂∂+y z z y zy y z z x x z -=∂∂-=∂∂, =∂∂⋅=∂∂∂x z z y y x z 223zxy-例7 设()()()22,,x x x f x g ϕ=，其中函数f 于ϕ的二阶偏导数连续，求()22dxx g d 例8 设z f xy x y =(,)，f 二阶连续可微，求22xz∂∂. 解 记 yxv xy u ==,; v f f u f f ∂∂='∂∂='21,, 22222211,vf f u f f ∂∂=''∂∂='',u v ff v u f f ∂∂∂=''∂∂∂=''221212, 则211f yf y x v v f x u u f x z '+'=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, x f y x f y x z x xz ∂'∂+∂'∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=∂∂21221 因为 vff u f f ∂∂∂∂='='21,都是以u v ,为中间变量，以y x ,为自变量的函数，所以 x v f x u f x f ∂∂''+∂∂''='12111∂∂12111f y f y ''+''= x v f x u f x f ∂∂''+∂∂''='22212∂∂22211f yf y ''+''= 将以上两式代入前式得: f yf f y x z ''+''+''= 222121122212∂∂.例9 设),(y x z z =二阶连续可微，并且满足方程0222222=+∂+yz C y x z B x z A ∂∂∂∂∂∂ 若令,⎩⎨⎧+=+=y x v y x u βα 试确定βα,为何值时能变原方程为 02=∂∂∂v u z.解 将y x ,看成自变量，v u ,看成中间变量，利用链式法则得z v u v z u z x v v z x u u z x z ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ z v u v z u z y v v z y u u z y z ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂βαβα z v u v z v u z u z v z u z x x z 222222222⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∂∂+∂∂∂+∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 2222222222v z v u z u z v z u z y y z ∂∂+∂∂∂+∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=∂∂βαβαβαz v u2⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=βα ()222222vzv u z u z v z u z x y x z ∂∂+∂∂∂++∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂ββααβα =z v uv u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂βα 由此可得, 2222220y zCy x z B x z A ∂∂∂∂∂∂+∂+== =()()()+∂∂∂++++∂∂++v u z C B A u z C B A 222222αββααα()2222vz C B A ∂∂++ββ=0 只要选取βα,使得 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++020222ββααC B A C B A , 可得02=∂∂∂v u z . 问题成为方程022=++t C t B A 有两不同实根，即要求： 02>-C A B .令AC B B -+-=2α,AC B B ---=2β,即可。