z p p dy p p dz
y 2
z 2
y
x
第一节 理想流体的运动微分方程
x方向
p
p x
dx 2
dydz
p
p x
dx 2
Hale Waihona Puke dydzy方向p
p y
dy 2
dzdx
p
p y
dy 2
dzdx
z方向
p
p z
dz 2
dxdy
p
p z
dz 2
dxdy
p
p z
dz 2
p
p
根据牛顿第二定律建立欧拉运动微分程。
在运动的理想流体中，取一微元六面体，如图示。
理想流体不存在粘性，运动时 不产生切应力，只有正应力。
各方向所受压力为
1. 表面力 理想流体中没有切应力
p
p z
dz 2
p
p
dy
y 2
p p dx
x 2 dz A
p p dx x 2
dy dx
（摩擦力），作用在微元体 上的表面力只有重直指向作 用面的压力。
（2）沿同一微元流束（流线）积分。 因定常流动，流线与迹线重合，即
dx dt
vx ,
dy dt
vy,
dz dt
vz
（3）质量力只有重力。即
fx 0, f y 0, fz g
第二节 伯努利方程
将欧拉运动微分方程各式分别乘以同一流线上的微元线段矢 量ds的投影dx、dy、dz，然后相加得
fx
z方向
p
p z
dz 2
dxdy
p
p z
dz 2
dxdy
p dxdydz
x
p dydzdx y
p dzdxdy z
第一节 理想流体的运动微分方程
2. 质量力 设中心处各方向的单位质量力分别为 fx , f y , fz , 体的平均密度，则各方向的质量分别为
为微元
fxdxdydz,
根据牛顿第二定律
1 r
( rvr )
r
1 r
( v
)
(vz )
z t
f
1
p
0
dv dt
z
r o
R
第一节 理想流体的运动微分方程
C
1 r
( rvr ) r
1 ( rvr ) 1 (v r r r
1 v vz 0
r z
)
(vz )
z t
f
1
p
0
dv dt
u
e1
1 H1
dx
dv y dt
dy
dvz dt
dz
第二节 伯努利方程
fxdx f ydy fzdz
1
p x
dx
p y
dy
p z
dz
dv x dt
dx
dv y dt
dy
dvz dt
dz
将假设条件代入得
gdz
1
dp
(v x dv x
v ydv y
vzdvz
)
d
v
2 x
v
2 y
2
vz2
z1
p1
g
v12 2g
z2
p2
g
v22 2g
+hw
第二节 伯努利方程
四、实际流体总流的伯努利方程 在实际工程中，如流体在管道、渠道中的流动问题，
需要对微元流束的伯努利方程在整个过流断面上积分，然 后推广到总流上。
将式
z1
p1
g
v12 2g
z2
p2
g
v22 2g
+hw
两边同乘以流体的重量流量 gdqV ，得单位时间内微元流
王常斌 2013
工程流体力学
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章
绪论 流体静力学 流体运动学基础 流体动力学基础 相似理论与量纲分析
第六章 流动阻力与水头损失 第七章 有压管路、孔嘴计算 第八章 粘性流体力学基础 第九章 工程湍流及其应用 第十章 流体力学实验技术 第十一章 气体的一元流动 第十二章 缝隙流动
x
vy vy
v x y v y
y
vz vz
v x z v y
z
fz
1
p z
vz t
+v x
vz x
vy
vz y
vz
vz z
第一节 理想流体的运动微分方程
fx fy
1
1
p x p y
v x t v y
t
+v x +v x
v x x v y
x
vy vy
v x y v y
y
vz vz
出，又称欧拉运动微分方程。
对于静止流体，速度为零，欧拉运动微分方程简化为欧拉平衡微
分方程。
第一节 理想流体的运动微分方程
将式中的加速度写成展开式
fx
1
p x
dv x dt
fy
1
p y
dv y dt
fz
1
p z
dvz dt
v f (x, y, z,t)
fx fy
1
1
p x p y
束总机械能的关系，即
z1
p1
g
v12 2g
gdqV
z2
p2
g
v22 2g
gdqV
+hw
gd qV
第二节 伯努利方程
z1
p1
g
v12 2g
gdqV
z2
p2
g
v22 2g
gdqV
+hw
gd qV
将上式进行积分，可得单位时间内通过总流过流断面上机
械能的关系为
流体动力学研究 ◇流体在外力作用下的运动规律及其与边界的相互作用。
本章内容 ◇根据 牛顿运动定律、动量守恒定律、能量守恒定律 ◇推导流体力学中的 欧拉运动微分方程 动量方程 能量方程
第四章 流体动力学基础
第一节 第二节 第三节 第四节
理想流体的运动微分方程 伯努利方程 动量方程 动量矩方程
第一节 理想流体的运动微分方程
第二节 伯努利方程
2. 几何意义
总水头 测压管水头
位置水头
v2 2g p
g
z —位置水头
p
g
—压强水头
v2 —速度水头 2g
z z0
伯努利方程表示不可压缩理想流体在重力作用下作定常 流动时，沿同一微元流束（流线），各点的位置水头、压强 水头、速度水头之和保持不变，总水头线是一条水平线。
第二节 伯努利方程
dy
y 2
p p dx
x 2 dz A
p p dx x 2
dy dx
z p p dy p p dz
y 2
z 2
y
x
第一节 理想流体的运动微分方程
各方向的总压力为
x方向
p
p x
dx 2
dydz
p
p x
dx 2
dydz
y方向
p
p y
dy 2
dzdx
p
p y
dy 2
dzdx
三、实际流体微元流束的伯努利方程 实际流体具有粘性，流动时会产生阻力，流体的机械
能不可逆地转化为热能而散失。因此，实际流体流动时， 单位质量流体所具有的机械能必然沿程减少，总水头线沿 程下降。
设 hw 为单位质量流体从过流断面1-1运动至2-2的机械 能损失，称为微元流束的水头损失。根据能量守恒原理， 可得实际液体微元流束的伯努利方程为
z1 A1
p1
g
v12 2g
gdqV
z2 A2
p2
g
v22 2g
+hw
gdqV
上式包含三种类型的积分：
v2
2g
gdqV
hw gdqV
z
p
g
gdqV
分别确定如下：
第二节 伯努利方程
（1） 势能积分
z
p
g
gdqV
设所取过流断面为缓变流断面，在缓变流断面上流体动 压强近似按静压强规律分布，即
第四章 流体动力学基础
流体力学是研究流体在外力作用下平衡和运动一门学科， 是力学的一个分支。
流体力学
宏观平衡
运动规律
静力学
动力学
第三章 流体运动学基础
流体运动学研究
◇流体的速度、加速度等运动参数变化规律。
本章内容
◇描述流体运动的两种方法
◇流体运动分类 ◇连续性方程
上一章
◇流体微团的运动分析等
第四章 流体动力学基础
第二节 伯努利方程
二、伯努利方程的物理意义和几何意义 1.物理意义
z p v2 C
g 2g
mgz mg p mg v2 C
g 2g
mgz pV mv2 C 2
位能 压能 动能
z —单位重量位能
p
g —单位重量压能
v2
—单位重量动能
2g
伯努利方程表示不可压缩理想流体在重力作用下作定常 流动时，沿同一微元流束（流线），单位质量流体的机械能 守恒，伯努利方程又称能量方程。
1
p x
dv x dt
fy
1
p y
dv y dt
fz
1
p z
dvz dt
f xdx
1
p x
dx
dv x dt
dx
f ydy
1
p y