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静力学
第四章 摩擦
第四章 摩擦
前几章我们把接触表面都看成是绝对光滑的， 忽略了物体之间的摩擦，事实上完全光滑的表面是 不存在的，一般情况下都存在有摩擦。当物体的接 触表面确实比较光滑，或有良好的润滑条件，以致 摩擦力与物体所受其它力相比的确很小时，可以忽 略。然而，在很多日常生活和工程实际问题中，摩 擦成为主要因素，摩擦力不仅不能忽略，而且还应 作为重点来研究。
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静力学
例题4-6
第四章 摩擦
解：
此题在C，D两处都有摩擦，两个摩 擦力之中只要有一个达到最大值，系统 即处于临界状态。
假设C处的摩擦先达到最大值，轮有水平向右滚动的趋势。
B
1.以杆AB为研究对象，受力分析如图。
(a)
F F
x
0, FN1 cosq Fs1 sin q FN2 0 0, FN1 sin q Fs1 cosq Fs2 0
y
再Байду номын сангаас虑补充方程
Fs1 f s FN1, Fs2 f s FN2
联立解之得 2 fs tan q tan 2 j , q 11.42 f 1 f s2
例题4-5
FNB B
y
第四章 摩擦
解：
以梯子AB为研究对象，人的位置用距离 a 表示，梯子的受力如图。
使梯子保持静止，必须满足下列平衡方程：
q
P
l
F
F
x
0,
0,
FNB Fs 0
y
FNA P 0
a A
M F 0, Pa sin q FNBl cos q 0
q 2jf 11.42
以上是考虑临界状态所得结果，稍作分析即可得
当 0 q 2jf 11.42 时能自锁
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例题4-3
x
第四章 摩擦
F
A
h
B
一活动支架套在固定圆柱的外表面，且h = 20 cm。假设支架和圆柱之间的静摩擦因 数 fs = 0.25。问作用于支架的主动力F 的 作用线距圆柱中心线至少多远才能使支架 不致下滑（支架自重不计）。 （1）解析法 取支架为研究对象,受力分析如图。
F
q
A
解:
取物块A为研究对象，受 力分析如图。列平衡方程。
x
y
0, 联立求解得
y
F
F
0,
F cos q Fs 0 FN P F sin q 0
F
q
Fs
P
Fs 4 cos 30 3.46 N
最大静摩擦力 x 因为
A
FN
Fmax fs FN fs P F sin q 3.6 N
由于摩擦是一种十分复杂的物理现象，涉及面 广，本章只限于讨论工程中常用的近似理论，主要 介绍滑动摩擦和滚动摩阻定律，重点研究有摩擦存 2 在时物体的平衡问题。
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第四章 摩擦
§4-1
滑动摩擦
定义：两个相接触物体，当其接触处产生相对滑动或相对滑 动趋势时，其接触处产生的阻碍物体相对滑动的力叫滑动摩 擦力。摩擦力作用于相互接触处，其方向与相对滑动的趋势 或相对滑动的方向相反，它的大小根据主动力作用的不同， 可以分为三种情况，即静滑动摩擦力，最大静滑动摩擦力和 动滑动摩擦力。若仅有滑动趋势而没有滑动时产生的摩擦力 称为静滑动摩擦力；若存在相对滑动时产生的摩擦力称为动 滑动摩擦力。
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例题4-4
第四章 摩擦
宽a，高b的矩形柜放 a 置在水平面上，柜重P，重 心C 在其几何中心，柜与 F h P C
地面间的静摩擦因数是 fs，
b 在柜的侧面施加水平向右 的力F，求柜发生运动时 所需推力F 的最小值。
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例题4-4
第四章 摩擦
解:
y
取矩形柜为研究对象,受力分析如图。 1 .假设不翻倒但即将滑动，考虑临界平衡。 列平衡方程
A
Fs
x
同时满足物理条件 联立解之得
Fs f s FNA
a tan q f s l 因 0≤a≤l， 当 a = l 时，上式左边达到最大值。
FNA
所以
tan q f s tan jf
或
q jf 即为所求
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例题4-6
第四章 摩擦
B
C r O A
FB F
q
P
D
重为 P =100 N 的匀质滚轮 夹在无重杆 AB 和水平面之间， 在杆端 B 作用一垂直于 AB 的力 FB ，其大小为FB = 50 N。A为光 滑铰链，轮与杆间的摩擦因数 为 fs1=0.4。轮半径为r，杆长为 l， 当 q = 60° 时，AC = CB = 0.5l ， 如图所示。如要维持系统平衡， （1） 若D处静摩擦因数 fs2 = 0.3， 求此时作用于轮心O处水平推力 F 的最小值;（2）若fs2=0.15 ,此 时F 的最小值又为多少？
(a)
(b)
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第四章 摩擦
1. 静滑动摩擦力及最大静滑动摩擦力 如图(a)所示，在粗糙的水平面上放置一重为P的物体，
当水平方向无拉力时，显然有P=FN。现在该物体上作
用一大小可变化的水平拉力F，如图(b)所示，当拉力F 由零逐渐增加但又不很大时，物体仍能维持平衡。
(a)
(b)
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第四章 摩擦
(b)
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例题4-2
第四章 摩擦
(2) 几何法
仍考虑临界平衡状态,在此情况 下,楔块C 两端所受的全约束力必大 小相等,方向相反且作用线在一条直 线上;与作用点处的法线的夹角均等
(c) 由几何关系不难得
于摩擦角jf 如图(c) 所示。
q jf jf , q 2jf tgjf 0.1 f s , jf tg 1 0.1 5.71
Fd f d FN
式中 fd 是动摩擦因数，通常情况下，
fd fs
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第四章 摩擦
§4-2 1. 摩擦角
摩擦角和自锁现象
当有摩擦时，支承面对物体的约束力有法向约束力FN和 切向约束力Fs，这两个力的合力称为全约束力FR。
FR FN FS
它的作用线与接触处的 公法线成一偏角j ,如图 所示，当静摩擦力达最 大时， j 也达到最大值 jf ,称jf 为摩擦角。
0 Fs Fmax
(a)
(b)
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第四章 摩擦
实验表明
Fmax f s FN
上式称为库仑摩擦定律，是计算最大静摩擦力的近似公式。 式中 fs 称为静摩擦因数，它是一个无量纲的量。一般由实验 来确定。
2. 动滑动摩擦力 当接触处出现相对滑动时，接触物体之间仍有阻碍相对 滑动的阻力，这种阻力称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力， 以Fd 表示，大小可用下式计算。
由此可见，支承面对物体的约束力除了法向约束力FN外还 有一个阻碍物体沿水平面向右滑动的切向约束力Fs，此力
即静滑动摩擦力，简称静摩擦力。显然有Fs=F，因此静
摩擦力也是约束力，随着F的增大而增大。然而，它并不 能随F的增大而无限地增大。而有一个最大值Fmax，称为 最大静摩擦力，此时物体 处于平衡的临界状态。当主动力 F大于Fmax时，物体将失去平衡而滑动。即
jf
jf
q
R
A RA
jf
j
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第四章 摩擦
利用摩擦角的概念，可用简单的试验方法测定摩擦因数。
摩擦角就是物块处于临界状态时斜面的倾角q ,即
fs tanjf tanq
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第四章 摩擦
斜面的自锁条件是斜面的倾角 小于或等于摩擦角。 斜面的自锁条件就是螺纹的自 锁条件。因为螺纹可以看成为绕在 一圆柱体上的斜面，螺纹升角 a 就 是斜面的倾角。螺母相当于斜面上 的滑块A，加于螺母的轴向载荷P， 相当物块 A 的重力，要使螺纹自锁， 必须使螺纹的升角 a 小于或等于摩 擦角jm。因此螺纹的自锁条件是
第四章 摩擦
长为 l 的梯子 AB 一端靠在墙壁上，
另一端搁在地板上，如图所示。假设
B
梯子与墙壁的接触是完全光滑的，梯 子与地板之间有摩擦，其静摩擦因数
P
l
q
为 fs 。梯子的重量略去不计。今有一 重为 P 的人沿梯子向上爬，如果保证 人爬到顶端而梯子不致下滑，求梯子 与墙壁的夹角q 。
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a
A
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R
j
N
Fmax
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第四章 摩擦
(1)如果作用于物块的全部主动力的 合力 R 的作用线在摩擦角 jf 之内，则 无论这个力怎样大，物块必保持静止。 这种现象称为自锁现象。因为在这种 情况下，主动力的合力 R 与法线间的 夹角q < jf，因此， R和全约束反力 FRA必能满足二力平衡条件，且q j < jf 。
F
F P
A C
F
x
y
0,
0,
F FA FB 0
FNA FNB P 0
FB f s FNB
FB
FA
B
补充方程
x
FA f s FNA ,
FNA
FNB
联立求解得柜子开始滑动所需的最小推力
F Fmin 1 Pfs
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例题4-4
第四章 摩擦
2.假设矩形柜不滑动但将绕 B 翻倒。 列平衡方程
Fmax tan j f fs FN
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第四章 摩擦
当物块的滑动趋势方向改变时，全约束反力作用线的方位 也随之改变；在临界状态下，R的作用线将画出一个以接触点A 为顶点的锥面，称为摩擦锥。设物块与支承面间沿任何方向的 摩擦系数都相同，即摩擦角都相等，则摩擦锥将是一个顶角为2 j f的圆锥。